2017高考数学应用题.doc

1、BA1A2COA318(本题满分 16 分)如图所示：一吊灯的下圆环直径为 4m，圆心为 O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离 )(OB即 为 2m，在圆环上设置三个等分点 A1，A 2，A 3。点 C 为 OB上一点（不包含端点 O、B） ，同时点 C 与点 A1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳 CA1，CA 2，CA 3 的长度相等。设细绳的总长为 y（1）设CA 1O = (rad)，将 y 表示成 的函数关系式；（2）请你设计 ，当角 正弦值的大小是多少时，细绳总长 y 最小，并指明此时 BC 应为多长。18. （）解：在 RtCOA1 中，cos

2、1C， tan， 2 分t2cos3BAy=2cos)in3(2（ 40）7 分（） 22/ cos1in3cs)i(in3( y ， 令 0，则 1i 12 分当 3sin时， y； 3sin时， 0y， iy在 4,0上是增函数当角 满足 31sin时，y 最小，最小为 24；此时 BC 2m 16 分19由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年 12 个月内每月销售量 ()Pt（单位：吨）与上市时间 t（单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线 ABCDE表示，销售价格 Q（单位：元千克）与上市时间 t（单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段 GHR表示（ 为顶点） （1）

3、请分别写出 ()Pt, Q关于 t的函数关系式，并求出在这一年内 3 到 6 月份的销售额最大的月份？（2）图（1）中由四条线段所在直线围成的平面区域为 M，动点 (,)Pxy在 内（包括边界） ，求5zxy的最大值；（3） 由（2） ，将动点 (,)Pxy所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如123类比为 31xy） ，试列出 所满足的条件，并求出相应的最大值（图 1） （图 2）19.解()503,619,72ttPtt2()(4)6(01)Qttt 1P（ 36t 23()()6tt在 (,恒成立，所以函数在 6,3(上递增当 t=6 时， max)A=34.5 6 月份

4、销售额最大为 34500 元 () 715y，z=x5y 令 x5y=A(x+y)+B(xy)，则 321BA，z=x5y=2(x+y)+3(xy)由 0)(2yx, 21)(yx， 19,则(z) max=11 ()类比到乘法有已知 715yx,求 5yz的最大值 由 5y=( x)A( y)B325BA 21)(, 34)( 412z，则(z) max= 54 18 （本题满分 15 分）如图甲，一个正方体魔方由 27 个单位（长度为 1 个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层1EFGH转动 ，如图乙，设 的对边长为 x（1）试用 表示 x；（2）求魔方增加的表面积的最大值18命题立意

5、：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力解：（1）由题意得 ，3sintax解得 ， （6 分）3 0 1icox， ，（2）魔方增加的表面积为 28tanxS，由（1）得 27sic 0 (1o)， ， ， （10 分）令 sincoin 1t t， ， ，则 236122360872()tSt（当且仅当 2t即 时等号成立） ，答：当 时，魔方增加的表面积最大为 1 （15 分）17 （本题满分 15 分）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）它的上部是底面圆半径为 5m 的圆锥，下部是底面圆半径为 5m 的圆柱，且该仓库的总高度为 5m

6、经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为 400 元/ 、100 元/ ，问当圆锥的高度2m2为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？17命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力EFGH11（图甲）11 EFGNMxH（图乙）解：（法一）设圆锥母线与底面所成角为 ，且 ， （2 分）0 4，则该仓库的侧面总造价 1525(1tan) 40cosy ， （8 分）si03+co由 得 ，即 ， （13 分）2sin150coy1in26经检验得，当 时，侧面总造价 最小，此时圆锥的高度为 m （15 分）6y53（法二）设圆锥的高为 m，且 ，

7、（2 分）x0 5，则该仓库的侧面总造价 212(1)540yxx， （8 分）2150+5x由 得 ， （13 分）210y 53x经检验得，当 时，侧面总造价 最小，此时圆锥的高度为 m （15 分）53xy533. 在一个六角形体育馆的一角 MAN 内，用长为 a 的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示） ，已知120A，B 是墙角线 AM 上的一点，C 是墙角线 AN 上的一点(1) 若 BC=a=20, 求储存区域面积的最大值；(2) 若 AB=AC=10,在折线 MN内选一点 D，使 20CB，求四边形储存区域 DBAC 的最大面积.解：(1)设 ,0.ABxy由 220cos1

8、2cos120xy ，得 204in6xy. 222110cos6013sin2sico6.si 4intaS 即3y四 边 形 DBAC面 积 的 最 大 值 为 ， 当 且 仅 当 x=时 取 到 (2) 由 0，知点 D在以 B， C为焦点的椭圆上，32512ABCS，要使四边形 DBAC 面积最大，只需 DBC的面积最大，此时点 D到 的距离最大, 即 必为椭圆短轴顶点由 103B，得短半轴长 5,BDbS面积的最大值为103522.因此，四边形 ACDB 面积的最大值为 5033.某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为 2m(1)过点 P的一条直线与走廊的外侧两边交于 ,A

9、B两点，且与走廊的一边的夹角为 (0)2，将线段 AB的长度 l表示为 的函数；(2)一根长度为 5m 的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计） 解：(1) 根据图得 2() ,(0,).sinco2lBPA(2) 铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下： 2()()sincosl2200sinico 332(sico).令 ()l得， 4当 0时， ()0,ll为减函数；当 42时， ,()ll为增函数；所以当 时， ()l有最小值 42，因为 5，所以铁棒能水平通过该直角走廊19 （本小题满分 16 分）如图一块长方形区域 ABCD，AD2（ ） ，AB

10、1（ ） 在边 AD 的中点 O 处，有一个可转动的kmk探照灯，其照射角EOF 始终为 ，设AOE，探照灯 O 照射在长方形 ABCD 内部区域的面积为4S（1）当 0 时，写出 S 关于 的函数表达式；2（2）当 0 时，求 S 的最大值4（3）若探照灯每 9 分钟旋转“一个来回” （OE 自 OA 转到OC，再回到 OA，称“一个来回 ”，忽略 OE 在 OA 及 OC 反向旋 G F E D C B A O （第 19 题）转时所用时间） ，且转动的角速度大小一定，设 AB 边上有一点 G，且AOG ，求点 G 在“一个来回”6中，被照到的时间19解：（1）过 O 作 OHBC ，H

11、为垂足当 0 时，4E 在边 AB 上， F 在线段 BH 上（如图） ，此时，AE ，FH ， 2 分tantan()4SS 正方形 OABHS OAE S OHF 4 分1tant()24当 时，4E 在线段 BH 上， F 在线段 CH 上（如图） ，此时，EH ，FH ， 6 分1tan13tan()4EF tta()SS OEF 1132tant()4综上所述， 8 分1ttan,(0),241,().3t 2ta()4S （2）当 0 时，S ，41tnta()24即 S 10 分1(ta)2tH O A B C DE F G 图H G F E D C B A O 图0 ，0 1即

12、 11 24tantan 2 1tantS2 当 1 时，S 取得最大值为 2 12 分ta（3）在“一个来回”中，OE 共转了 2 34其中点 G 被照到时，共转了 2 14 分6则“一个来回”中，点 G 被照到的时间为 （分钟） 16 分39217 （本小题满分 14 分）第十八届省运会将于 2014 年 9 月在徐州市举办为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉如图，该花坛的边界是两个半径为 10 米的圆弧围成，两圆心 、 之间的距离为 米1O210（1）如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点 ， ， ， 均在圆弧上， 于点 设ABCDABM，求矩形的宽 为多少时，可使喷泉

13、的面积最大；2AOMq=AB（2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为 2 米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中 ， 米若 ，求喷泉的面积的取值范围N24O,64Mpq=、17 （1）在直角 中， ， ，则 ，2AOM 10sin210cosOM20cos1AD所以矩形 的面积 ，4 分BCDi(co)(ini)S令 ， ，()sincosif3pq则 ，224cos令 ，得 设 ，且 ，列表如下：()0f31cos801803pqO1 O2 MBACD观 赏 长 廊 N（第 17 题图乙）MBACDO1（第 17 题图甲）O20,00(,)3()f0 极大值 所以当

14、，即 时，矩形 的面积最大 10 分0532ABABCD（2）由（1）易得，喷泉的面积 ，0sin(1cos4)10sin28siS由 知， ，所以函数 是单调增函数，,64pq2,3pq )ig所以 13 分50,140S答：（1）矩形的宽 （米）时，可使喷泉 的面积最大；523ABABCD（2）喷泉的面积的取值范围是 （单位：平方米） 14 分04,10217. （本小题满分 14 分）如图，某生态园将一三角形地块 ABC 的一角 APQ 开辟为水果园，种植桃树，已知角 A 为 120，AB， AC 的长度均大于 200 米现在边界 AP，AQ 处建围墙，在 PQ 处围竹篱笆（1）若围墙

15、AP，AQ 总长为 200 米，如何围可使三角形地块 APQ 的面积最大？（2）已知 AP 段围墙高 1 米，AQ 段围墙高 1.5米，造价均为每平方米 100 元若围围墙用了 20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？17解 设 米， 米APxQy（1）则 ， 的面积20yP 3 分3sin4SxxyS 2() 50当且仅当 时取“=” 6 分1xyQP CB A（第 17 题）（注：不写“”成立条件扣 1 分）（2）由题意得 ，即 8 分10(.5)20xy1.520xy要使竹篱笆用料最省，只需其长度 PQ 最短，所以22cosPQxy2(01.5)(01.5)y（ ） 11 分2.744

16、03当 时， 有最小值 ，此时 13 分8yPQ2727x答：（1）当 米时，三角形地块 APQ 的面积最大为 平方米；10A2503（2）当 米 米时，可使竹篱笆用料最省 14 分278,18(本小题满分 14 分)因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放 ,且 个单位的药剂,它(14a)aR在水中释放的浓度 (克/升)随着时间 (天)变化的函数关系式近似为 ,其中yx (yfx.16048()5(1)2xfx若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度

17、之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于 4(克 /升)时,它才能起到有效治污的作用.（1）若一次投放 4 个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? （2）若第一次投放 2 个单位的药剂,6 天后再投放 个单位的药剂,要使接下来的 4 天中能够持续有效a治污,试求 的最小值( 精确到 0.1,参考数据: 取 1.4).a218解：（1）因为 ,所以 1 分464(04)821xy则当 时,由 ,解得 ,所以此时 3 分0xxxx当 时,由 ,解得 ,所以此时 5 分41204848综合,得 ,若一次投放 4 个单位的制剂,则有效治污时间可达 8 天 6 分8（2）当 时, 9 分6x16(5)(1

18、)2yxa= = ,因为 ,而 ,1604ax16()4ax148x14a所以 ,故当且仅当 时,y 有最小值为 12 分8令 ,解得 ,所以 的最小值为 14 分a2416a26.17 （本小题满分 14 分）已知 A、B 两地相距 ，以 AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点 C，连接 AC、BC ，在三角形RABC 内种草坪（如图） ，M、N 分别为弧 AC、弧 BC 的中点，在三角形 AMC、三角形 BNC 上种花，其余是空地设花坛的面积为 ，草坪的面积为 ，取 1S2SABC（1） 用 及 R 表示 和 ；2（2） 求 的最小值12S17 （1）因为 ，则 ，ABC2sin,2cos

19、RBC则 3 分2 coiS设 AB 的中点为 O，连 MO、 NO，则 ,MOAN易得三角形 AMC 的面积为 ，三角形 BNC 的面积为 ，2sin(1s)R2cos(1in)R +1S2sin(co)Rcosi)（2） ，212(insin1c2c令 ，则 sinco(1,tiot 的最小值为 12Stt12S117.（本小题满分 14 分）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为 现已知相距 18 的 A，B 两家化工厂（污染源）的污染强度分别为 ，它们k(0)km,ab连线上任意一点 C 处的污染指数 等于两化工厂对该处的污染指数

20、之和设 （ ） y ACxkm（1）试将 表示为 的函数； yx（2）若 ，且 时， 取得最小值，试求 的值a6b17解：（1）设点 C 受 A 污染源污染程度为 ，点 C 受 B 污染源污染程度为 ，其中 为比例2kax 2(18)kbxk系数，且 4 分0k从而点 C 处受污染程度 6 分22(18)kabyx（2）因为 ，所以， ， 8 分1a22x，令 ，得 ， 12 分332(8)bykx0y318b又此时 ，解得 ，经验证符合题意6所以，污染源 B 的污染强度 的值为 8 14 分b19.一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁 和外壁 都是半径为 的四分之一圆弧， ，FGBC1mA

21、B分别与圆弧 相切于 ， 两点， ， ，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是DCBCEAHD1m（1）若水平放置的木棒 的两个端点 分别在外壁 和 上，且木棒与内壁圆弧相切于MN,NA点 设 ，试用 表示木棒 的长度 ；P(rad)()f（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值19.(1)如图，设圆弧 所在的圆的圆心为 ，过 点作 垂线，垂足为点 ，且交 或其延长线与FGQCDTMN于 ，并连接 ，再过 点作 的垂线，垂足为 SPQNTW在 中，因为 ， ，RtNW2S所以 2cos因为 与圆弧 切于点 ，所以 ，MFGPQMNNMABC DEFG HPS1m1m1m1mTQ

22、WNMABC DEFG HPQ1m1m1m1m在 ，因为 ， ，RtQPS1PQS所以 ， ，cos2cosT若 在线段 上，则G在 中， ，RtSMsiniS因此 NiQT若 在线段 的延长线上，则SGST在 中， ，RtTsiniS因此 MNiQsinQSN()fsinS21()cosico8 分2sico)1(0)（2）设 ，则 ，in2t21sincot因此 24()1fgt因为 ，又 ，所以 恒成立，2)(tt2t()0gt因此函数 在 是减函数，所以 ，24)1gt(,tmin(2)4t即 minMN答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为 17(本小题满分

23、14 分)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在直线上） ，公共设施边界为曲线的一部分，栏栅与矩形区域的边界交2()1(0)fxa于点 M、N，切曲线于点 P，设 (,)tf（1）将 （O 为坐标原点）的面积 S 表示成 f 的函数 S(t)；（2）若 ，S(t)取得最小值，求此时 a 的值及 S(t)的最小值1t17解：（） ，直线 的斜率为 ，2yaxMN2t直线 的方程为N2(1)()tx令 得 0,y2 21tatxat21(,0)at令 ,得 , 2221,ytNt的面积 , MON(1)()()4a

24、aSttt（） ,24222313()attt因为 ,由 ,得 , 0t()0S210,atta得当 时, ,213,3att即 ()t当 时, . 20,tta即 0St1,()3tSta当 时 有 最 小 值已知在 处, ,故有 ，1t()St取 得 最 小 值 4,2故当 时, 432atmin1()3()42tS17 （本小题满分 14 分）在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门（该图为轴对称图形） ，其中矩形 ABCD 的三边 AB、BC 、CD 由长为 6 分米的材料弯折而成，BC 边的长为 分米（ ） ；曲线 AOD 拟从以下两种曲线中选择一种：曲

25、线 是一段余弦曲线（在如t2231t 1C图所示的平面直角坐标系中，其解析式为 ） ，此时记门的最高点 O 到 BC 边的距离为 ；1cosxy th1曲线 是一段抛物线，其焦点到准线的距离为 ，此时记门的最高点 O 到 BC 边的距离为2C89 )(2（1）试分别求函数 、 的表达式th1)(2t（2）要使得点 O 到 BC 边的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？解：（1） 231cos41 ttth6 分2319422 ttth（2）由于 恒成立，10()sintt所以函数 在 上单调递减，h3,2因此， 10 分11maxcos1t而 ， 12 分253ax2ht所以选用 1

26、4 分3cos1s2C17 （本小题满分 15 分）某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖（如图） ，其中直四棱柱的高 ，两底面 是高为 ，面积1A0m1,ABCD2m为 的等腰梯形，且 。若储水窖顶盖每平200方米的造价为 元，侧面每平方米的造价为 元，底部每平方米4的造价为 元。5（1）试将储水窖的造价 表示为 的函数；y（2）该农户如何设计储水窖，才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元（取 ） 。31.717 【解析】 （1）过 作 ，垂足为 ，则 ，AEDCE2A，2,tansiDE令 ，从而 ，ABx4tanx故 ，1210t解得 ， ， 4 分5tanx25tanCD所以

27、20140010yAABCD22855sintantan7 分213800sinta2（2）因为 ，cos8iy所以 10 分222si 801cos0inin令 ，则 ，y3当 时， ，此时函数 单调递减；0,0yy当 时， ，此时函数 单调递增。,32所以当 时， 。min380351840y答：当 时，等价最低，最低造价为 51840 元。 15 分6ADC18.如图，矩形 ABCD 是一个观光区的平面示意图，建立平面直角坐标系，使顶点 A 在坐标原点O，B，D 分别在 x 轴，y 轴上，AD3 百米 ，ABa 百米（3a 4）观光区中间叶形阴影部分 MN 是一个人 工湖，它的左下方边缘

28、曲线是函数 2）的图象的一 段为了便于游客观光，拟在观光区铺设一条穿越该观光区的直路（宽度不计） ，要求其与人工湖左下方边缘曲线段 相切（切点记为AMNP） ，并把该观光区分为两部分，且直线左下部分建设为花圃设点 P 到 AD 的距离为 t，f（t）表示花圃的面积（1）求花圃面积 f（t）的表达式； （2）求 f（t）的最小值18某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线 是以点 为圆心的圆的一部分，其ABE中 （ ，单位：米） ；曲(0,)t25t线 是抛物线 的C0()yax一部分； ，且 恰好等于圆DC的半径. 假定拟建体育馆的高 米.E5OB（1）若要求

29、 米， 米，求 与 的值；30A24ta（2）若要求体育馆侧面的最大宽度 不超过 米，求 的取值范围；DF7（3）若 ，求 的最大值.（参考公式：若 ，则 ）5a()fx1()2fxax解：（1）因为 ，解得 . 2 分03Ct20t第 18 题-甲xyOABCD第 18 题-乙EF此时圆 ，令 ，得 ，22:(0)3Exy0y105AO所以 ，将点 代入 中，4514ODA(4,3)C250()yax解得 . 4 分149a（2）因为圆 的半径为 ，所以 ，在 中令 ，得 ，E50t50CDt250yaxyttODa则由题意知 对 恒成立， 8 分7FDta(,t所以 恒成立，而当 ，即 时

30、， 取最小值 10，125ta25tt25t故 ，解得 . 10 分010（3）当 时， ，又圆 的方程为 ，令 ，得125aODtE222()(50)xytt0y，所以 ，0xt15At从而 ， 12 分()2(0)Aft又因为 ，令 ，得 ， 14 分25)ttt ()0ft5t当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，从而当(0,)t()0f(f(5,t()f时， 取最大值为 25 .t5答：当 米时， 的最大值为 25 米. 16 分5AD（说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分）方法二：令 ，则2cos,0,)t1025105sincost，其中 是锐角，

31、且 ，105in5sin() ta2从而当 时， 取得最大值为 25 米. 2AD5方法三：令 ，则题意相当于：已知 ，求,xtyt25(0,)xyxy的最大值.根据线性规划知识，当直线 与圆弧5()zAD z相切时， 取得最大值为 25 米.20,yz19. 某园林公司计划在一块 为圆心, ( 为常数)为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓OR形 区域用于观赏样板地， 区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知CMDCD观赏样板地的成本是每平方米 2 元，花木的利润是每平方米 8 元，草皮的利润是每平方米 3 元.(1) 设 , ,分别用 , 表示弓形 的面积 ;CODAM

32、llCMD(),()Sfgl弓 弓(2) 园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大?(参考公式: 扇形面积公式 )21SRl19.（1） ， , 2SR扇 21sinOCDS.2()(i)f弓又 ， ,1Sl扇 21sinOCDlR.()i)2lgll弓(2)设总利润为 元，草皮利润为 元，花木地利润为 ，观赏样板地成本为y1y2y3y， ， , 2113()yRl2sin8R31(sin)Rl.222123()siiy.510sin设 .()g(,), 12 分 cos上为减函数； 1()0,()2g在 （ 0, ） 3上为增函数. ,cos,g在 （ ， ）当 时， 取到最小值,此时

33、总利润最大. 3()g所以当园林公司把扇形的圆心角设计成 时，总利润最大. 318 （本小题满分 16 分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆 P 上的一段优弧和圆 Q 上的一段劣弧围成，圆 P 和圆 Q 的半径观赏样板地草皮地 草皮地MODC BA花木地TQPNMSRMNPQBCAD甲 乙都是 2km，点 P 在圆 Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆 P 上的多边形活动场地（1）如图甲，要建的活动场地为RST ，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形 ABCD，求场地的最大面积解：（1）如右图，过 S 作 SHRT 于 H，S RST= RT21由题意，RST 在月牙形公园

34、里， RT 与圆 Q 只能相切或相离； RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有 RT4，SH2 ，当且仅当RT 切圆 Q 于 P 时（如下左图） ，上面两个不等式中等号同时成立 此时，场地面积的最大值为 SRST= =4（km 2） 142（2）同（1）的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆 Q 于 P，再设BPA= ，则有 1 2sin2sin(2)4(sincos)02ABCDS四 边 形 令 ，则 若 ，coisny cocy 1s20y，又 时， ， 时， ， 函数 在1co23，03，032，y cosin处取到极大值也是最大

35、值，故 时，场地面积取得最大值为 （km 2） 19 （本小题满分 16 分）几名大学毕业生合作开设 打印店，生产并销售某种 产品已知该店每月生产3D3D的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为 元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销4售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出 元假设该产品的月销售量 （件）与销售价格20()tx（元/件） （ ）之间满足如下关系： 当 时， ；当xxN36x 2()510txa（第 17 题甲）DACBQPNMRSMNP QT（第 17 题乙）时， 设该店月利润为 （元） ，月利润=月销售总额月总成本607x ()1076txM（1）求 关于销售价格

36、 的函数关系式；M（2）求该打印店月利润 的最大值及此时产品的销售价格19解：（1）当 时， ，代入 ，60x()160t2()5)10txa解得 2 分2a 2()(342,6,)10760670.xxMxxx 即 4 分3248,()4. （注：写到上一步，不扣分 ）（2）设 ， ， ，则2()01)(320guu3460u R678令 ，解得 （舍去） ， 7 分()0146281(5,)u当 时， ， 单调递增；345u()0gu()当 时， ， 单调递减 10 分16 ， ， ， 的最大值为 12 分x()4M(51)426()Mx426当 时， 单调递减，07 080xx故此时 的

37、最大值为 14 分()(6)综上所述，当 时，月利润 有最大值 元 15 分51426答：该打印店店月利润最大为 元，此时产品的销售价格为 元/件 16 分425119 （本小题满分 16 分）如图是一幅招贴画的示意图，其中 ABCD 是边长为 2a的正方形，周围是四个全等的弓形.已知 O 为正方形的中心， G 为 AD 的中点，点 P 在直线 OG 上，弧 AD 是以 P 为圆心、PA 为半径的圆的一部分，OG 的延长线交弧 AD 于点 H。设弧 AD 的长为 l， 3,(,)4AH（1）求 l关于 的函数关系式；（2）定义比值 Pl为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美。证明：

38、当角 满足：tan()4时，招贴画最优美18.（本小题满分 16 分）一位幼儿园老师给班上 个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为 ,就先从别处抓 2 块(3)k 0a糖加入盒中，然后把盒内糖果的 分给第一个小朋友;再从别处抓 2 块糖加入盒中，然后把盒内糖果12的 分给第二个小朋友;,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓 2 块糖放入盒中，然后把盒内13糖果的 分给第 个小朋友如果设分给第 个小朋友后（未加入 2 块糖果前）盒n(1,23)nk n内剩下的糖果数为 .a（1） 当 , 时,分别求 ;3k0123,a（2） 请用 表示 ;令 ,求数列 的通项公式;1nn()nbnb（3

39、）是否存在正整数 和非负整数 ,使得数列 成等差数列,如果存在,请求出所有k0na()k的 和 ,如果不存在,请说明理由.k0a20. 解：（1）当 , 时, ,301272100a, .3 分6112a64223a（2）由题意知： ,6 分121nnna即 , , 7 分an11()ba12,nb120,.nb累加得 ,9 分 又 , .10 分12nbn 0ab01an（3）由 ，得 ,12 分01a0an若存在正整数 和非负整数 ,使得数列 成等差数列,(3)k0n()k则 ,14 分 即 ,15 分132a 001()32243aa当 时， ，对任意正整数 ,有 成等差数列. 16 分

40、0nkn()k注:如果验证 不能成等差数列,不扣分12a【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法；考查反证法；考查递推思想；考查推理论证能力；考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力本题还可以设计：如果班上有 5 名小朋友，每个小朋友都分到糖果，求 的最小值.0a17（本题满分 16 分，第 1 小题 8 分，第 2 小题 8 分）如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道 AB 的长为 4.5km，且跑道所在的直线与海岸线 l 的夹角为 60o(海岸线可以看作是直线) ，跑道上离海岸线距离最近的点 B 到海岸线的距离 BC4 kmD 为海湾3一侧海岸线 CT 上的一点，设 CDx(k

41、m) ，点 D 对跑道 AB 的视角为 （1）将 tan 表示为 x 的函数；（2）求点 D 的位置，使 取得最大值17、 （本题满分 14 分，第 1 小题 8 分，第 2 小题 6 分）解：（1）过 A 分别作直线 CD，BC 的垂线，垂足分别为 E，F由题知，AB4.5，BC4 ，ABF90 o60 o30 o，3所以 CEAF 4.5sin30o ，BF4.5cos30 o ，94 943AECFBCBF 254 3因为 CDx(x0)，所以 tanBDC BCCD当 x 时，EDx ，tan ADC （如图 1） ；94 94 AEED当 0x 时，ED x，tanADC （如图 2） 4 分94 94 AEED所以 tantanADB tan(ADCBDC)tanADC tanBDC1 tanADCtanBDC ，其中 x0 且 x 94当 x 时 tan ，符合上式94 CEBC所以 tan ( x0)