14(数列的综合问题).doc

1、北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 14：数列的综合问题一、选择题1. （2013 北京海淀二模数学理科试题及答案）若数列 满足:存在正整数 ,对于任意正整数 都有 成naTnnTa立,则称数列 为周期数列,周期为 . 已知数列 满足 ,naTna1(0)m1, 1=0.nna，则下列结论中错误的是 （ ）A若 ,则 可以取 3个不同的值 B若 ,则数列 是周期为 的数列 34m2na3C 且 ,存在 , 是周期为 的数列 D 且 ,数列 是周期数列T*N21naTQ2. （2013 北京昌平二模数学理科试题及答案）设等比数列 的公比为 ,其前 项的积为 ,并且满足条件naqnT

2、, , .给出下列结论:1a910910 ; ; 的值是 中最大的;q910a10Tn 使 成立的最大自然数 等于 198. 其中正确的结论是 （ ）nTnA B C D二、填空题Main Document Only. （2013 届北京市延庆县一模数学理）以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间 4,0对应的线段，对折后（坐标 4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成 4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标 1、3 变成 2，原来的坐标 2变成4，等等）.那么原闭区间 ,上（除两个端点外）的点，在第 n次操作完成后 )(n，恰好被拉到与

3、 4重合的点所对应的坐标为 )(nf，则 )3(f ； )(f .Main Document Only. 3. （北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题）对于各数互不相等的整数数组( )( 是不小于 3的nii,321正整数),若对任意的 ,当 时有 ,则称 是该数组的一个“逆序”.一个qp,n， 3,21qpqpiqpi数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组(2,3,1)的逆序数等于 2.则数组(5,2,4,3,1)的逆序数等于_;若数组( )的逆序数为 ,则数组( )的逆序数为_.nii,321n1,in 02 4 （3 题图） （北京市丰台区 2013 届高三上学

4、期期末考试 数学理试题 ）右表给出一个“三角形数阵”. 已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第 i行第 j列的数为ija（ *,Nji） ，则 53a等于 ， _()mna.4. （2013 朝阳二模数学理科）数列 的前 项 组成集合 ,从21n,37,21n 1,37,21()nnAN集合 中任取 个数,其所有可能的 个数的乘积的和为 (若只取一个数,规定乘积为nAk(,3) kkT此数本身),记 .例如当 时, , , ;当 时, ,12nnST 1A1S23, , .则当 时, _;试写出 _.13T273nn5. （2013 届西城区一模理

5、科）记实数 中的最大数为 ，最小数为12nx 12max,n.设 的三边边长分别为 ，且 ，定义 的倾斜度为12min,nx ABC,abccABCai,bcatbc（）若 为等腰三角形，则 _； （）设 ，则 的取值范围是_ABt1t6. （海淀区北师特学校 13 届高三第四次月考理科）对任意 xR，函数 ()fx满足21(1)()fxfxf，设 )()(2nffan，数列 na的前 15项的和为 316，则 5 7. （北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题）定义映射 :fAB，其中 (,)mn，BR，已知对所有的有序正整数对 (,)mn满足下述条件: (,1)fm；若

6、n， 0f； (1,)(,)(,1)fnfmf，则 2 ， (,2)f 8. （2013 北京东城高三二模数学理科）在数列 中,若对任意的 ,都有 ( 为常数),则称数列na*nN21nat为比等差数列, 称为比公差.现给出以下命题:nat等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;若数列 满足 ,则数列 是比等差数列,且比公差 ;n12nana12t若数列 满足 , , ( ),则该数列不是比等差数列;c1c12c3若 是等差数列, 是等比数列,则数列 是比等差数列 .nanbnab其中所有真命题的序号是 . 9. （北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）将整数

7、 1,23,5 填入如图所示的 5行 列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 . 10. （2013 北京房山二模数学理科试题及答案）在数列 中,如果对任意的 *nN,都 有 21na( 为常数),na则称数列 为比等差数列, 称为比公差.现给出以下命题:na若数列 满足 ,则该数列不是比等差数列 ;F1212(3)nnF=,若数列 n满足 ,则数列 na是比等差数列,且比公差 ;13n 0等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列; 若 是等差数列, 是等比数列,则数列 是比等差数列.nanbnb其中所有真命题的序号是_ . 三、解答

8、题11. （海淀区 2013 届高三上学期期中练习数学（理）已知数集 具有性12,Aan12(a,)n质 P:对任意的 , ,使得 成立.(2)kn(1)ijjnkij()分别判断数集 与 是否具有性质 P,并说明理由;1342,6()求证: ;2na1()na()若 ,求数集 中所有元素的和的最小值.7A12. （2013 届北京海滨一模理科）设 为平面直角坐标系上的两点，其中 .令(,)(,)ABxy ,ABxyZ， ，若 ,且 ，则称点 为点 的“相关点” ，记作：BAxBy+=3|0xyB. 已知 为平面上一个定点，平面上点列 满足： ，且点 的()0P00(,)(,)xy ZiP1(

9、)iiPi坐标为 ，其中 .,ixy1,23in（）请问：点 的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出0圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；（）求证：若 与 重合， 一定为偶数；（）若 ，且 ，记 ，求 的最大0Pn 0(1,)P10ny0niTx值.13. （西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科）如图，设 A是由 n个实数组成的 n行 列的数表，其中 ija(,12,3)ijn表示位于第 i行第 j列的实数，且 1,ija.记 (,)S为所有这样的数表构成的集合对于 (,AS，记 ()irA为 的第 i行各数之积， ()jc为 的第 j列各数之

10、积令11()nnijlrc（）请写出一个 (4,)AS，使得 ()0lA；（）是否存在 9，使得 ？说明理由；（）给定正整数 n，对于所有的 (,)Sn，求 ()l的取值集合14. （2011 年高考（北京理）若数列 满足 ,则称 为 数列.记12:,()nnAa 1|(1,2)kan nAE12()nnSAaa()写出一个满足 ,且 的 数列 ;1505()0SAE5()若 ,证明: 数列 是递增数列的充要条件是 ;12,ann 201na()对任意给定的整数 ,是否存在首项为 0的 数列 ,使得 ?如果存在,写出一个满足条(2)A()S件的 数列 ;如果不存在,说明理由.EnA15. （2

11、013 丰台二模数学理科）已知等差数列 的通项公式为 ,等比数列 中, .na23nanb143,1ab记集合 , ,把集合 中的元素按从小到大依次,*,nAxaN,*BxbNUAB排列,构成数列 .c()求数列 的通项公式,并写出数列 的前 4项;nbnc()把集合 中的元素从小到大依次排列构成数列 ,求数列 的通项公式,并说明理由;UCAndnd()求数列 的前 n项和nc.nS16. （北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学）设 1210(,)x 是数 ,2345,6789,10的任意一个全排列,定义101()|23|kSx,其中 1.()若 ,9876,54,),求 (S

12、的值;()求 ()S的最大值; ()求使 )达到最大值的所有排列 的个数.17. （顺义 13 届高三第一次统练理科）已知数列 的前 项和为 ,且点 在函数 的图像上.nanSn, 21xy(I)求数列 的通项公式;na(II)设数列 满足: ,求数列 的前 项和公式;b*,011 Nbnn nb(III)在第(II)问的条件下,若对于任意的 不等式 恒成立,求实数 的取值范围118. （丰台区 2013 届高三上学期期末理 ）已知曲线 2:(0)Cyx， 12(,)(,),(),nAxyAxy是曲线C 上的点，且满足 120nxx，一列点 ,2iBa在 x 轴上，且 10iiB是坐标原点）是

13、以 iA为直角顶点的等腰直角三角形（）求 1、 B的坐标； （）求数列 ny的通项公式；（）令 2,iyiibca，是否存在正整数 N，当 nN 时，都有 1niibc，若存在，求出 N 的最小值并证明；若不存在，说明理由19. （海淀区 2013 届高三上学期期末理科）已知函数 ()fx的定义域为 (0,)，若 ()fxy在 0,)上为增函数，则称 ()fx为“ 一阶比增函数 ”；若 2y在 0,上为增函数，则称 f为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 1，所有“二阶比增函数 ”组成的集合记为 2. ()已知函数 32()fxhx，若 1(),f且 2()fx，求实数

14、 h的取值范围；()已知 0abc， 1()f且 的部分函数值由下表给出，abcabc()fxdt4求证： (24)0dt；()定义集合 2(|),(0,)(,fxkxfxk且 存 在 常 数 使 得 任 取 , 请问：是否存在常数 M，使得 )， (,)，有 ()fM成立？若存在，求出 M的最小值；若不存在，说明理由. 20. （石景山区 2013 届高三上学期期末理）定义：如果数列 na的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称 na为“三角形”数列对于 “三角形”数列 ，如果函数 ()yfx使得 ()nbfa仍为一个“三角形”数列，则称 ()yfx是数列 n的“保三角形函数” *N（

15、）已知 n是首项为 2，公差为 1的等差数列，若 ()1)xfk是数列 na的“保三角形函数” ，求k的取值范围；（）已知数列 nc的首项为 03， nS是数列 nc的前 n 项和，且满足 +1438052nS，证明 nc是“三角形”数列；（）若 ()lgx是（ ）中数列 n的“保三角形函数” ，问数列 nc最多有多少项?(解题中可用以下数据 : l20.31,lg0.47,lg213.04)21. （朝阳区2013届高三上学期期中考试（理）给定一个 项的实数列 ,任意选取一 个实数 ,n12,(N)na c变换 将数列 变换为数列 ,再将得到的数列继续实施这样的变()Tc12,na 12|,

16、|,|nacc换,这样的变换可以连续进行多次,并且每次所选择的实数 可以不相同,第 次变换记为 ,()k()kTc其中 为第 k次变换时选择的实数 .如果通过 次变换后 ,数列中 的各 项均为 ,则称 , ,c k01(c2为 “ 次归零变换”.()kT()对数列:1,3,5,7,给出 一个 “ 次归零变换”,其中 ;k4k()证明:对任意 项数列,都存在“ 次归零变换”;nn()对于数列 ,是否存在“ 次归零变换”?请说明理由.231n 122. （2013 届丰台区一模理科）设满足以下两个条件的有穷数列 为 n（n=2,3,4,）阶“期待数列”：12,a ； .1230naa 123na（

17、）分别写出一个单调递增的 3阶和 4阶“期待数列” ；（）若某 2k+1( )阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；*kN（）记 n阶“期待数列”的前 k项和为 ，(1,23,)kSn试证：（1） ； （ 2） 1kS1.nia23. （2013 北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分 14分)设数列 对任意 都有 (其中 、 、 是常数) .na*N112()()n nkbapa kbp(I)当 , , 时,求 ;0k3b4p23n(II)当 , , 时,若 , ,求数列 的通项公式;10395(III)若数列 na中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列

18、”.当 , ,1k0b时,设 S是数列 n的前 项和, ,试问:是否存在这样的“封闭数列” na,使得对任0p21a意 ,都有 ,且 .若存在,求数列 n的首项 的所有取值;*Nn0n1238nSS 1若不存在,说明理由.24. （昌平区 2013 届高三上学期期末理）已知每项均是正整数的数列 12310,a ，其中等于 i的项有 ik个(1,23)i，设 jj kkb21(1,23) ， (mgb (1,23).（）设数列 40,3,45100.k，求 (),)4gg；（）若 1231,a 中最大的项为 50， 比较 (),m的大小；（）若 02 ，求函数 g的最小值25. （2013 北京

19、朝阳二模数学理科试题）已知实数 ( )满足 ,记12,nx |1(,23)ixn.121(,)nijijnSxx()求 及 的值; ()当 时,求 的最小值;,3(,)S3123(,)Sx()求 的最小值.12()nSx注: 表示 中任意两个数 , ( )的乘积之和.ijijn12,nx ixj1ijn26. （北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)）已知 ( , ), ( , )是函AB数的图象上的任意两点(可以重合),点 在直线 上,且 .M21x(1)求 + 的值及 + 的值 (2)已知 ,当 时, + + + ,求 ;(3)在(2)的条件下,设 = , 为数列 的前 项和,

20、若存在正整数 、 ,使得不等式 成立,求 和 的值.27. （2013 北京海淀二模数学理科试题及答案）(本小题满分 13分)设 是由 个实数组成的 行 列的数表,如果某一行 (或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中Amnmn所有数的符号,称为一次“操作”. () 数表 如表 1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表 1() 数表 如表 2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均A为非负整数,求整数 的所有可能值;a()对由 个实数组成的 行 列的任

21、意一个数表 ,能否经过有限次mnmnA“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 表 2和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由. 28. （2013 北京房山二模数学理科试题）设 3m,对于项数为 的有穷数列 na,令 kb为)(,21ka中的最大值,称数列 nb为 a的“创新数列”.例如数列 3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数 )(21 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列 nc.()若 ,写出创新数列为 3,5,5,5,5的所有数列 nc;5m()是否存在数列 nc的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由;()是否存在数列 ,使它的创

22、新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件的数列 nc的个数;若不存在,请说明理由.1 2 3 71 0 1221aa29. （东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科）已知实数组成的数组 123(,)nxx 满足条件： 10nix； 1nix.() 当 2时，求 ， 2的值； （）当 3n时，求证： 1231x；（）设 123naa ,且 1n(2)，求证： 11()ni naa.30. （东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学（理）试题 ）设 1a， 2， 0是首项为 1，公比为 2 的等比数列，对于满足 190k的整数 k，数列 1b， 2， 0 由 20kn时， 当 时，

23、 当 2-1nk 确定。记 201nbaM()当 时，求 的值； ()求 的最小值及相应的 的值M31. （2013 西城二模）已知集合 是正整数 的一个排列 ,函数1212(,)|,nnnSxx 1,23,n (2)n对于,0().gx 1naS，定义: ,称 为 的满意指数.排列 为排列 的生成列;排列 为排列10biia12,nb 12,na 12,na的母列.2n()当 时,写出排列 的生成列及排列 的母列;63,546,0,3,4()证明:若 和 为 中两个不同排列,则它们的生成列也不同;12na 12na S()对于 中的排列 ,定义变换 :将排列 从左至右第一个满意指数为负数的项

24、调至首nS, 12,na项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:一定可以经过有限次变换 将排列 变换为各项满意12,na指数均为非负数的排列.32. （2013 北京东城高三二模数学理科）已知数列 , , , , .na12na410n41na(*)N()求 , ; ()是否存在正整数 ,使得对任意的 ,有 ;4a7 T*NT()设 ,问 是否为有理数,说明理由.312010naS S33. （2013 北京高考数学（理）已知 是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 项的最大值记为 ,第 项之na nnA后各项 , ,的最小值记为 ，1na2BnAd(1)若 为 是一个周期为 的数列（即对

25、任意 ） ，写出 的值；,34 4，Nna4 4321,d(2) 设 是非负整数，证明： （ ）的充分必要条件为 是公差为 的等差数列；ddn3,21nd(3) 证明：若 ， （ ） ，则 的项只能是 或者 ，且有无穷多项为21a,na12134. （石景山区 2013 届高三一模数学理）给定有限单调递增数列 ( )且 ( ),定义nx，N2n0ixni1集合 .若对任意点 存在点 使得 ( 为坐标原*,1, NjinjixAji 且 ,1A,2OA点),则称数列 具有性质 .nP(I)判断数列 : 和数列 : 是否具有性质 ,简述理由.x2,ny3,2P(II)若数列 具有性质 ,求证: 数

26、列 中一定存在两项 使得 ；n nxjix0ji若 且 ,则 .0,11n2()若数列 只有 2013项且具有性质 , ,求 的所有项和 .nxP3x2013S35. （2013 届北京西城区一模理科）已知集合 *12|(,),12,()n niSXxxnN 对于 ， ，定义 ；12(,)nAa 12(,)nBb 12(ABbaba； 与 之间的距离为 1212,nnaR 1,)|niid（）当 时，设 ， 若 ，求 ；55(,)(2,413)(,)75a（） （）证明：若 ，且 ，使 ，则 ； nABCS0ABC(,)(,)dABCdA（）设 ，且 是否一定 ，使 ？说明理由；,(,)(,)

27、(,)dd0B（）记 若 ， ，且 ，求 的最大值(1)nI nIIp(,)36. （海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学（理）数列 na的各项都是正数,前 n项和为 nS,且对任意 N,都有 333212naaS .()求证: n; ()求数列 na的通项公式. 37. （通州区 13 届高三上学期期末理科）现有一组互不相同且从小到大排列的数据 012345,aa，其中0a记 12345Ta， ,nx01nnyaT ,，作函数 yfx，使其图象为逐点依次连接点 ,23,45P的折线（）求 0f和 f的值；（）设直线 1nP的斜率为 ,2345nk，判断 12345,k的大小关系；（）

28、证明：当 0,1x时， fx38. （朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）将正整数 21,34,n （ ）任意排成 n行 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数 ab（ ）的比值 ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（）当 2n时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值” ；（）若 ija表示某个 行 n列数表中第 i行第 j列的数（ 1in， j） ，且满足 (1),ijjiij， ， 请分别写出 3,45时数表的“特征值” ，并由此归纳此类数表的“特征值” （不必证明） ；（）对于由正整数 21,34,n 排成的 行 n列的任意数表，记其

29、“特征值”为 ，求证： 1n.39. （2013 届北京大兴区一模理科）已知数列 的各项均为正整数，且 ，na12 naa设集合 。1| 10， ， 或 ， 或 （ ）nkiiiiAxakn性质 1 若对于 ，存在唯一一组 （ ）使 成立，则称数列 为完备数列，当 kki,2， k1ixana取最大值时称数列 为 k 阶完备数列。na性质 2 若记 ，且对于任意 ， ，都有 成立，则称数列 为完整数列，1（ ）kim kxmZkxAn当 k 取最大值时称数列 为 k 阶完整数列。na性质 3 若数列 同时具有性质 1 及性质 2，则称此数列 为完美数列，当 取最大值时 称为 阶完n nakna

30、k美数列；（）若数列 的通项公式为 ，求集合 ，并指出 分别为几阶完备数列，几阶完整数列，nana2An几阶完美数列；（）若数列 的通项公式为 ，求证：数列 为 阶完备数列，并求出集合 中所有元素的n 10nnanA和 。 nS（）若数列 为 阶完美数列，求数列 的通项公式。nan40. （2010 年高考（北京理）已知集合 对于12|(,),0,1,2()n niSXxxin，, ,定义 与 的差为12(,)nAa12(,)nBbAB12(|,|);nabab与 之间的距离为 1|idAab()证明: ,且 ;,nnCSS有 (,)(,)dCd()证明: 三个数中至少有一个是偶数;()BdB() 设 , 中有 ( 2)个元素,记 中所有两元素间距离的平均值为 ( ),nPmPdP证明: ( ) . d21)