1、第 1 页（共 57 页）2016 年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A=x|x|1，B=x|x 2x0，则 AB=（ ）Ax |1x1 B x|0x1 Cx|0x 1 Dx|0x 12 （5 分）已知复数，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复数所对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入 x=3，则输出 k 的值为（ ）A6 B8 C10 D124 （5 分）如果函数（0）的相邻两个零点之间的距离
2、为，则 的值为（ ）A3 B6 C12 D245 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a2+a7+a12=24，则 S13=（ ）A52 B78 C104 D2086 （5 分）如果 P1，P 2，P n 是抛物线 C：y 2=4x 上的点，它们的横坐标依次为 x1，x 2，x n，F 是抛物线 C 的焦点，若 x1+x2+xn=10，则|P1F|+|P2F|+|PnF|=（ ）An +10 Bn+20 C2n +10 D2n +207 （5 分）在梯形 ABCD 中 ADBC，已知 AD=4， BC=6，若=m+n（m，n R）则=（ ）A 3 B C D38 （5 分）设
3、实数 x，y 满足约束条件，则 x2+（y+2） 2 的取值范围是（ ）A，17 B1，17 C1， D，9 （5 分）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为第 2 页（共 57 页）1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A20 B C5 D10 （5 分）已知下列四个命题：p1：若直线 l 和平面 内的无数条直线垂直，则 l；p2：若 f（x ）=2 x2x，则 xR，f（ x）=f（x） ；p3：若，则x 0（0 ，+ ） ，f（x 0）=1 ；p4：在ABC 中，若 AB ，则 sinAsinB其中真命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D411 （5 分）如图
4、，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）A8 +8+4 B8+8+2 C2+2+ D+12 （5 分）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“ 杨辉三角性” 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）A20172 2015 B2017 22014 C20162 2015 D20162 2014二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分第 3 页（共 57 页）13 （5 分）一个总体中有 60 个个体，随机编号为 0，1，2，59，依编号顺序平
5、均分成 6 个小组，组号为 1，2，3，6现用系统抽样方法抽取一个容量为6 的样本，若在第 1 组中抽取的号码为 3，则在第 5 组中抽取的号码是 14 （5 分）已知双曲线 C：（a0，b 0 ）的左顶点为 A，右焦点为 F，点B（0 ，b） ，且，则双曲线 C 的离心率为 15 （5 分） （x 2x2） 4 的展开式中，x 3 的系数为 （用数字填写答案）16 （5 分）已知函数 f（ x）=，则函数 g（x）=2 |x|f（x）2 的零点个数为 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）如图，在ABC 中，点 D 在边 AB 上，CDBC，AC=5，CD=5 ，
6、BD=2AD（）求 AD 的长；（）求ABC 的面积18 （12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55，65） ，65 ，75） ，75 ，85 内的频率之比为 4：2：1（I）求这些产品质量指标值落在区间75，85内的频率；（）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取 3 件，记这 3件产品中质量指标值位于区间45，75）内的产品件数为 X，求 X 的分布列与数学期望第 4 页（共 57 页）19 （12 分）如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，ACBD=
7、O， A1O底面 ABCD，AB=AA 1=2（I）证明：平面 A1CO平面 BB1D1D；（）若BAD=60 ，求二面角 BOB1C 的余弦值20 （12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦点为 F1（2，0） ，点 B（2， ）在椭圆 C 上，直线 y=kx（k0）与椭圆 C 交于E， F 两点，直线 AE，AF 分别与 y 轴交于点 M，N ；（1）求椭圆 C 的方程；（2）以 MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由21 （12 分）已知函数 f（ x）=e x+mx3，g （x ）=ln（x +1）+2（1）若曲
8、线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线斜率为 1，求实数 m 的值；（2）当 m1 时，证明：f（x ）g （x ） x3第 5 页（共 57 页）【选修 4-1：几何证明选讲】22 （10 分）如图所示，ABC 内接于O ，直线 AD 与O 相切于点 A，交 BC的延长线于点 D，过点 D 作 DECA 交 BA 的延长线于点 E（I）求证：DE 2=AEBE；（）若直线 EF 与O 相切于点 F，且 EF=4，EA=2，求线段 AC 的长【选修 4-4：坐标系与参数方程】23在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方
9、程为 =2sin， 0，2） （1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）在曲线 C 上求一点 D，使它到直线 l：， （t 为参数，t R）的距离最短，并求出点 D 的直角坐标【选修 4-5：不等式选讲】24设函数 f（x ）=|x+|x|（I）当 a=1 时，求不等式 f（x ）的解集；（）若对任意 a0，1 ，不等式 f（x）b 的解集为空集，求实数 b 的取值范围第 6 页（共 57 页）2016 年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2016广州一模）已知
10、集合 A=x|x| 1，B=x |x2x0，则AB=（ ）Ax |1x1 B x|0x1 Cx|0x 1 Dx|0x 1【考点】交集及其运算菁优网版权所有【专题】集合思想；定义法；集合【分析】求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出两集合的交集即可【解答】解：由 A 中不等式解得： 1x 1，即 A=x|1x1，由 B 中不等式变形得：x（x1）0，解得：0x1，即 B=x|0x1，则 AB=x |0x1，故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分） （2016广州一模）已知复数，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复数所对应的点在
11、（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义菁优网版权所有【专题】数形结合；转化思想；数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义即可得出【解答】解：复数=1+2i ，复数 z 的共轭复数=12i 所对应的点在第四象限故选：D【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义，考查了推第 7 页（共 57 页）理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分） （2016蚌埠三模）执行如图所示的程序框图，如果输入 x=3，则输出k 的值为（ ）A6 B8 C10 D12【考点】程序框图菁优网版权所有【专题】计算题；图表型；试验
12、法；算法和程序框图【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件 x100，跳出循环体，确定输出 k 的值【解答】解：模拟执行程序，可得x=3，k=0x=9，k=2不满足条件 x100，x=21，k=4不满足条件 x100，x=45，k=6不满足条件 x100，x=93，k=8不满足条件 x100，x=189，k=10满足条件 x100，退出循环，输出 k 的值为 10故选：C【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法4 （5 分） （2016广州一模）如果函数（ 0）的相邻两个零点之间的距离为，则 的值为（ ）A3 B6 C
13、12 D24【考点】三角函数的周期性及其求法；y=Asin（x+ ）中参数的物理意义菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由条件利用余弦函数的周期性，求得 的值第 8 页（共 57 页）【解答】解：函数（0）的相邻两个零点之间的距离为，=，求得 =6，故选：B【点评】本题主要考查余弦函数的图象，余弦函数的周期性，属于基础题5 （5 分） （2016广州一模）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且a2+a7+a12=24，则 S13=（ ）A52 B78 C104 D208【考点】等差数列的性质菁优网版权所有【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由
14、题意和等差数列的性质可得 a7 的值，再由等差数列的性质和求和公式可得 S13=13a7，代值计算可得【解答】解：由题意和等差数列的性质可得 3a7=a2+a7+a12=24，解得 a7=8，故 S13=13a7=104，故选：C【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，求出 a7 是解决问题的关键，属基础题6 （5 分） （2016广州一模）如果 P1，P 2， ，P n 是抛物线 C：y 2=4x 上的点，它们的横坐标依次为 x1，x 2，x n，F 是抛物线 C 的焦点，若 x1+x2+xn=10，则|P 1F|+|P2F|+|PnF|=（ ）An +10 Bn+20 C2n +10 D
15、2n +20【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线性质得|P nF|=xn+1，由此能求出结果【解答】解：P 1，P 2，P n 是抛物线 C：y 2=4x 上的点，它们的横坐标依次为 x1，x 2，x n，F 是抛物线 C 的焦点，x1+x2+xn=10，第 9 页（共 57 页）|P 1F|+|P2F|+|PnF|=（ x1+1）+（ x2+1）+ +（x n+1）=x1+x2+xn+n=n+10故选：A【点评】本题考查抛物线中一组线段和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用7 （5 分）
16、（2016广州一模）在梯形 ABCD 中 ADBC，已知 AD=4，BC=6，若=m+n（m ，n R）则=（ ）A 3 B C D3【考点】平面向量的基本定理及其意义菁优网版权所有【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用【分析】利用平面向量的三角形法以及平面向量基本定理求出 m，n【解答】解：由题意，如图，=m+n=，所以 n=，m=1 ，所以=3故选：A【点评】本题考查了平面向量的三角形法则和平面向量基本定理；属于基础题8 （5 分） （2016福建校级模拟）设实数 x，y 满足约束条件，则 x2+（y+2） 2的取值范围是（ ）第 10 页（共 57 页）A，17 B1，17 C
17、1， D，【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】计算题；作图题；转化思想；数形结合法；不等式【分析】由题意作平面区域，而 x2+（y+2） 2 的几何意义是点 A（0， 2）与阴影内的点的距离的平方，从而结合图象解得【解答】解：由题意作平面区域如下，x2+（ y+2） 2 的几何意义是点 A（0 ， 2）与阴影内的点的距离的平方，而点 A 到直线 y=x1 的距离 d=，B（1 ，2 ） ，故|AB|= ，故（） 2x 2+（y+2） 2（） 2，即x 2+（y+2） 217，故选：A【点评】本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想应用，同时考查了第 11 页（共 57 页）转化思想的
18、应用9 （5 分） （2016广州一模）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A20 B C5 D【考点】球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为 O1，O 2，球心为 O，一个顶点为 A，如右图可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径 OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积【解答】解：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为 O，正六
19、棱柱的上下底面中心分别为 O1，O 2，则球心 O 是 O1，O 2 的中点正六棱柱底面边长为 1，侧棱长为 1，RtAO 1O 中，AO 1=1，O 1O=，可得 AO=，因此，该球的体积为 V=（） 3=故选：D【点评】本题给出一个正六棱柱，求它的外接球的体积，着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点，属于中档题10 （5 分） （2016广州一模）已知下列四个命题：p1：若直线 l 和平面 内的无数条直线垂直，则 l；p2：若 f（x ）=2 x2x，则 xR，f（ x）=f（x） ；p3：若，则x 0（0 ，+ ） ，f（x 0）=1 ；第 12 页（共 57 页）p4：在ABC
20、中，若 AB ，则 sinAsinB其中真命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【考点】命题的真假判断与应用菁优网版权所有【专题】对应思想；定义法；简易逻辑【分析】p 1：根据线面垂直的判断定理判定即可；p2：根据奇函数的定义判定即可；p3：对表达式变形可得=x+1+ 1，利用均值定理判定即可；p4：根据三角形角边关系和正弦定理判定结论成立【解答】解：p 1：根据判断定理可知，若直线 l 和平面 内两条相交的直线垂直，则 l ，若没有相交，无数的平行直线也不能判断垂直，故错误；p2：根据奇函数的定义可知，f（x）=2 x2x=f（x） ，故 xR，f（x）= f（x） ，故正确；p3：若=x
21、+1+11，且当 x=0 时，等号成立，故不存在 x0（0，+） ，f （x 0）=1，故错误；p4：在ABC 中，根据大边对大角可知，若 AB ，则 ab ，由正弦定理可知，sinAsinB，故正确故选：B【点评】考查了线面垂直，奇函数的定义，均值定理和三角形的性质及正弦定理的应用属于基础题型，应熟练掌握11 （5 分） （2016福建校级模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）第 13 页（共 57 页）A8 +8+4 B8+8+2 C2+2+ D+【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】数形结合；数形结合法；立体几何【
22、分析】由三视图可知几何体为从边长为 4 的正方体切出来的三棱锥作出直观图，计算各棱长求面积【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为 4 的正方体切出来的三棱锥ABCD作出直观图如图所示：其中 A，C，D 为正方体的顶点，B 为正方体棱的中点S ABC =4，S BCD =4AC=4，AC CD，S ACD =8，由勾股定理得 AB=BD=2，AD=4cosABD=，sinABD=S ABD =4几何体的表面积为 8+8+4故选 A第 14 页（共 57 页）【点评】本题考查了不规则放置的几何体的三视图和面积计算，作出直观图是解题关键12 （5 分） （2016广州一模）以下数表的构造思路源于我
23、国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角性” 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）A20172 2015 B2017 22014 C20162 2015 D20162 2014【考点】归纳推理菁优网版权所有【专题】计算题；规律型；探究型；推理和证明【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为 1，第二行公差为 2，第三行公差为 4， ，第 2015 行公差为 22014，第 2016 行只有 M，由此可得结论【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为 1，第二行公差为 2，第三行公差
24、为 4，第 2015 行公差为22014，故第 1 行的第一个数为：22 1，第 2 行的第一个数为：32 0，第 3 行的第一个数为：42 1，第 n 行的第一个数为：（n +1）2 n2，第 2016 行只有 M，则 M=（1+2016 ）2 2014=201722014故选：B【点评】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题第 15 页（共 57 页）二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分） （2016蚌埠三模）一个总体中有 60 个个体，随机编号为0，1 ，2 ，59，依编号顺序平均分成 6 个小组，组号为 1，2，3，6现用系统抽
25、样方法抽取一个容量为 6 的样本，若在第 1 组中抽取的号码为 3，则在第5 组中抽取的号码是 43 【考点】系统抽样方法菁优网版权所有【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计【分析】由总体容量及组数求出间隔号，然后用 3 加上 40 即可【解答】解：总体为 60 个个体，依编号顺序平均分成 6 个小组，则间隔号为=10，所以在第 5 组中抽取的号码为 3+104=43故答案为：43【点评】本题考查了系统抽样，系统抽样是根据分组情况求出间隔号，然后采用简单的随机抽样在第一组随机抽取一个个体，其它的只要用第一组抽到的号码依次加上间隔号即可此题为基础题14 （5 分） （2016广州一模）已知
26、双曲线 C：（a0，b 0 ）的左顶点为 A，右焦点为 F，点 B（0，b） ，且，则双曲线 C 的离心率为 【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出 A，F 的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合 a，bc 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：由题意可得 A（ a，0） ，F（c，0） ，B（0，b） ，可得= （ a，b） ，=（c ，b） ，由，可得ac+b 2=0，即有 b2=c2a2=ac，由 e=，可得 e2e1=0，第 16 页（共 57 页）解得 e=（负的舍去） 故答案为：【点评】本
27、题考查双曲线的离心率的求法，注意运用向量的数量积的坐标表示，考查双曲线的渐近线方程和离心率公式，考查运算能力，属于中档题15 （5 分） （2016广州一模） （x 2x2） 4 的展开式中， x3 的系数为 40 （用数字填写答案）【考点】二项式定理的应用菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；二项式定理【分析】解法一：根据（x 2x2） 4 =（x2） 4（x+1） 4 ，把（x2） 4 和（x+1） 4 分别使用二项式定理展开，可得 x3 的系数解法二：根据乘方的意义，分类讨论求得 x3 的系数【解答】解：解法一：（x 2x2） 4 =（x2） 4（x+1） 4 =x4+x3（2）+x
28、2（2） 2+x（ 2） 3+（2） 4（x 4+x3+x2+x+）故 x3 的系数为21+4+（8）+16=40，故答案为：40解法二：（x 2x2） 4 表示 4 个因式（x 2x2）的乘积，x3 的系数可以是：从 4 个因式中选一因式提供 x2，其余的 3 个因式中有一个提供（x） ，其余的 2 个因式都提供（2） ，也可以是从 4 个因式中选 3 个因式都提供（x） ，其余的 1 个提供（2） ，可得 x3的系数，故 x3 的系数为：（1）（2） 2+（1）（2）=48 +8=40【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，乘方的意义，属于中档题1
29、6 （5 分） （2016广州一模）已知函数 f（x）= ，则函数 g（x）=2 |x|f（x）2 的第 17 页（共 57 页）零点个数为 2 【考点】函数零点的判定定理菁优网版权所有【专题】计算题；作图题；数形结合法；函数的性质及应用【分析】函数 g（x）=2 |x|f（x ） 2 的零点个数转化为方程 g（x ）=2 |x|f（x）2=0的解的个数，再转化为函数 f（x ）与 y=的图象的交点的个数，从而解得【解答】解：令 g（x）=2 |x|f（x ） 2=0 得，f（x）= ，作函数 f（x ）与 y=的图象如下，结合图象可知，函数的图象有两个不同的交点，故函数 g（x ）=2 |x
30、|f（x） 2 的零点个数为 2，故答案为：2【点评】本题考查了函数的零点与方程的根，方程的根与函数的图象的交点的关系应用，考查了数形结合的思想三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分） （2016江苏模拟）如图，在ABC 中，点 D 在边 AB 上，CDBC，AC=5，CD=5 ，BD=2AD第 18 页（共 57 页）（）求 AD 的长；（）求ABC 的面积【考点】解三角形菁优网版权所有【专题】数形结合；数形结合法；解三角形【分析】 （1）假设 AD=x，分别在ACD 和ABC 中使用余弦定理计算 cosA，列方程解出 x；（2）根据（1）的结论计算 sinA，代入
31、面积公式计算【解答】解：（1）设 AD=x，则 BD=2x，BC=在ACD 中，由余弦定理得 cosA=，在ABC 中，由余弦定理得 cosA= ，解得 x=5AD=5 （2）由（1）知 AB=3AD=15，cosA= ，sinA= S ABC =【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题18 （12 分） （2016蚌埠三模）从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55，65） ，65，75） ，75，85 内的频率之比为 4：2：1（I）求这些产品质量指标值落在区间75，85内的频率；（）若
32、将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取 3 件，记这 3件产品中质量指标值位于区间45，75）内的产品件数为 X，求 X 的分布列与数学期望第 19 页（共 57 页）【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】 （I）由题意，质量指标值落在区间55，65 ） ，65，75 ） ，75，85内的频率之和，利用之比为 4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间75，85内的频率；（）求出每件产品质量指标值落在区间45，75）内的概率为 0.6，利用题意可得：XB（3，0.6） ，根据概
33、率分布知识求解即可【解答】解：（I）由题意，质量指标值落在区间 55，65） ，65，75 ） ，75，85内的频率之和为 10.040.120.190.3=0.35，质量指标值落在区间55，65） ，65，75） ，75，85内的频率之比为4：2 ：1 ，这些产品质量指标值落在区间75，85内的频率为 0.05；（）根据样本频率分布直方图，每件产品质量指标值落在区间45，75）内的概率为 0.6，由题意可得：X B（3，0.6 ）X 的概率分布列为 X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216EX=0.288+20.432+30.216=1.8第 20 页（共 57
34、页）【点评】本题考查概率分布在实际问题中的应用，结合了统计的知识，综合性较强，属于中档题19 （12 分） （2016南昌校级二模）如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD是菱形，AC BD=O，A 1O底面 ABCD，AB=AA 1=2（I）证明：平面 A1CO平面 BB1D1D；（）若BAD=60 ，求二面角 BOB1C 的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】综合题；向量法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用【分析】 （1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，
35、利用向量法进行求解【解答】证明：（1）A 1O面 ABCD，且 BD，AC面 ABCD，A 1OBD，又在菱形 ABCD 中，ACBD，A 1OAC=O，BD面 A1AC，BD平面 BB1D1D，平面 A1CO平面 BB1D1D（2）建立以 O 为坐标原点， OA，OB，OA 1 分别为 x，y，z 轴的空间直角坐标系如图：第 21 页（共 57 页）AB=AA 1=2，BAD=60，OB=1，OA= ，AA 1=2，A 1O=1则 A（，0，0） ，B（0，1，0） ，A 1（0，0，1 ） ，C（，0，0） ，=（，1，0） ，= （0，1，0） ，= （ ，0，0） ，=（ 0，0，1）
36、 ，则= +=（ ，1，1 ） ，设平面 BOB1 的一个法向量为=（x，y ，z） ，则，令 x=，则 y=0，z=3，即=（，0，3） ，设平面 OB1C 的一个法向量为=（x，y ，z） ，则，令 y=1，则 z=1，x=0 ，则 =（0，1， 1） ，cos，=，二面角 BOB1C 是钝二面角，二面角 BOB1C 的余弦值是【点评】本小题主要考查面面垂直的判断和二面角的求解，考查用空间向量解第 22 页（共 57 页）决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大20 （12 分） （2016福建校级模拟）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在
37、x轴上，左顶点为 A，左焦点为 F1（ 2，0） ，点 B（ 2， ）在椭圆 C 上，直线y=kx（k0）与椭圆 C 交于 E，F 两点，直线 AE，AF 分别与 y 轴交于点 M，N ；（1）求椭圆 C 的方程；（2）以 MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由【考点】椭圆的简单性质菁优网版权所有【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】 （1）由题意可设椭圆标准方程，结合已知及隐含条件列关于 a，b ，c的方程组，求解方程组得到 a2，b 2 的值，则椭圆方程可求；（2）设 F（x 0，y 0） ，E（x 0，y 0） ，写出 A
38、E、AF 所在直线方程，求出 M、N 的坐标，得到以 MN 为直径的圆的方程，由圆的方程可知以 MN 为直径的圆经过定点（2，0） 【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，则，解得：a 2=8，b 2=4椭圆 C 的方程为；（2）如图，设 F（x 0，y 0） ，E（x 0，y 0） ，则，A（ ，0 ） ，AF 所在直线方程，取 x=0，得，N（0， ） ，AE 所在直线方程为，取 x=0，得 y=则以 MN 为直径的圆的圆心坐标为（0， ） ，半径 r=，圆的方程为=，第 23 页（共 57 页）即取 y=0，得 x=2以 MN 为直径的圆经过定点（2，0） 【点评】本题考查椭圆的简单性质
39、，考查直线与圆位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题21 （12 分） （2016广州一模）已知函数 f（x）=e x+mx3，g （x ）=ln（x+1）+2（1）若曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线斜率为 1，求实数 m 的值；（2）当 m1 时，证明：f（x ）g （x ） x3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用【分析】 （1）求出 f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得 m；（2）f（x ）g （x ）x 3 即为 ex+mln（x +1）+2由函数 y=exx1，求得最小值，可得
40、 exx+1，则 ex+mx+m+1，再由 h（x ）=x+m+1ln（x+1）2=x +mln（x+1）1，求出导数，求得最小值，由条件即可得证【解答】解：（1）函数 f（x ）=e x+mx3 的导数为 f（x）=e x+m3x2，在点（0，f（0 ） ）处的切线斜率为 k=em=1，解得 m=0；（2）证明：f（x）g （ x） x3 即为ex+mln（x+1）+2由 y=exx1 的导数为 y=ex1，当 x0 时，y0，函数递增；当 x0 时，y0，函数递减第 24 页（共 57 页）即有 x=0 处取得极小值，也为最小值 0即有 exx+1，则 ex+mx+m+1，由 h（x）=x
41、+ m+1ln（x+1）2=x +mln（x +1） 1，h（x）=1，当 x0 时，h（x ）0，h （x ）递增；1 x0 时，h（x）0，h （x ）递减即有 x=0 处取得最小值，且为 m1，当 m1 时，即有 h（x）m 10，即 x+m+1ln（x+1）+2，则有 f（ x）g（x）x 3 成立【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造法，以及不等式的传递性，考查推理能力，属于中档题【选修 4-1：几何证明选讲】22 （10 分） （2016广州一模）如图所示，ABC 内接于O ，直线 AD 与O相切于点 A，交 BC 的延长线于
42、点 D，过点 D 作 DECA 交 BA 的延长线于点 E（I）求证：DE 2=AEBE；（）若直线 EF 与O 相切于点 F，且 EF=4，EA=2，求线段 AC 的长【考点】与圆有关的比例线段菁优网版权所有【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明【分析】 （）推导出AEDDEB ，由此能证明 DE2=AEBE（）由切割线定理得 EF2=EAEB，由 DECA，得BACBED ，由此能求出第 25 页（共 57 页）AC【解答】证明：（）AD 是O 的切线，DAC=B，DECA，DAC=EDA ，EDA=B ，AED= DEB，AEDDEB，DE 2=AEBE解：（）EF 是O 的切线，
43、EAB 是O 割线，EF 2=EAEB，EF=4，EA=2，EB=8，AB=EBEA=6 ，由（）知 DE2=AEBE，DE=4，DECA，BACBED，AC=【点评】本题考查与圆有关的线段间等量关系的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用【选修 4-4：坐标系与参数方程】23 （2016广州一模）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 =2sin， 0，2） （1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）在曲线 C 上求一点 D，使它到直线 l：， （t 为参数，t R）的距离最短，并求出
44、点 D 的直角坐标【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程菁优网版权所有第 26 页（共 57 页）【专题】选作题；数形结合；转化思想；消元法；坐标系和参数方程【分析】 （I）利用可把圆 C 的极坐标方程化为普通方程（II）消去参数把直线 l 的参数方程化为普通方程，求出圆心 C 到直线 l 的距离d，得出直线与圆的位置关系即可得出【解答】解：（1）曲线 C 的极坐标方程为 =2sin， 0，2） ，即2=2sin，化为 x2+y22y=0，配方为 x2+（y1） 2=1（2）曲线 C 的圆心 C（0 ，1） ，半径 r=1直线 l：， （t 为参数，t R）化为普通方程：y1=0，
45、可得圆心 C 到直线 l 的距离 d=1=0，直线 l 与圆 C 相切，其切点即为所求联立，解得 D【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆相切问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题【选修 4-5：不等式选讲】24 （2016淮南二模）设函数 f（x）= |x+|x|（I）当 a=1 时，求不等式 f（x ）的解集；（）若对任意 a0，1 ，不等式 f（x）b 的解集为空集，求实数 b 的取值范围【考点】绝对值不等式的解法菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】 （I）当 a=1 时，利用绝对值的意义求得不等
46、式的解集（）由题意可得 b 大于 f（x）的最大值再根据绝对值的意义可得 f（x ）的最大值为+，可得实数 b 的范围【解答】解：（I）当 a=1 时，不等式 f（x ），即|x+1|x|，即数轴上的 x 对应点到1 对应点的距离减去它到原点的距离大于，而0.25 对应点到1 对应点的距离减去它到原点的距离正好等于，第 27 页（共 57 页）故|x+1|x| 的解集为 x|x0.25 （）若对任意 a0，1 ，不等式 f（x）b 的解集为空集，即 f（x）b 恒成立，则 b 大于 f（ x）的最大值函数 f（ x）=|x+|x |表示数轴上的 x 对应点到对应点的距离减去它到对应点的距离，故 f（x）的最大值为+，故实数 b+【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题第 28 页（共 57 页）参与本试卷答题和审题的老
