1、1 专项限时集训(六) 数列中的证明、探索性和存在性、不定方程的 解等综合问题(对应学生用书第123页) (限时：60分钟) 1(本小题满分14分)已知数列a n 是各项均为正数的等比数列，a 3 4，a n 的前3项和 为7. (1)求数列a n 的通项公式； (2)若a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n (2n3)2 n 3，设数列b n 的前n项和为S n ，求证： 2 . 1 S1 1 S2 1 Sn 1 n 解 (1)设数列a n 的公比为q，由已知得q0，且Error!Error! 数列a n 的通项公式为a n 2 n1 .4分 (2)证明：当n1时，a 1 b 1 1
2、，且a 1 1，解得b 1 1. 6分 当n2时，a n b n (2n3)2 n 3(2n23)2 n1 3(2n1)2 n1 . a n 2 n1 ，当n2时，b n 2n1. 8分 b 1 1211满足b n 2n1， 数列b n 的通项公式为b n 2n1(nN * ) 数列b n 是首项为1，公差为2的等差数列 S n n 2 . 10分 当n1时， 12 . 1 S1 1 1 当n2时， n， |an| 2n |am| 2m ( |an| 2n |an1| 2n1 ) ( |an1| 2n1 |an2| 2n2 ) ( |am1| 2m1 |am| 2m ) 1 2n n，均有|a n |2， 取正整数m 0 log 且m 0 n 0 ， 3 4 |an0|2 2n0 则2n 0 m 0 0. b n 是单调递增数列. 10分 (3)当且仅当n3时，S n 取最小值 Error! 即Error!b 1 (47，11). 16分
