1、例说高考题中的利用导数求参数范围河北 高亚平导数，作为解决与高次函数有关问题的一种工具，有着无可比拟的优越性。也越来越受到高考命题专家的“青睐” 。其中，利用导数求参数的取值范围，更是成为近年来高考的热点。在 04 年高考中，湖北、辽宁等地考查了这点；在 05 年的高考中，湖北、辽宁、湖南、山东、重庆、天津等地更着重考查了这一点，甚至很多都安排在倒数第一、二题的位置上！现以 04 和 05 年的几道高考题为例，探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。一 与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系求解策略：利用“要使 成立，只需使函数的最小值 恒成立即可；axf)( axfmin)(要使
2、 成立，只需使函数的最大值 恒成立即可”.axf)( axfm)(这也是近两年高考考查和应用最多的一种.例 1（05 湖北理）已知向量 =( , )， =( , )，若 在区间(-1,1)2x1tbxf)(上是增函数，求 的取值范围. t解析：由向量的数量积定义， = ( )+( ) = + + +)f2xt32t = + + .)(xf23xt若 在区间(-1,1)上是增函数，则有 0)(xf - 在 (-1,1)上恒成立.t2若令 = - =-3( ) -)(xg331x2在区间-1,1 上， = =5，故在区间(-1,1) 上使 恒成立，ma)(gt)(xg只需 即可，即 5.t1gt即
3、 的取值范围是5，）.点评：本题除了用导数反映单调性，还借助了二次函数的性质求出最值，且要注意边界值的取舍。例 2 使不等式 - 对任意的实数 都成立，求实数 的取值范围.4x2axa解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导.令 = - ，则如果原不等式对任意的实数 都成立等价于 .)(f42 min)(xfa2又 = - =4 ( )，令 =0，解得， =0 或 =1. )(xf32x1)(xfx的符号及 的单调性如下：)f(-,0) 0 (0,1) 1 (1,+)(xf- 0 - 0 +无极值极小值因为 在 R 上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即 = = -1，)(xf
4、min)(xf)1(f = -1 ，即 3.mina2点评：本题是利用导数求得函数的最值，进而求出参数范围的。例 3（05 天津理）若函数 = ( 0, 1)在区间(- ,0)内单调递增，则)(xf)log3ax21的取值范围是（ ）A ,1) B .1) C( ,+) D(1, ) a414949解析： 是复合函数，须按 01 两种情况考虑.)(xf a令 = ， 在(- ,0)上为增函数，ga3)(xf2 若 03 在(- ,0)上恒成立 , 3 = ,此时， 1；a2xa2)(4 若 1，则 在(- ,0)上为增函数，须使 = 0 在(- ,0)上恒成立，)(g2)(xga23即 3 在
5、(- ,0)上恒成立, 即 0，不合题意.a2xa综上， .1).4点评：解决与复合函数有关问题，要注意复合函数的单调性，否则就会南辕北辙.例 4（04 辽宁）已知函数 .)0(ln)(aexfx（1）求函数 的反函数 的导数fy1ffy及);(xf（2）假设对任意 ,不等式 成立，求实)4ln(,3ax0)(ln|)(|1xfxfm数 m 的取值范围. 解析：(1) 解略. = ， = ； 得 = ；)(1xf)lex(xfae)(lxf)l(aex(2) 解此绝对值不等式得 + 0 , 0 , 故 、 均为增函数，)()(g)(g在 上，4ln3a= = ， = = ，max)()(l)5
6、12l(min(xg)3(la)8ln(故原不等式成立，当且仅当 ，即 .)4(la)(l)512l(am)38ln(点评：问题（2）涉及的式子看似复杂，难以下手，一旦使不等式问题函数化，问题就变得简单多了。再借用导数判断出新函数的单调性，即可求出在给定区间的最值，问题即迎刃而解。二 与极值点的个数有关求解策略：按方程 =0 的根的个数分情况谈论。)(xf例 5（04 湖北文）已知 , ,函数 = 的图象与函数 =1b0c)(xfb)(xg的图象相切，cbx2()求 与 的关系式（用 表示 ） ；()设函数 = 在(-,+) 内有极值点，求 的取值范围. )(xF(xgf c解析：() 与 的
7、图象相切，切线的斜率相等，即 = 即 ，故 ，)(xfg12bx2bx切点的纵坐标为 = ，解得 ，)(f)(gc4)1(又 , ， ，即 .1b0ccb21b2() = = ，)xF)(xgf cx)(3 = ，令 =0，即 c224F=0 (这是二次方程，可通过判别式判断根的个数，进而判断极bx23值点的情况)= =)(162c)3(42c 若 =0， =0 有一个实根 ，则 = ，xF0x)(F2)30x的变化如下： )(故 = 不是 的极值点； x0)(xF若 0， =0 有两个不同的实根 、 ，不妨设 ，则 = 1x21x2)(xF， 的变化如下：)(31)(2(x（-， ）11（
8、， ）122（ ，+）2)(F+ 0 - 0 +故 、 分别为函数 的极大值点和极小值点.1x2)(xF（-， ）00（ ，+0）+ 0 +综合，当 0， =0 在(-,+ )内有极值点.)(xF由 = 0，即 ，又由( ) ，3(42cb2bc3cb21得， 解得， 或 .)1347347故 的取值范围是（0， ）（ ，+）.c47点评：解决要明了切线与导数之间的关系；解决借助了一元二次方程的判别式，更要结合导数与极值之间的关系.三 与集合之间的关系相联系例 6（05 湖南文）设 0，点 是函数 与 = 的图象的t),(tPaxf3)()(gcbx2一个公共点.两函数的图象在点 处有相同的切
9、线，()用 表示 ， ， ；tabc()若函数 = 在(-1,3)上单调递减，求 的取值范围 .y)(xgft解析：() 为切点，切线相同，此问与例 5 大同小异。P把 点代入两函数解析式，有 ，又 0，故 ，23cbtatabct2又在点 处切线相同，故 ，即 ，P)(xgf tt2将 代入，得 = ，从而， = ，即 .2tabtc332tcb() 由() ， = ，xtxf23)(g32t = = ，y(x = = ，223tx)(3t函数 = 单调递减，即 0，)(gf y由 = 0，当 0 时， ； 0 时， .y3(txt3txttx3t故函数 的单调区间，当 0 时，为 ；当 0 时，为 .t),(t ),(t故要使函数 在(-1,3)上单调递减，须满足 (-1,3) 或(-1,3) ，即y),3(t)3,(t或 ，解得， 3 或 -9.故 的范围是(- ，-93，+）.310ttttt点评：题看题意似与例 1 相似，其实不然。本题 的表达式中含 、 和 ，不能把ytx2全部移到另一边构造新的二次函数，故利用了集合之间的包含关系确定边界点的范围，x从而得出结果。04 年高考浙江文就已经考过了此类题.
