1、【知识准备】1、正弦定理： ，其中 R为 ABC外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行。例如：（1） （2） （恒等式）（3） 2、余弦定理： 变式： 此公式在已知 ,aA的情况下，配合均值不等式可得到 bc和 的最值 4、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在 等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：其中由 利用的是余弦函数单调性，而 仅在一个三
2、角形内有效.【方法全解】类型一：转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）或一元二次不等式求范围。例 1：四边形 ABCD中， 2， ，设 ABD、 C的面积分别为 1S、 2，则当 2S取最大值时， _【答案】 102【解析】设 BDb，在 A、 BCD中分别利用余弦定理可得：，再由三角形的面积公式得：，则当 25b即 102时， 21S取得最大值。【掌握练习】1、已知 的内角 的对边 成等比数列，则 的取值范围为_【答案】2、设 的内角 所对的边 成等比数列（其中 ），则 的取值范围是_【答案】【解析】成等比数列，所以 ，
3、， ， ，由得 ， ，同理得 ，所以取值范围是 .3、在 中，角 所对的边分别为 ，若 且 ，则面积的最大值为_【答案】 4、在锐角 中， ，则 的最小值为_【答案】8【解析】,即 ,所以两边同时除以,可得 ，设 ，那么有 , ,所以 ，那么 ，故最小值为5、已知 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 的取值范围为_【答案】类型二、利用正弦定理“化边为角”或余弦定理转化为正弦型函数的性质求解。例：在 中， ， ，则 的最大值为_【答案】【解析】根据正弦定理得： ，则，其中 ，所 以 的最大值为 【掌握练习】1. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 边上的高为 ，则 取得最大值时，内角 的值为_【答
4、案】【解析】2、在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且若 ，则 的取值范围是_【答案】【解析】根据正弦定理，边角互化后可得 ，即 ，解得 ，又根据正弦定理 ，所以， ， ， 是锐角三角形， ， ， ，那么 .3、 已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，面积 .若 ，则的最大值是_ 【答案】4【解析】 ， ， ，由余弦定理知，当 时，取得最大值 .4、在 中， 分别是角 的对边，已知 ，且 ，则的最小值是_【答案】类型三、利用余弦定理转化为 的关系，再利用基本不等式求解。例：已知 中，角 所对的边分别为 ，外接圆半径是 ，且满足条件，则 的面积的最大值为_【答案】【解析
5、】因为外接圆半径 ，由正弦定理可得 ， 所以 .因为 ，所以 ，整理可得 ，所以 ，因为 ，所以 .则 ，即 .因为 ，所以 （当且仅当 时取“ ”）.（当且仅当 时取“ ”）.【掌握练习】1、在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，且 的面积的最大值为 ，则此时 的形状为_【 答案】等边或等腰三角形2、若 的内角 满足 ，则当 取最大值时，角 大小为_【答案】【解析】由条件得 ,因此所以 ,由此可知 ， ， ，当且仅当 时，即 时， ，的最大值为 ，从而角 大小为 3、在 中， 为 边上一点，若 是等边三角形，且 ，则 的面积的最大值为_ 【答案】【解析】设 ，由于 是等边三角形， ， ，整理得 ，由基本不等式得，当 时取等号， ， 4、若 的内角满足 ，则 的最小值是_【答案】5、已知 中， 的对边分别为 ，若 ，则 的周长的取值 范围是_【答案】 【解析】在 中，由余弦定理可得 ，又因为 ， ，所以，化简得 ， ， ，解得 (当且仅当 时取等号)，所以 ，由三角形两边之和大于第三边可得 ，故有 ，故 三角形 周长的取值范围是 ，所以应填.6、在锐角 中，内角 的对边分别为 ，已知，则 的面积 取最小值时有 _【答案】
