1、2017 年 12 月广州市第七中学高三理科数学市调研考模拟测试题第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若复数 满足 （ 为虚数单位） ，则复数 的模A. B. C. D. 2下列函数中，既是偶函数，又在 内单调递增的为（ ）,0A B C D4yx2xy2xy12logyx3已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且 ，点 在椭圆上，21ab12,F12cA， ，则椭圆的离心率 （ ）120Fur2AFcur eA B C D3354.周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族
2、对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“ ”当作数字“1” ，把阴爻 “ ”当作数字“0 ”，则八卦所代表的数表示如下：来源:学。科。网依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（ ）(A) 18 (B) 17 (C) 16 (D) 155.九章算术上有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”假设墙厚尺，现用程序
3、框图描述该问题，则输出 （ 16 n）A B C. D24686.如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出1的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数坤 000 0震 001 1坎 010 2兑 011 3A B C.8(12)38(1)3D4427. 设函数 ，则满足的 的取值范围是A. B. C. D. 8. 已知 满足条件 ，则目标函数 从最小值变化到 时，所有满足条件的点构成的平面区域的面积为（ ）A. B. C. D. 9. 设 的内角 所对的边分别为 ，且 ，则 的最大值为A. B. C. D. 10. 将函数 的图像向右平移 （
4、）个单位后得到函数 的图像. 若对满足 的 ，有 ，则 （ ）A. B. C. D. 11. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的. 数列中的一系列数字被人们称之为神奇数. 具体数列为： ，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和. 已知数列 为“斐波那契”数列， 为数列 的前 项的和，若，则 （ ）A. B. C. D. 12. 已知函数 ，若存在唯一的正整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 1tan2，且 3,2，则 cos2 _14. 的
5、展开式中，不含字母 y 的项的系数的和为_53xy15.观察如下规律：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，11151717， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，7999则该组数据的前 项和为 （计算结果用带分207数表示）变式：观察如下规律：1，1/2,1/2,1/4,1/4,1/4.1/4,1/8, 1/8，1/8，1/8，1/8，1/8，1/8，1/8，则该组数据的前 项和为 （计算2017结果用带分数表示）.答：10+497/51216.已知平面四边形 是由 与等腰直角 拼接而成，其中 ，ABCD ACD 90ACD， ，则当点 到点 的距离最大时，角 的大小为 A
6、C315BB三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17已知数列 的前 项和 ， 是等差数列，且 .na238nSnb1nnab（1）求数列 的通项公式；b（2）令 ，求数列 的前 项和 .12ncncnT18.（本小题满分 12 分）某学校为了丰富学生的业余生活 ，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加 10 分，背诵错误减 10 分，背诵结果只有“正确” 和“错误”两种。其中某班级背诵正确的概率为 23p，背诵错误的概率为 13q，现记“该班级完成 n首背诵后总得分为 nS”.（1）求 60S且 ,2i的概率；（2
7、 ）记 5，求 的分布列及数学期望 .19. 如图 1，矩形 中， ，将 沿 折起，得到如ABCD2366ABDEFCABE图 所示的四棱锥 ，其中 .2E7（）证明：平面 平面 ；（）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.F20已知 分别是椭圆 的左、右焦点.12,F214xy（1）若 是第一象限内该椭圆上的一点，且满足 ，求点 的坐标；P1254PFurP（2）设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ，且 为锐角（其中0,2Ml ,ABO为坐标原点） ，求直线 的斜率 的取值范围.Ok21已知函数 22ln0fxmx（1）讨论函数 的单调性；（2）当 时，若函数 的导函数 的图象与 轴交于
8、 两点，且3mffxx,AB横坐标分别为 ，线段 中点的横坐标为 ，且 恰为函数,AB122,xAB012的零点，求证： .lnhxcb120ln3h请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 2cos:3inxCy（ 为参数）和定点 (0,3)A， 1F、 2是此曲线的左、右焦点，以原点 O为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）P 为曲线 C 的一点，当 P 到直线 2F的距离取到最大值时，求 P 的直角坐标。（2）经过点 1F且与直线 2A垂直的直线交此圆锥曲线于 M、 N两点，求 1|MN的值来源:Zxx
9、k.Com23. 选修 4-5：不等式选讲已知 都是实数， ， .（1）求使得 的 的取值集合 ；（2）求证：当 时， 对满足条件的所有 都成立.2017 年 12 月广州市第七中学高三理科数学市调研考模拟测试题答卷高三（ ）班 _号 姓名_成绩：_13._；14._；15._，16._17.18.19.20.2122 232017 年 12 月广州市第七中学高三理科数学市调研考模拟测试题参考答案ADCBD ACABC DC 5，-1 ， ， 8149317解：（1）因为数列 的前 项和 ，所以 ，当 时，na2nS1a2n22138nnaS65又 对 也成立，所以 . 3 分65n又因为 是
10、等差数列，设公差为 ，则 .nbd12nnabd当 时， ；当 时， ，1227解得 ，所以数列 的通项公式为 . 3 分3dnbn（2）由 ，过程略12nac1163n6 分13nT 22n18.解：（）当 60S时，即背诵 6 首后，正确个数为 4 首，错误 2 首；由 0,iS可得：若第一首和第二首背诵正确，则其余 4 首可任意背诵对 2 首；若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余 3 首可任意背诵对 2 首，此时的概率为：22 24116338pCC；4 分（） 5S的取值为 10，30，50，又 p， q， 3223551140108p， 6 分 41C， 8 分500
11、552210338p10 分 130 50 的分布列为： 403185018E 12 分 19.【解析】 （）在图 2 中取 的中点 ，连接 ， .由条件可知图 1 中四边形BEGAC为正方形，则有 ，且可求得 .ABFEA2在 中， ， ， ，由余弦定理得GC 3C45.22cos96在 中， ，所以 ，即 . 225G0G由于 ， 平面 ， 且 ， ，所以 平面 .BDEACBEABCD又 平面 ，故平面 平面 . 6 分AED（）如图，以 为坐标原点，以平行于 的方向为 轴，平行于 的方向为 轴，建OxDy立空间直角坐标系.由题设条件，可得 ， ， ， .(20)F，(20)(30)(3
12、0)，由（）得 平面 ，可求得 点坐标为 ，GBCA12所以 ， ，设平面 的法向量为 ，由(1A，E，EF11()abc，u及 得 令 ，由此可得 .0u1120abc1b02由于 ， ，设平面 的法向量为 ，由()C，()D，ACD2()c，v及 得 令 ，由此可得Avv22ca2所以 4cos|36，u则平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 . 12 分EFACD2320解：（1） ， .4 分 (过程略)31,2P（2）显然 不满足题设条件，可设 的方程为 ，设 ， .0xl2ykx1,Axy2,Bxy联立 22244ykxk1460由 ，得 .22161023又 为锐角 ，AOBco
13、s0AOBur 利用韦达定理得 .12xyur 214kp408138综可知 ， 的取值范围是 .234k32,2U21解：（1）由于 的定义域为 ，则lnfxmx021mfx对于方程 ，其判别式 .024当 ，即 时， 恒成立，故 在 内单调递增.240fxfx0,当 ，即 ，方程 恰有两个不相等是实 ，221m24m令 ，得 或 ，此时 单调递增；0fx 4x24xfx令 ，得 ，此时 单调递减.22f综上所述，当 时， 在 内单调递增；mfx0,当 时， 的减区间为： ，2fx2244,m增区间为： ，240,2,（2）由（1）知， ，所以 的两根 即为方程21xffx12,x的两根.因
14、为 ，所以 ， ， ，0xm3m240mm12x又因为 为 的零点，所以 ，12,2lnhxcbx211lnxcb，两式相减得 ，lncb1222l 0cx得 .而 ，所以122x hxb120120hc1212121212lnxxcxx 1212lnx.令 ，由 得 ，因为2112lnx01xt21xm2211xxm，两边同时除以 ，得 ，因为 ，故 ，12x12x2tm32152t解得 或 ，所以 .0tt0设 ，所以 ，则 在 上是减函数，ln1Gttt210tGyGt10,2所以 ，即 的最小值为 .min2l3120yxhln3所以 .120nxh（22）解：（1）曲线 C：2cos
15、3ixy可化为2143yx，其轨迹为椭圆，焦点为 1,0F和 21, 经过 3A和 的直线方程为 yx，即 30xy， 来源:学& 科&网 Z&X&X&K用参数方程求得 P ） 6 分（ 455， 1515 用相切也行。（2）由（1）知，直线 AF2 的斜率为 3，因为 lAF 2，所以 l的斜率为 3，倾斜角为 30，所以 l的参数方程为12xty（t 为参数） ， 代入椭圆 C 的方程中，得 23360tt 因为 M，N 在点 F1 的两侧，所以 1123|1MFNt 10 分23【 答案 】 （1） ；（2）见解析.(1)f(x) 由 f(x)2 得 或 解得 x .所以所求实数 x 的
16、取值范围为 (2)因为 .所以当 时，因为| a b| a b| a|f(x)且 a0 成立，所以 f(x)又因为 2，所以| a b| a b| a|f(x)在 时恒成立2017 年 12 月广州市第七中学高三理科数学市调研考模拟测试题第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若复数 满足 （ 为虚数单位） ，则复数 的模A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题复数 满足 ，则 故选 A2下列函数中，既是偶函数，又在 内单调递增的为（ D ）,0A B C D4yx2xy2xy
17、12logyx3已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且 ，点 在椭圆上，21ab12,F12cA， ，则椭圆的离心率 （ C ）120AFur21AFcur eA B C D335124.周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“ ”当作数字“1” ，把阴爻 “ ”当作数字“0 ”，则八卦所代表的数表示如下：来源:学。科。网依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（ B ）(A) 18 (B) 17 (C) 16 (D) 155.九章算术上有这样一
18、道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”假设墙厚 尺，现用程序框图描述该问题，则输出 （ D ）16 nA B C. D2486.如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线1画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ A ）A B C. D8(12)38(1)34(23)4(2)37. 设函数 ，则满足 的 的取值范围是卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数坤 000 0震 001 1坎 010 2兑 011
19、3A. B. C. D. 【答案】C【解析】若 ，则 则 等价为 ，即 ，则 此时 当 时， 当 即 时，满足 恒成立，当 即 时， 此时 恒成立，综上 故答案为 选 C8. 已知 满足条件 ，则目标函数 从最小值变化到 时，所有满足条件的点构成的平面区域的面积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】 如图所示，所求面积即为图中红色阴影部分的面积 e 故选 a 9. 设 的内角 所对的边分别为 ，且 ，则 的最大值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由正弦定理，得 ， ， 整理，得 ，同除以 得 ，由此可得 是三角形内角，且 与 同号，都是锐角，即 当且仅当 ，即 时， 的最大值为
20、 故选 B10. 将函数 的图像向右平移 （ ）个单位后得到函数 的图像. 若对满足 的 ，有 ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题意可得 ，设由 ，可得 ，解得 故选 C11. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的. 数列中的一系列数字被人们称之为神奇数. 具体数列为： ，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和. 已知数列 为“斐波那契”数列， 为数列 的前 项的和，若，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， 故答案为 故选 D12. 已知函数 ，若存在唯一的正整数 ，使得 ，则 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解
21、析】 由题意设 g ，则 ，所以 在（ 上递减，在（ 上递增，且 ，在一个坐标系中画出两个函数图象如图：因为存在唯一的正整数 ，使得即 ，所以由图得 ，则 ，即 解得 ，所以 的取值范围是故选 C第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 1tan2，且 3,2，则 cos2 _5 14. 的展开式中，不含字母 y 的项的系数的和为_-1_532xy15.观察如下规律：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，131515171717919， ， ， ， ，则该组数据的前 项和为 （计算结果用带分数表9920
22、示） 8416.已知平面四边形 是由 与等腰直角 拼接而成，其中 ，ABCD ACD 90ACD， ，则当点 到点 的距离最大时，角 的大小为 AC315BB34三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17已知数列 的前 项和 ， 是等差数列，且 .na238nSnb1nnab（1）求数列 的通项公式；b（2）令 ，求数列 的前 项和 .12nncncnT17解：（1）因为数列 的前 项和 ，na238nS所以 ，当 时，a221381nnS65又 对 也成立，所以 .65na又因为 是等差数列，设公差为 ，则 .nbd12nnbd当 时， ；
23、当 时， ，112227解得 ，所以数列 的通项公式为 .3dnb3na（2）由 ，12nac11623nn于是 ，346+9nT 1+nL两边同乘以 2，得 ，69n2323n两式相减，得 2346+nT12+2nnL21n3n23nnT22n18.（本小题满分 12 分）某学校为了丰富学生的业余生活 ，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加 10 分，背诵错误减 10 分，背诵结果只有“正确” 和“错误”两种。其中某班级背诵正确的概率为 23p，背诵错误的概率为 13q，现记“该班级完成 n首背诵后总得分为 nS”.（1 ）求 620且 1,2i的概率；（2 ）记
24、 5，求 的分布列及数学期望 .18.解：（）当 6S时，即背诵 6 首后，正确个数为 4 首，错误 2 首；由 01,3iS可得：若第一首和第二首背诵正确，则其余 4 首可任意背诵对 2 首；若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余 3 首可任意背诵对 2 首，此时的概率为：22 2411638pCC；4 分（） 5S的取值为 10，30，50，又 p， 3q， 322551140108p， 6 分 413C， 8 分50055221038p10 分 的分布列为： 403185018E 12 分 19. 如图 1，矩形 中， ，将 沿 折起，得到如ABCD2366ABDEFCAB
25、图 所示的四棱锥 ，其中 .2E7（）证明：平面 平面 ；（）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.AFC19.【解析】 （）在图 2 中取 的中点 ，连接 ， .由条件可知图 1 中四边形BEGAC为正方形，则有 ，且可求得 .ABFEA2 130 50p40818在 中， ， ， ，由余弦定理得GBC 23BC45G.2 cos296在 中， ，所以 ，即 .A 25A0CAGC由于 ， 平面 ， 且 ， ，所以 平面 .BECBDEBEBCD又 平面 ，故平面 平面 .GD（）如图，以 为坐标原点，以平行于 的方向为 轴，平行于 的方向为 轴，建OCxDy立空间直角坐标系.由题设条件，可
26、得 ， ， ， .(20)F，(20)E(30)(30)，由（）得 平面 ，可求得 点坐标为 ，AGBCDA12所以 ， ，设平面 的法向量为 ，由(12)，(0)，EF11()abc，u及 得 令 ，由此可得 .0AFuE112abc12b(02)，由于 ， ，设平面 的法向量为 ，由(12)C，(0)DC，ACD22()abc，v及 得 令 ，由此可得0Avv22abc2b(0)，所以 4cos|36，uv则平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .AEFCD2320已知 分别是椭圆 的左、右焦点.12,F214xy（1）若 是第一象限内该椭圆上的一点，且满足 ，求点 的坐标；P1254PF
27、urP（2）设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ，且 为锐角（其中0,2Ml ,ABO为坐标原点） ，求直线 的斜率 的取值范围.Ok20解：（1）易知 ， ， ， ， .a1b3c1,0F23,设 ，则,0,Pxy，又 ，123,Fxyxyur 253421xy联立 ，解得 ， .2741xy21342y,P（2）显然 不满足题设条件，可设 的方程为 ，设 ， .0xl2ykx1,Axy2,Bxy联立 222144ykxkx21460 ，1221226由 640kk， ，得 .22323234k又 为锐角 ，AOBcos00AOBur 12xyur又 12yk21124kxx 2121x
28、12k221164k22644kk20k .1综可知 ， 的取值范围是 .234k32,2U21已知函数 22ln0fxmx（1）讨论函数 的单调性；（2）当 时，若函数 的导函数 的图象与 轴交于 两点，且32mfxfxx,AB横坐标分别为 ，线段 中点的横坐标为 ，且 恰为函数,AB122,xAB012,的零点，求证： .lnhxcb120ln3xh21解：（1）由于 的定义域为 ，则lnfxm,21mfx对于方程 ，其判别式 .2024当 ，即 时， 恒成立，故 在 内单调递增.420fxfx0,当 ，即 ，方程 恰有两个不相等是实 ，20m1m24m令 ，得 或 ，此时 单调递增；fx
29、24x24xfx令 ，得 ，0f22此时 单调递减.fx综上所述，当 时， 在 内单调递增；02mfx0,当 时， 的减区间为： ，2fx2244,m增区间为： ，240,2,（2）由（1）知， ，21xmf所以 的两根 即为方程 的两根.fx12,x210mx因为 ，所以 ，3m4， ，12x12x又因为 为 的零点，,2lnhcxb所以 ， ，211ln0xcb220两式相减得 ，1212122lxxbx得 .122lnbcx而 ，所以hb120120xxcxb1212121212lnxcxcx .1212lnxx1212lnx令 ，由 得 ，因为 ，120xt21xm2211xxm12x
30、两边同时除以 ，得 ，因为 ，故 ，122t325t解得 或 ，所以 .0tt10t设 ，所以 ，则 在 上是减函数，12lnGttt20tGyGt10,2所以，min12ln3Gt即 的最小值为 .120yxh2ln3所以 .l请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 2cos:3inxCy（ 为参数）和定点 (0,3)A， 1F、 2是此曲线的左、右焦点，以原点 O为极点，以 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）P 为曲线 C 的一点，当 P 到直线 2F的距离取到最大值时，求 P 的直角坐标。（2）经过点 1F
31、且与直线 2A垂直的直线交此圆锥曲线于 M、 N两点，求 |MN的值来源:Zxxk.Com（22）解：（1）曲线 C：2cos3inxy可化为2143yx，其轨迹为椭圆，焦点为 1,0F和 21, 经过 3A和 的直线方程为 yx，即 30xy， 来源:学& 科&网 Z&X&X&K用参数方程求得 P ） 6 分（ 455， 1515 用相切也行。（2）由（1）知，直线 AF2 的斜率为 3，因为 lAF 2，所以 l的斜率为 3，倾斜角为 30，所以 l的参数方程为12xty（t 为参数） ， 代入椭圆 C 的方程中，得 23360tt 因为 M，N 在点 F1 的两侧，所以 1123|1MF
32、Nt 10 分23. 选修 4-5：不等式选讲已知 都是实数， ， .（1）求使得 的 的取值集合 ；（2）求证：当 时， 对满足条件的所有 都成立.23【 答案 】 （1） ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用绝对值的意义化简函数 的解析式，由 得，或 求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（2）求得当 时， ，则由题 根据绝对值不等式的性质即可得证试题解析：(1)f(x)由 f(x)2 得 或解得 x .所以所求实数 x 的取值范围为 (2)因为 .所以当 时，因为| a b| a b| a|f(x)且 a0 成立，所以 f(x)又因为 2，所以| a b| a b| a|f(x)在 时恒成立
