1、数列的综合问题与数列的应用基础巩固强化1.若 a、b、c 成等比数列，则函数 f(x)ax 2bxc 的图象与 x 轴交点的个数是( )A0 B1 C2 D不确定2在数列 an中，a 11， anan1 a n1 (1) n(n2，nN *)，则 的值是( )a3a5A. B. C. D.1516 158 34 383数列 an满足其中任何连续的三项之和为 20，并且 a49，a 127，则 a2012( )A9 B7 C4 D24设正项等比数列a n的前 n 项之积为 Tn，且 T1032，则 的最小值为( )1a5 1a6A2 B. C2 D.2 2 3 3已知a n是等差数列， Sn 为
2、其前 n 项和，若 S21S 4000，O 为坐标原点，点 P(1，a n)，点Q(2011，a 2011)，则 ( )OP OQ A2011 B2011 C0 D15数列 an是公差 d0 的等差数列，数列b n是等比数列，若a1b 1，a 3b 3，a 7b 5，则 b11 等于( )Aa 63 Ba 36 Ca 31 Da 136 已知 an为等差数列， bn为正项等比数列，公式 q1，若 a1b 1，a 11b 11，则( )Aa 6b 6 Ba 6b6 Ca 60，b0，A 为 a、b 的等差中项，正数 G 为 a、b 的等比中项，则 ab 与 AG 的大小关系是( )AabAG B
3、abAG CabAG D不能确定7小王每月除去所有日常开支，大约结余 a 元小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行 a 元，存期 1 年(存 12 次)，到期取出本和息假设一年期零存整取的月利率为 r，每期存款按单利计息那么，小王存款到期利息为 _元8已知双曲线 an1 y2a nx2a n1 an(n2，nN *)的焦点在 y 轴上，一条渐近线方程是y x，其中数列a n是以 4 为首项的正项数列，则数列a n的通项公式是_29已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 an1 5S n 3，且 a11，则a n的通项公式是_10已知等差数列a n的公差大于 0，且 a3、a
4、 5 是方程 x214x450 的两个根，数列bn前 n 项和为 Sn，且 Sn (nN *)1 bn2(1)求数列a n，b n的通项公式；(2)若 cna nbn，求数列c n的前 n 项和 Tn.已知数列 an的前 n 项和是 Sn，且 2Sn2a n.(1)求数列a n的通项公式；(2)记 bna n n，求数列b n的前 n 项和 Tn.能力拓展提升12已知数列a n、b n满足 a1 ，a nb n1， bn1 ，则 b2012( )12 bn1 a2nA. B. C. D.20112012 20122011 20122013 20132012等比数列 an中，a 36，前三项和
5、S3 4xdx，则公比 q 的值为( )30A1 B C1 或 D 1 或12 12 1213已知实数 a、b、c 、 d 成等比数列，且函数 y ln(x2) x 当 xb 时取到极大值c，则 ad 等于 _14在一个数列中，如果nN *，都有 anan1 an 2k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积已知数列a n是等积数列，且 a11，a 22，公积为 8，则a1a 2a 3a 12_.已知两个等比数列a n、 bn满足 a1a(a0) ，b 1a 11，b 2a 22，b 3a 33，若数列a n唯一，则 a_.15已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足
6、：S na(S na n1)(a 为常数，且 a0，a1)(1)求a n的通项公式；(2)设 bna Snan，若数列b n为等比数列，求 a 的值2n(3)在满足条件(2) 的情形下，设 cn ，数列c n的前 n 项和为 Tn，求证：1bn 1 1bn 1 1Tn2n .1216已知数列a n是公差 d0 的等差数列，记 Sn 为其前 n 项和(1)若 a2、a 3、 a6 依次成等比数列，求其公比 q.(2)若 a11，证明点 P1 ，P 2 ，P n (nN *)在同一条直线上，并写(1，S11) (2，S22) (n，Snn)出此直线方程在等差数列a n中， 设 Sn 为它的前 n
7、项和，若 S150，S 160 是 S9S 3 的( )A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2已知正数组成的等差数列a n的前 20 项的和是 100，那么 a6a15 的最大值是( )A25 B50 C100 D不存在3数列 an是公差不为 0 的等差数列，且 a1、a 3、 a7 为等比数列b n中连续的三项，则数列b n的公比为 ( )A. B4 C 2 D.2124已知各项均不为零的数列a n，定义向量 cn( an，a n1 )，b n(n，n1) ，nN *.则下列命题中为真命题的是( )A若对于任意 nN *总有 cn bn 成立，则数列a n
8、是等差数列B若对于任意 nN *总有 cn bn 成立，则数列a n是等比数列C若对于任意 nN *总有 cnb n 成立，则数列a n是等差数列D若对于任意 nN *总有 cnb n 成立，则数列a n是等比数列5小正方形按照下图中的规律排列：每小图中的小正方形的个数就构成一个数列a n，有以下结论：a 515；数列a n是一个等差数列； 数列a n是一个等比数列；数列的递推公式为：a na n1 n(nN *)，其中正确的为( )A B C D6如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”介于 1 到 200 之间的所有“神秘数”之和为_7已知函数 yf (x)
9、的图象经过坐标原点，其导函数为 f (x)6x2，数列a n的前 n项和为 Sn，点( n，S n)(n N*)在函数 yf(x)的图象上(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列a n和数列b n满足等式：a n (nN *)，求数列b n的前b12 b222 b323 bn2nn 项和 Tn.8已知 f(x)a 1xa 2x2a nxn(n 为正偶数) 且a n为等差数列，f(1) n 2，f(1)n，试比较 f 与 3 的大小，并证明你的结论(12)9数列 xn满足 x10，x n1 x x nc(nN *)2n(1)证明：x n是递减数列的充分必要条件是 c0，a35 ，a 5 9，公
10、差 d 2.a5 a35 3ana 5( n5)d2n1.又当 n1 时，有 b1S 1 ，b 1 ，1 b12 13当 n2 时，有 bnS nS n1 (bn1 b n)，12 (n2)bnbn 1 13数列b n是首项 b1 ，公比 q 的等比数列，13 13bnb 1qn1 .13n(2)由(1)知，c na nbn ，2n 13nTn ，131 332 533 2n 13nTn ，13 132 333 534 2n 33n 2n 13n 1得 Tn 23 13 232 233 23n 2n 13n 1 2( ) ，13 132 133 13n 2n 13n 1整理得 Tn1 .n 1
11、3n解析 (1)当 n1 时，2S 12a 1，2a 12a 1，a 1 ；23当 n2 时，Error!两式相减得 2ana n1 a n(n2)，即 3ana n1 (n2) ，又 an1 0， (n2)，anan 1 13数列a n是以 为首项， 为公比的等比数列23 13an ( )n1 2( )n.23 13 13(2)由(1)知 bn2( )nn，13Tn2 ( )2( )3( )n(123n)13 13 13 13 1( )n .2131 13n1 13 n 1n2 13 n2 n2答案 C 答案 C 答案 1 答案 28 答案 13解析 (1)S 1a(S 1a 1 1)，a
12、1a，当 n2 时，S na(S na n1)，Sn1 a(S n1 a n1 1) ，两式相减得 anaa n1 ， a，anan 1即a n是等比数列， anaa n1 a n.(2)由(1)知 ana n，S n ，aan 1a 1bn(a n)2 anaan 1a 1 ，2a 1a2n aana 1若b n为等比数列，则有 b b 1b3，2而 b12a 2，b 2a 3(2a1)，b 3a 4(2a2a1) ，故a 3(2a1) 22a 2a4(2a2a1)，解得 a ，12再将 a 代入，得 bn( )n 成立，12 12所以 a .12(3)证明：由(2)知 bn( )n，12所
13、以 cn 112n 1112n 1 1 2 ，2n2n 1 2n 12n 1 1 12n 1 12n 1 1所以 cn2 ，12n 12n 1Tnc 1c 2 c n(2 ) (2 )(2 ) 2n 2n .12 122 122 123 12n 12n 1 12 12n 1 12解析 (1)a 2、a 3、a 6 依次成等比数列，q 3，即公比 q3.a3a2 a6a3 a6 a3a3 a2 3dd(2)证明：S nna 1 d，nn 12 a 1 d1 d.Snn n 12 n 12点 Pn 在直线 y1 d 上(n，Snn) x 12点 P1，P 2，P n(nN*)都在过点(1,1) 且斜率为 的直线上d2此直线方程为 y1 (x 1)即 dx2y2d 0.d2解析 (1)由已知可得 2，则公差 d2，a5 a35 3Error!140，S 168(a 8a 9)0，a 90；当 9i15 时， 0，即 xn0.2n即证 xnx n，即 xn是递增数列2n由()() 知，使得数列x n单调递增的 c 的范围是(0， 14
