1、难点六 数列中的证明、探索性和存在性、不定方程的解等综合问题(对应学生用书第 72 页)近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的证明、探索等综合问题，这类问题不仅考查学生的分析问题解决问题的能力，以及探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间1等差数列、等比数列的证明问题有关证明、判断数列是等差(等比)数列的主要证明方法有：定义法、性质法定义法：用定义法判断一个数列是等差数列，常采用的两个式子 an an1 d 和 an1 an d 有差别，前者必须加上“ n2” ，否则 n1 时 a0无意义；在等比数列中一样有： n2 时，有 q(常数 q0)； nN *时，有 q(常数 q0)anan 1
2、an 1an性质法：an an2 2 an1 an是等差数列， anan2 ( an1 )2(an0) an是等比数列，这是证明数列 an为等差(等比)数列的另一种主要方法【例 1】 (苏北四市淮安、宿 迁、连云港、徐州)2017 届高三上学期期中)在数列 an中，已知a1 ， an1 an ， nN *，设 Sn为 an的前 n 项和13 13 23n 1(1)求证：数列3 nan是等差数列；(2)求 Sn；(3)是否存在正整数 p， q， r(p q r)，使 Sp， Sq， Sr成等差数列？若存在，求出p， q， r 的值；若不存在，说明理由解 (1)证明：因为 an1 an ， nN
3、*，所以 3n1 an1 3 nan2，13 23n 1又因为 a1 ，所以 31a11，13所以3 nan是首项为 1，公差为2 的等差数列(2)由(1)知 3nan1( n1)(2)32 n，所以 an(32 n) n，(13)所以 Sn1 1(1) 2(3) 3(32 n) n，(13) (13) (13) (13)所以 Sn1 2(1) 3(52 n) n(3 2 n) n1 ，13 (13) (13) (13) (13)两式相减得 Sn 223 13 (13)2 (13)3 (13)n(32 n) n1(13) 2 (2 n3) n1 2 n n1 ，13 191 (13)n 11
4、13 (13) (13)所以 Sn .n3n(3)假设存在正整数 p， q， r(p q r)，使 Sp， Sq， Sr成等差数列，则 2Sq Sp Sr，即 .2q3q p3p r3r由于当 n2 时， an(32 n) n0，所以数列 Sn单调递减(13)又 p q，所以 p q1 且 q 至少为 2，所以 ，p3p q 13q 1 .q 13q 1 2q3q q 33q当 q3 时， ，又 0，p3p q 13q 1 2q3q r3r所以 ，等式不成立p3p r3r 2q3q当 q2 时， p1，所以 ，所以 ，所以 r3( Sn单调递减，解唯一确定)49 13 r3r r3r 19综上
5、可知， p， q， r 的值为 1,2,3.2数列中探索与存在性问题数列探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果而要确定范围内的数值，则往往涉及不定方程的正整数解问题【例 2】 (2017江苏省盐城市高考数学三模)已知数列 an， bn都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项)，则得到一个新数列 cn(1)设数列 an， bn分别为等差、等比数
6、列，若 a1 b11， a2 b3， a6 b5，求 c20；(2)设 an的首项为 1，各项为正整数， bn3 n，若新数列 cn是等差数列，求数列 cn的前 n 项和 Sn；(3)设 bn qn1 (q 是不小于 2 的正整数)， c1 b1，是否存在等差数列 an，使得对任意的nN *，在 bn与 bn1 之间数列 an的项数总是 bn？若存在，请给出一个满足题意的等差数列 an；若不存在，请说明理由【导学号：56394105】解 (1)设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q，由题意得，Error!解得 d0 或 3，因数列 an， bn单调递增，所以 d0， q1，所
7、以 d3， q2，所以 an3 n2， bn2 n1 .因为 a1 b11， a2 b3， a6 b5， b7 a20. c20 a1749.(2)设等差数列 cn的公差为 d，又 a11，且 bn3 n，所以 c11，所以 cn dn1 d.因为 b13 是 cn中的项，所以设 b1 cn，即 d(n1)2.当 n4 时，解得 d 1，不满足各项为正整数；2n 1当 b1 c33 时， d1，此时 cn n，只需取 an n，而等比数列 bn的项都是等差数列 an中的项，所以 Sn ；当 b1 c23 时，n n 12d2，此时 cn2 n1，只需取 an2 n1，由 3n2 m1，得 m
8、，3 n是奇数，3 n1 是正偶数， m 有正整数解，3n 12所以等比数列 bn的项都是等差数列 an中的项，所以 Sn n2.综上所述，数列 cn的前 n 项和 Sn 或 Sn n2.n n 12(3)存在等差数列 an，只需首项 a1(1， q)，公差 d q1.下证 bn与 bn1 之间数列 an的项数为 bn，即证对任意正整数 n，都有Error!即Error!成立由 bn a1 q qn21 qn1 a1(1 q qn2 )(q1)1 a10，bn1 a1 q qn1 qn a1(1 q qn1 1)( q1) q a10.所以首项 a1(1， q)，公差 d q1 的等差数列 an符合题意
