1、1解排列组合应用题的解法 技巧一. 运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。例 1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？例 2：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）（A）6 种 （B）9 种 （C）11 种 （D）23 种练习：1 投递问题：3 封信 2 个邮箱有多少投递方案2 映射个数计算：从集合 A1，2，3， 到集合 Ba，b能建立多少映射二. 特殊元素（位置）优先-(优待法)所谓“优待法”是指在解决排列组合问
2、题时，对于有限制条件的元素(或位置)要优先考虑例 3：从 0，1，9 这 10 个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到无重复数字的五位偶数多少个？注 0，2，4，6，8 是特殊元素，元素 0 更为特殊，首位与末位是特殊的位置。例 4：8 人站成两排，每排 4 人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？【eg】在由数字 0、1、2、3、4、5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数共有( )个注这道例题是典型的限制排列组合题解题时，若从元素入手(即元素优先)，常要分类讨论，分类时要注意堵漏防重；若从位置入手(即位置优待 1，常要分步解答，分步时要注意分步完整，各步相连练习（
3、1）由数字 0，1，2，9 组成没有重复数字的三位数，且能被 3 整除（2）从 1，2，3，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被 7 整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从 1，2，3，100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被 4 整除的取法（不计顺序）有多少种？三. 捆绑法在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法例 5：8 人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？注运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题
4、四. 插空法不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法例 6：排一张有 8 个节目的演出表，其中有 3 个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？注：捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条件的排列问题【eg】用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求 1 与 2 相邻，2 与 4 相邻，5与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻。这样的八位数共有( )个(用数字作答)2例 7.马路上有编号为 1，2，3，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能
5、关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？注运用插空法解决不相邻问题时，要注意欲插入的位置是否包含两端位置1 练习 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 五.定序问题缩倍法 例 8.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法练习题：由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种七.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置
6、的约束，可逐一安排元素的位置，一般地 个不同元素排在 个不同位置的排列数有 种方法.nmnm例 10.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法练习题：1. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.名额（指标）分配问题隔板法:例 9.有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 练习题：1 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法？ 49C2 20 个相同的球分给 3 个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？3. 10xyzw求这个方程组的非负整数解的个数 3104. 10 张参观公园
7、的门票分给 5 个班，每班至少 1 张，有几种选法？注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。【eg】10 个相同的球各分给 3 个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15） ；八.排列组合混合问题先选后排策略（全员分配问题分组法）:例 11.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习题：（1）4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A、480 种 B、240 种 C、120 种 D、96
8、种定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 种n解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?将 n 个相同的元素分成 m 份（ n，m 为正整数）,每份至少一个元素 ,可以用 m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为 1mn3九. .利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例 12.（1）圆周上有 10 点
9、，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？（2）某城市的街区有 12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从 A 到 B 的最短路径有多少种？练习：1：一个楼梯共 10 级台阶，每步走 1 级或 2 级，8 步走完，一共有多少种走法？2：动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8） ，要使行驶的路程最小，有多少种走法？十三：有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例 13.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D
10、、5040 种（2）9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？十.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例 14.（1）6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种（2）8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某 1 个元素排在后排，有多少种不同排法？欣赏部分十一.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:例 15.（1）30030 能被多少个不同偶数整除？（2）正方体 8 个顶点可连成多
11、少队异面直线？十二.数字排序问题查字典策略例 15由 0，1，2，3，4，5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数？练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第 71 个数是 十三.圆排问题单排法:把 个不同元素放在圆周 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才nn算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列 个普通排列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同， 个元素1232341,;,;,nnnaaa n的圆排列数有
12、 种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的 元素全排列.! 1例 16.有 5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？练习类型一 排列的基本问题例一 7 位同学站成一排照相(1)甲站在中间，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(6)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？变式 6 个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？4(1)甲不站两端； (2) 甲、乙必须相邻； (3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间间隔两人；(
13、5)甲、乙站在两端； (6) 甲不站左端，乙不站右端类型二 组合的基本问题例二 课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各指定一名队长现从中选 5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有 1 名女生；(2) 两队长当选；(3) 至少有 1 名队长当选；(4) 至多有 2 名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选变式 从 7 名男同学和 5 名女同学中选出 5 人，分别求符合下列条件的选法总数为多少？(1)A，B 必须当选； (2)A，B 都不当选；(3)A ，B 不全当选；(4)至少有 2 名女同学当选；(5)选出 3 名男同学和 2 名女同学，
14、分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作，但体育委员必须由男同学担任，文娱委员必须由女同学担任类型三 分堆与分配问题例三 现有 6 本不同的书：(1)甲、乙、丙三人每人两本，有多少种不同的分配方法？(2)分成三堆，每堆 2 本，有多少种分堆方法？(3)分成三堆，一堆 1 本，一堆 2 本，一堆 3 本，有多少种不同的分堆方法？(4)分给甲、乙、丙三人，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本，有多少种不同的分配方法？(5)甲、乙、丙三人中，一人分 4 本，另两人每人分 1 本，有多少种不同的分配方法？一般地：将 个不同元素均匀分成 组（每组 个元素） ，共有 种方法mnnmmmnCA思考（1）：8 名球员住 A、B、C 三个房间，每个房间最多住 3 人，有多少种住宿方法？思考（2）：六本相同的书发给甲、乙、丙三人，要求全部分完，不管三人是否均分到书问有多少种不同的分法？类型四 数字排列问题例四 用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个不同的四位偶数？其他1 从 10 双袜子中取 6 只，恰有一双的取法有多少种2 把五个不同的球放入五个不同的盒子中，恰有一个盒子
