1、2016 年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号写在本试卷上无效3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）若全集 U=R，集合 ， ，则 124xA10BxUABI（A） （B） （C） （D） 12x0x12x（2）已知
2、 ， 是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则,abiiaib2i=ab（A） （B） （C） （D）3+45+434i54i（3）下列说法中正确的是（A） “ ”是“函数 是奇函数”的充要条件(0)f()fx（B）若 ，则20:,1pxR2:,10pxR（C）若 为假命题，则 ， 均为假命题qq（D）命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”6sin26sin2（4）已知 在 上是奇函数 ,且满足 ,当 时,fx4fxf0x，则27f（A） （B） 2（C） （D ）9898（5）执行如图所示的程序框 图 ，输出的结果为（A） （B）2， 40，（C） （D ）4， 8，（6）各项均为正数的等差
3、数列 中， ，则前 12 项和 的最小值为na369412S（A） （B）78 4（C） （D ）0 7（7）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为 2出 x=1出y=1k=0s=x-y出t=x+yx=s出y=tk=+1k 3出(x出y)出出俯视图的直角三角形，俯视图是半径为 1 的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（A） （B） （C） （D）31236343（8）已知 ，且 ，函数 的图像sin52， ()sin)(0fx的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，则 的值为4f（A） （B） （C） （D）3553545（9）若实数 满足约束条件 则 的取值范围是,x
4、y20,4,xyxy（A） （B） （C） （D）2,31323,21,2（10）过双曲线 的一个焦点 作一条渐近线的垂线，垂足为点 ，与另一条渐2(0,)xyabFA近线交于点 ，若 ，则此双曲线的离心率为BFAur（A） （B） （C ）2 （D ）23 5（11）将 5 位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这 3 所大学就读，每所大学至少保送 1人，则不同的保送方法共有（A） 150 种 （B） 180 种 （C ） 240 种 （D ）540 种（12）已知 的三个顶点 ， ， 的坐标分别为 ，O 为坐标原点，动点CA0,12,0满足 ，则 的最小值是P1urOPrur（A
5、） （B ） （C） （D ）31311第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22题第 24 题为选考题，考生根据要求做答二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分（13）已知向量 ， 满足 ， 在 方向上的投影是 ，则 ab|ab12=Aab（14）已知 ，则 1cos3sin2（15） 展开式中的常数项为 ，则 102ax80a（16）已知 为 R 上的连续可导函数，且 ，则函数yf0xffx1gxf0x的零点个数为_三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 12 分）设 为数列 的前 项和，已知 ，对任
6、意 ，都有 nSna12a*nN21nnSa()求数列 的通项公式；(）若数列 的前 项和为 ,求证： .4(2)nannT12n（18）( 本小题满分 12 分) 如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ，1ABC1ABC12A20BAC1,D分别是线段 的中点，过线段 的中点 作 的平行线，分别交 ， 于点 ，1, DPMN（）证明： 平面 ；M1A（）求二面角 的余弦值1N（19） （本小题满分 12 分）计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量A BCDPMNA1 B1C1D1(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）
7、都在 40 以上.其中，不足 80 的X年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立（）求在未来 4 年中，至多 1 年的年入流量超过 120 的概率；（）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 限制，并X有如下关系；年入流量 X408X012120发电机最多可运行台数 1 2 3若某台发电机运行，则该台发电机年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多
8、少台？（20） （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 的离心率 ，且 椭 圆 上 一 点21xyCab： 132e1C到 点 的 距 离 的 最 大 值 为 4M30，Q（）求椭圆 的方程；1C（）设 ， 为抛物线 上一动点，过点 N作抛物线 2C的切线交椭圆 1于 ，6A， N22xyC： B两点，求 面积的最大值B（21） （本小题满分 12 分）已知函数 （ 为自然对数的底数， 为常数）在点 处的切线斜率为 .exfaa0,11（）求 的值及函数 的极值；f（）证明：当 时， ；0x2ex（III）证明：对任意给定的正数 ，总存在 ，使得当 ，恒有 .c0，0x2
9、exc请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时请写清题号（22） （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图 ， 于点 ，以 为直径的圆 与 交于点 90ACBDABDOBCE（）求证： ；E（）若 ，点 在线段 上移动， ,4N90NFo与 相交于点 ，求 的最大值FOeF（23） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知曲线 ： （ 为参数）与曲线 ： ( 为xOy1C,2xtyt2Ccos3inxay，参数， )0a（）若曲线 与曲线 有一个公共点在 x 轴上，求 的值；1C2 a（）当 时，曲线
10、 与曲线 交于 ， 两点，求 ， 两点的距离312CAB（24） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知定义在 R 上的函数 ， ，存在实数 使 成立|fxmx*Nx()2f（）求实数 的值；m（）若 ， ，求证： ,1()4f132016 年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学答案及评分参考评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则FCDA BEON2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得
11、分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一选择题（1）C （2）A （3）D （4）B （5）B （6）D（7）A （8）B （9）B （10）C （11）A （12）A二填空题（13）2 （14） （15） 或 （16）072（其中第 15 题中，答对 2 个给 5 分，答对 1 个给 3 分）三解答题（17）证明：（）因为 ，nnSa当 时， ， 2n1两式相减，得 ， 1nna即 ，1所以当 时， . 21n所以 . 1na因为 ，所以 . 1n（）因为 ， ， ，2na4(2)nnba
12、N所以 1()()1n所以 12nnTb31 1n因为 ，所以 0n因为 在 上是单调递减函数，1fn*N所以 在 上是单调递增函数所以当 时， 取最小值 1nT21所以 . 2n广东数学教师 QQ 群：179818939。里面数学资源丰富，研讨数学问题热烈。（18） （）证明：因为 , 是 的中点,所以, .ABCDBCAD因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 MNMN所以 . 因为 平面 , 平面 ，所以 .11又因为 在平面 内,且 与 相交,AD1ADA所以 平面 . MN（）解法一:连接 ,过 作 于 ,1P1EP过 作 于 ,连接 .EFAF由（）知, 平面 ,N1所以平面 平面 .
13、1M所以 平面 ,则 .AE1AE所以 平面 ,则 .1F故 为二面角 的平面角(设为 ) 1N设 ,则由 , ,有 , .1A12BAC20B60BAD2,1A又 为 的中点，则 为 的中点，所以 .PDM1PM在 ， ，在 中， . 1RtA521RtA12从而 , 1PE1F所以 . 0sin5AA BCDPMNA1 B1C1D1FE因为 为锐角，AFE所以 22105cos1in故二面角 的余弦值为 . 1AMN解法二: 设 .如图,过 作 平行于 ,以 为坐标原点,分别以 , 的方向11AE1BC1A1AED1为 轴, 轴, 轴的正方向,建立空间直角坐标系 (点 与点 重合) xyz
14、 Oxyz1则 , .10A因为 为 的中点,所以 分别为 的中点, PD,MNABC故 ,331,22M所以 , , 1A10A3,0设平面 的法向量为 ，111,xyzn则 即 故有1,MAn10,A131,0,2.xyz从而 取 ,则 ,1130,2.xyz1x13所以 是平面 的一个法向量 1,n1AM设平面 的法向量为 ,AN22,xyzn则 即 故有 21,n210,231,0,2,.zxy从而 取 ,则 ,2230,.xyz2y21z所以 是平面 的一个法向量 20,1n1AMNA BCDPMNA1 B1C1D1xyz设二面角 的平面角为 ,又 为锐角，1AMN则 21cosn.
15、,30,1525故二面角 的余弦值为 . 1AMN广东数学教师 QQ 群：179818939。里面数学资源丰富，研讨数学问题热烈。（19）解：（I）依题意 ， 110(408)5PX， 2357(802)PX3 1(2)0P由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年入流量超过 120 的概率为：430134349C()()0197.1（）记水电站年总利润为 （单位：万元） ，Y由于水库年入流量总大于 40,所以至少安装 1 台 安装 1 台发电机的情形：由于水库年入流量总大于 40，所以一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 ， 50Y501E安装 2 台发电机的情形：当 时，一台发电机运行
16、，此时 ，804X 420850Y因此 1()(480).2PYXP当 时，两台发电机运行，此时 ，因此 .23(10)()所以 的分布列如下：YY4200 10000P0.2 0.8所以 420.10.84EY安装 3 台发电机的情形：当 时，一台发电机运行，此时 ，8X5082340Y因此 2.)804()0( 1PXPY当 时，两台发电机运行，此时 ，12 9此时 7.)()9( 2当 时，三台发电机运行，此时 ，0X1503y因此 .0)1()15( 3PXYP所以 的分布列如下：所以 86201.507.92.034EY综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装 2 台发电机（2
17、0）解：（）因为 ，所以 2234cabe24ab则椭圆方程为 即 ,142ybx22xy设 ，则),(M2222(0)(3)4(3)Qby1496by当 时， 有最大值为 1y| 12解得 ，则 2b24a所以椭圆 的方程是 1C12yx（）设曲线 ： 上的点 ，因为 ，2y2(,)Nt2yx所以直线 的方程为： B,ttx即Y3400 9200 15000P0.2 0.7 0.1将代入椭圆方程 中整理，142yx得 06)1(32tt则有 )16(1)4(1( 242 t且 221321 6,6txtx所以 212121 4)(4|4| xxBC 246t设点 到直线 的距离为 ，则 AB
18、d2164t所以 的面积 C2221116|264tttS422561(8)8tt当 时取到“=” ，经检验此时 ，满足题意 2t 0综上， 面积的最大值为 ABC865（21） （I）解：由 ，得 .()exfa()exfa因为 ,所以 01f 2所以 ， .()e2x()exf令 ,得 fln当 时, 单调递减；当 时 , 单调递增.lx()0,()fxfln2x()0,()fxf所以当 时, 取得极小值,且极小值为 无极大值2 ln2(eln4,()f fx（）证明：令 ,则 .2()exg()exg由（I）得 ,故 在 R 上单调递增 ln0f()所以当 时， ，即 0x()01gx2
19、ex（）证明一：若 ,则 . cexc由（）知，当 时， .所以当 时, .x202exc取 ,当 时，恒有 0x0(,)2exc若 ,令 , 1ckc要使不等式 成立，只要 成立 2ex2exk而要使 成立，则只要 ,只要 成立xkln()lnxk令 ,则 .()2lnh1hx所以当 时, 在 内单调递增.x()0()2,)取 ,所以 在 内单调递增. 016kx又 ，()2ln()l8(ln)3(l)5hxkkk易知 l,50k所以 .即存在 ,当 时，恒有 0()x16xc0(,)x2exc综上，对任意给定的正数 ，总存在 ,当 时,恒有 证明二：对任意给定的正数 ，取 ， c04xc由
20、（）知，当 时， ，所以 0x2ex 22exxA当 时， 0x2241ex xcA因此，对任意给定的正数 ，总存在 ,当 时,恒有 00()2exc证明三：首先证明当 时，恒有 ,x31ex令 ，则 31ehx2xh由（）知，当 时， ，02x从而 ， 在 上单调递减。x,所以 ，即 01hx3ex取 ，当 时，有 03c2c因此，对任意给定的正数 ，总存在 ,当 时,恒有 0x0()2exc（22）解：（） 在 中， ， 于点 ，ACB9CDAB所以 ， 2D因为 是圆 的切线，O由切割线定理得 2CEB所以 EBA（）因为 ，所以 NF2OFN因为线段 的长为定值，即需求解线段 长度的最
21、小值 O弦中点到圆心的距离最短，此时 为 的中点，点 与点 或 重合 BEBE因此 max12BE（23）解：（）曲线 ： 的直角坐标方程为 1C2xty， 32yx曲线 与 轴交点为 1x3,0曲线 ： 的直角坐标方程为 2Ccos,inay219xya曲线 与 轴交点为 2x(,0)由 ，曲线 与曲线 有一个公共点在 x 轴上，知 0a12C32（）当 时, 曲线 ： 为圆 323cos,inxy29y圆心到直线 的距离 y251d所以 两点的距离 ,AB23159Ar（24）解：（）因为 |()xmxm要使不等式 有解，则 ，解得 |2|22因为 ，所以 *N1（）因为 ，,所以 ，即 ()24f 3所以 413 451452.33（当且仅当 时，即 ， 等号成立）故 413
