1、http:/ http:/ 免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载难点 11 函数中的综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力.难点磁场() 设函数 f(x)的定义域为 R，对任意实数 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x0时 f(x)0.(1)求 f( )、f( );4(2)证明 f(x)是周期函数；(3)记 an=f(n+ ),求21).(lnima命题意图：本题主要考
2、查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力.知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件 f(x1+x2)=f(x1)f(x2)找到问题的突破口.错解分析：不会利用 f(x1+x2)=f(x1)f(x2)进行合理变形.技巧与方法：由 f(x1+x2)=f(x1)f(x2)变形为 是解)2()(2(fff 决问题的关键.(1) 解：因为对 x1,x20, ,都有 f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所以 f(x)= 0,)(ffx0,1又因为 f(1)=f( + )=f( )f( )=f( ) 22121f( )=f( + )=f( )f( )
3、=f（ ） 244又 f(1)=a0f( )=a ,f( )=a2141(2)证明：依题意设 y=f(x)关于直线 x=1 对称，故 f(x)=f(1+1x),即 f(x)=f(2x), xR.http:/ f(x)是偶函数知 f(x )=f(x),xRf(x )=f(2x ),xR.将上式中x 以 x 代换得 f(x)=f(x+2)，这表明 f(x)是 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期.(3)解：由(1)知 f(x)0,x 0,1 f( )=f(n )=f( +(n1) )=f( )f(n1) )21212121=f( )f( )f( )=f( ) n=a2121f( )=a .n1
4、又f(x )的一个周期是 2f(2n+ )=f( ),因此 an=a211 .0)llim)li ann例 2甲、乙两地相距 S 千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过 c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位) 由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度 v(km/h)的平方成正比，比例系数为 b,固定部分为 a 元.(1)把全程运输成本 y(元)表示为 v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？命题意图：本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力.知识依托：运用建模、
5、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.错解分析：不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件.技巧与方法：四步法：(1)读题；(2)建模；(3) 求解；(4)评价.解法一：(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ,全程运输成本为vSy=a +bv2 =S( +bv)vva所求函数及其定义域为 y=S( +bv),v(0, c .a(2)依题意知，S、a、b、v 均为正数S( +bv)2 S ab当且仅当 =bv,即 v= 时，式中等号成立.若 c 则当 v= 时，有 ymin；babahttp:/ c,则当 v(0,c 时，有 S( +bv)S( +bc)bava
6、c=S( )+(bvbc )= (cv)(abcv)cv0,且 cbc2,abcvabc 20S( +bv)S ( +bc),当且仅当 v=c 时等号成立，也即当 v=c 时，有 ymin；a综上可知，为使全程运输成本 y 最小，当 c 时，行驶速度应为 v= ,当 cbaba时行驶速度应为 v=c.解法二：(1)同解法一.(2)函数 y=x+ (k0),x(0,+ ),当 x(0, )时，y 单调减小，当 x( ,+)时 ykk单调增加，当 x= 时 y 取得最小值，而全程运输成本函数为 y=Sb(v+ ),v(0, c .ba当 c 时，则当 v= 时，y 最小，若 c 时，则当 v=c
7、时，y 最小.结论同上.bababa锦囊妙计在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.歼灭难点训练一、选择题1.() 函数 y=x+a 与 y=logax 的图象可能是( )2.( )定 义 在 区 间 ( ,+ )的 奇 函 数 f(x)为 增 函 数 ， 偶 函 数 g(x)在 区 间 0， +)的图象与 f(x)的图象重合，设
8、ab0,给出下列不等式：f(b)f(a) g(a)g(b) f (b)f (a)g(b)g( a) f(a)f( b)0.yx1求证： .)21(3)152fnff 7.()某工厂拟建一座平面图(如下图) 为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过 16 米，如果池外周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建造单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).(1)写出总造价 y(元)与污水处理池长 x(米)的函数关系式，并指出其定义域.(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价.8
9、.()已知函数 f(x)在(,0) (0,+)上有定义，且在(0,+)上是增函数，f(1)=0,又 g( )=sin2 mcos 2m, 0, ,设 M=m|g( )0,f(x1)f(x 2)=f (x1 x2)+x2f(x 2)=f(x1x 2)+f(x2)f (x1)=f(x 2x 1)因为 x0 时 f(x)0,f(x 1)f(x 2)0f(x)在9，9上是减函数故 f(x)的最大值为 f(9),最小值为 f(9).而 f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=12,f( 9)=f (9)=12.f(x)在区间9，9上的最大值为 12，最小值为12.歼灭难点训练一、1.解析：分类讨论当 a
10、1 时和当 0a1 时.答案：C2.解析：用特值法，根据题意，可设 f(x)=x,g(x)=|x|,又设 a=2,b=1,则 f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)f (b)=f(2)f(1)=2+1=3.g(b)g(a)=g(1) g(2)=12=1.f(a)f(b)g(1) g( 2)=1 2=1.又 f(b)f(a)= f(1)f(2)=1+2=3.g(a)g(b)=g(2) g(1)=21=1,f(b)f(a)=g( a)g( b).http:/ 2x=t0，则原方程可变为 t2+at+a+1=0 方程有两个正实根，则 01)(4212at解得：a(1
11、,22 .答案：(1，22 2三、4.解：(1)当 a=0 时，函数 f(x)=( x )2+|x |+1=f(x),此时 f(x)为偶函数；当 a0 时，f(a)=a2+1,f(a)=a 2+2|a|+1,f( a)f(a),f(a) f (a).此时函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)当 xa 时，函数 f(x)=x2x+a+1=( x )2+a+ ,若 a ,则函数 f(x)在( ,a14321上单调递减，从而，函数 f(x)在( ,a 上的最小值为 f(a)=a2+1. 若 a ,则函数 f(x)在(,a 上的最小值为 f( )= +a,且 f( )f(a). 21 1431
12、当 xa 时，函数 f(x)=x2+xa+1=(x+ )2a+ ;当 a 时，则函数 f(x)在2a,+ 上的最小值为 f( )= a,且 f( )f (a).若 a , 则函数 f(x)在a,+) 上)14311单调递增，从而，函数 f(x)在a,+上的最小值为 f(a)=a2+1.综上，当 a 时，函数 f(x)的最小值是 a,当 a 时，函数 f(x)的最小值243是 a2+1;当 a 时，函数 f(x)的最小值是 a+ .15.(1)证明：由 得 f(x)的定义域为( 1，1)，易判断 f(x)在(1，1) 内是减函02x数.(2)证明：f(0)= ,f -1 ( )=0,即 x= 是
13、方程 f-1 (x)=0 的一个解.若方程 f-1 (x)=0 还2有另一个解 x0 ,则 f-1 (x0)=0,由反函数的定义知 f(0)=x0 ,与已知矛盾，故方程 f-1 (x)2 2=0 有惟一解.(3)解：fx(x ) ,即 fx (x )f (0).21http:/ xx或6.证明：对 f(x)+f(y)=f( )中的 x,y,令 x=y=0,得 f(0)=0,再令 y=x,又得 f(x)+f(x)1=f(0)=0,即 f( x)= f(x), f(x)在 x ( 1,1)上 是 奇 函 数 .设 1 x1 x2 0,则 f(x1) f(x2)=f(x1)+f( x2)=f(),1
14、x 1x 20,x 1x 20,1x 1x20. 0,于是由知 f( )2 2121 0,从而 f(x1)f (x2)0,即 f(x1)f(x2),故 f(x)在 x(1,0)上是单调递减函数.根据奇函数的图象关于原点对称，知 f(x)在 x(0,1)上仍是递减函数，且 f(x)0.),21()21,0,0 ),21()21()()41(3)1(25)21()()21( )2(1)2()3(22故 原 结 论 成 立有时 fnff nffnffffff nffnf nfnfnf 7.解 ： (1)因 污 水 处 理 水 池 的 长 为 x 米 ， 则 宽 为 米 ， 总 造 价 y=400(2
15、x+2 )+248x202+80200=800(x+ )+1600,由题设条件x034解得 12.5x16,即函数定义域为12.5，16.1620,x(2)先研究函数 y=f(x)=800(x+ )+16000 在12.5,16上的单调性，对于任意的324x1,x212.5,16,不妨设 x1 x2,则 f(x2)f(x 1)=800(x 2 x1)+324( )=800(x 2x 1)12(1 ),12.5x 1x 216. 0x 1x216 2324, 1,即 1 0.又2134 2134x234xhttp:/ 10,f( x2)f( x1)0,即 f(x2)f (x1),故函数 y=f(
16、x)在 12.5,16上是减函数.当 x=16 时，y 取得最小值，此时，y min=800(16+ )+16000=45000(元)， =12.5(米）6341620x综上，当污水处理池的长为 16 米，宽为 12.5 米时，总造价最低，最低为 45000 元.8.解：f(x) 是奇函数，且在(0,+)上是增函数，f(x) 在( ,0)上也是增函数.又 f(1)=0,f( 1)=f(1)=0,从而，当 f(x)0 时，有 x1 或 0x1,则集合 N=m|fg( ) =m|g( )1 或 0g( )1 ,MN=m|g( )1 .由 g( )1,得 cos2 m(cos 2)+2, 0, ,令2x=cos ,x0,1得：x 2m(x2)+2,x0,1 ，令：y 1=x2,x0,1及y 2=m(m2)+2,显然为抛物线一段，是过(2 ，2) 点的直线系，在同一坐标系内由 x0,1得y1y2.m42 ,故 MN =m|m42 .http:/
