1、2018 届湖南师范大学附属中学高三月考（六）数学（理）试题一、单选题1已知集合 ,则实数 等于( )A. -2 B. -1 C. -1 或 0 D. -2 或-1 或 0【答案】D【解析】分析：先求出集合 ，再根据 ，即可求解 的值.详解：由题意，集合 ，又因为 ，且 ，所以 或 或 ，故选 D.点睛：本题考查集合的运算问题，对于集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Ven
2、n 图2设 ，若 是 的必要而不充分条件，则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据不等式的性质求出 对应的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义建立条件关系，即可得到结论.详解：由 ，得 ，即 ，即 ，由 ，得 ，即 ，若 是 的必要不充分条件，则 ，即 ，则 ，所以实数 的取值范围是 ，故选 A.点睛：本题考查充要条件的判断，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是 的必要条件，若 ，则 是 的充要条件；从集合的角度看，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是 的必要条件，若 ，则 是 的充要条件，若 是 的真子集，则 是的充分不必要条件，若 是 的真子集，
3、则 是 的必要不充分条件.3某学校的两个班共有 100 名学生，一次考试后数学成绩 服从正态分布，已知 ，估计该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为( )A. 20 B. 10 C. 14 D. 21【答案】A【解析】分析：根据考试成绩服从正态分布 ，得到考试成绩关于 对称，再由题意 ，即可即可求解成绩在 分以上的人数.详解：由考试成绩服从正态分布 ，且 ，则 ，所以该班学生数学成绩在 分以上的人数 .点睛：本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩 关于 对称，利用对称写出要用的一段的频数，题目得解.4某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )A
4、. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】分析：该几何体为正八面体，即两个全等的正四棱锥，棱长为 ，高为 ，即可求解体积.详解：由三视图可知，该几何体为正八面体，即两个全等的正四棱锥，棱长为 ，高为 ，所以其体积为 ，故选 C. 点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.5我
5、国古代数学著作九章算术 有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 （单位：升） ，则输入 的值为( )A. 4.5 B. 6 C. 7.5 D. 10【答案】D【解析】分析：模拟程序运行，依次写出每次循环得到的 的值，当 时，不满足条件 ，推出循环，输出 的值为 ，即可求解.详解：模拟程序的运行，可得 ，满足条件 ，执行循环体， ；满足条件 ，执行循环体， ；满足条件 ，执行循环体， ；此时，不满足条件 ，推出循环，输出 的值为 ，根据题意可得 ，解得 ，故选 D.点睛：识别算法框
6、图和完善算法框图是近年高考的重点和热点解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合6将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图像，若 在 上为增函数，则 的最大值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】分析：函数可化简为 的图象向左平移 个单位，得到函数 的表达式，然后利用 上为增函数，说明 ，利用周期的公式，求出的不等式，得到 的最大值.详解：由题意，函数可化为
7、的图象向左平移 个单位，得到函数 ，即 ，又由 在 上为增函数，所以 ，即 ，所以 ，所以 的最大值为 ，故选 B. 点睛：本题考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，求最小正周期时可先把所给三角函数式化为 或 的形式，则最小正周期为 ；奇偶性的判断关键是解析式是否为 或 的形式.7已知 满足约束条件 若 取得最大值的最优解不唯一，则实数 的值为( )A. 或-1 B. 2 或 C. -2 或 1 D. 2 或-1【答案】C【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线的斜率的变换，从而求出 的值.详解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由 得 ，
8、即直线的截距最大，则 最大，若 ，此时 ，此时，目标函数在 处取得最大值，不满足条件；若 ，即 ，目函数 的斜率 ，要使得 取得最大值的最优解不唯一，则直线 与直线 平行，此时 ；若 ，即 ，目函数 的斜率 ，要使得 取得最大值的最优解不唯一，则直线 与直线 平行，此时 ；综上 或 ，故选 C.点睛：本题主要考查了线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解答此类问题的基本方法，本题解答中主要对 的分类讨论是解答的难点，同时要弄清最优解的意义.8若直线 （ ）始终平分圆 的周长，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】直线平分圆周，则直线过圆心 ，所
9、以有（当且仅当时取“=” ），故选 D.9把 7 个字符 拍成一排，要求三个“ ”两两不相邻，且两个“ ”也不相邻，则这样的排法共有( )A. 144 种 B. 96 种 C. 30 种 D. 12 种【答案】B【解析】分析：现求出 没有限制条件的排列，在排除 相邻的排列，即可得到结果.详解：现排列 ，若 不相邻，有 种，若 相邻，由 种，共有 种，从所形成的 个空位中选 个插入 ，共有 种，若 相邻时，从所形成的 个空中选 个插入 ，共有 种，所以三个“ ”两两不相邻，且两个“ ”也不相邻，这样的排法共有 种，故选 B.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组
10、合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、 “是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式10设椭圆 的右焦点为 ,椭圆 上的两点 关于原点对称，且满足 ，则椭圆 的离心率的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据题意画出图形，结合图形利用椭圆的对称性和平面向量的数量积以及三角形的知识，求出椭圆离心率的解析式，在求出离心率的取值范围.详解：作出椭圆
11、的左焦点 ，由椭圆的对称性可知，四边形 为平行四边形，又 ，即 ，故平行四边形 为矩形，所以 ，设 ，则在直角 中， ，得 ，整理得 ，令 ，得 ，又由 ，得 ，所以 ，所以离心率的取值范围是 ，故选 A.点睛：本题考查了椭圆的几何性质离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键求双曲线的离心率(或离心率的取值范围) ，常见有两种方法： 求出 ，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，转化为 的齐次式，然后转化为关于 的方程(不等式) ，解方程( 不等式)，即可得 ( 的取值范围)11在 种， 分别为 三边中点，将 分别沿 向上折起，使 重合，记为 ，则三棱锥
12、的外接球面积最小为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据题意，将三棱锥 补成长方体，则对角线分别为 ，设长方体的长宽高分别为 ，再利用基本不等式，即可求解外接球的表面积的最小值.详解：根据题意，三棱锥 的棱分别相等，将三棱锥 补成长方体，则对角线分别为 ，设长方体的长宽高分别为 ，则 ，所以 ，所以三棱锥 的外接球的直径的平方为 ，而 ，所以 ，所以三棱锥 的外接球面积最小为 ，故选 D.点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体
13、对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.12已知函数 若 且 ，则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：作出函数 的图象，由题意可得 ，求得 ，可得，求出导数和单调区间，可得极大值且为最大值，考虑的大小，即可得到所求范围.详解：作出函数 的图象，如图所示，由 ，且 ，可得 ，即为 ，可得 ，令 ，当 时， 递增；当 时， 递减，则 在 处取得极大值，也为最大值 ，由 ，可得 的范围是 ，故选 B.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了
14、转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值) 最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用 .二、填空题13将八进制数 化为三进制的数是_【答案】【解析】分析：利用叠加权重法，即可将八进制数转化为十进制，从而得解.详解：由题意 ，根据除 取余法可得 .点睛：本题考查了进位制之间的转化，本题涉及到三个进位制之间的转化，实际上不管什么之间的转化
15、，原理都是相同的，属于基础题.14计算 _【答案】【解析】分析：根据三角函数的倍角公式和辅助角公式，即可化简得到结果.详解：由题意 点睛：本题主要考查了三角函数化简求值，对于三角函数的化简求值，三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式” ，其中的核心是“变角” ，即注意角之间的结构差异，着重考查了推理与运算能力.15已知 是双曲线 右支上一点， 分别是双曲线的左、右焦点， 为坐标原点，点 满足 ,若 .则以 为圆心， 为半径的圆的面积为_【答案】【解析】分析：由题意详解：得 是 的角平分线，延长 交 于 ，则 是的角平分线，进而得 还是 的中点，求得 ，即可求得劲儿结论.详解：由 ，知 是
16、 的角平分线，又 ，故延长 交 于 ，则 是 的角平分线，所以 是等腰三角形， ，因为 ，故 ，所以 ，注意到 还是 的中点，所以 是 的中位线， ，所以以 为圆心， 为半径的圆的面积为 .点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,试题有一定的难度，属于中档试题，本题解答中根据题设条件，得到 是 的角平分线， ，进而得 还是的中点，求得 是解答的关键，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.16如图，在 中， 平分 ，点 在线段 上，且，则 _【答案】【解析】分析：设 ，利用余弦定理列出关于 的方程，求出 的长，在面积之间的关系，即可求解 得长.详解：由条件得 ，在 中，设 ，则 ，.(1)因为 与 互补，所以 ，即 ，所以 ，.(2)联立(1)(2)解得 ，所以 ，又由 ，,由 ，得 ，解得 .点睛：本题考查了解三角形的综合应用，高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到 三、解答题
