1、4 矩阵的奇异值分解 矩阵的奇异值分解在矩阵理论中的重要性是不言而喻的，它在最优化问题、特征值问题、最小二乘方问题、广义逆矩阵问题和统计学等方面都有十分重要的应用。一.预备知识为了论述和便于理解奇异值分解，本节回顾线性代数有关知识。定义2.14 若实方阵Q满足 ,则称Q是正交矩阵.定义2.15 若存在正交矩阵P,使得 ,则称A正交相似于B.定义2.16 共轭转置矩阵记为 ,即 .定义2.17 若 ,则称A为Hermit矩阵.定义2.18 设 ,若 ,则称A为正规矩阵.,定义2.19 设 ,若 ,则称A为酉矩阵.定义2.20 设 ,若存在酉矩阵P,使得,则A称酉相似于B.性质1 若A是n阶实对称
2、矩阵， 是的特征值，则恒存在正交阵Q，使得而且Q的n个列向量是的一个完备的标准正交特征向量系。性质2 若 ，是非奇异矩阵，则存在正交阵P和Q，使得其中.,.,性质3 (1) 设 ,则 是Hermit矩阵,且其特征值均是非负实数;(2) ;(3) 设 , 则 的充要条件为 .把性质2中的等式改写为称上式是A的正交对角分解.性质4 (1) 设 ,则A酉相似于对角阵的充分必要条件是A为正规矩阵;(2) 设 ,且A的特征值都是实数,则正交相似于对角矩阵的充要条件A是为正规矩阵.,二.矩阵的奇异值分解 现在开始论述矩阵的奇异值分解。定义2.21 设 ， 的特征值为则称 是A的奇异值；规定零矩阵0的奇异值
3、都是0.定理2.9 设 , 则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V,使得 （2.41）其中矩阵 ,而数是矩阵A的所有非零奇异值.称式（2.41）是矩阵A的奇异值分解.,证 根据性质3, 是Hermit矩阵,且其特征值均是非负实数,且 记为显然, 是 正规矩阵.根据性质4,存在n阶酉矩阵V,使得 或,其中:设V有分块形式则有即 由 ,得 或,其中. 由 ,得 或 令 ，则根据线性代数理论知，可将两两正交的单位列向量扩充为 的标准正交基，记矩阵 ，则是m阶酉矩阵，且,于是所以 (证毕) 由上述定理的证明过程可知,A的奇异值是由A唯一确定的,但是,由于酉矩阵U和V是不唯一的,故A的奇异值分解(2.41)式
4、也是不惟一的.,例10 求矩阵 的奇异值分解.解: 可以求得矩阵的特征值是 ,对应的特征向量可取为 ，于是可得，奇异值为 ， ，且使得成立的正交矩阵为,， 其中经计算,将 扩张成 的正交标准基则A的奇异值分解是,例11 设矩阵 ，求它的奇异值分解.解 经过计算，矩阵的特征值为 ,对应的特征向量分别是，从而正交矩阵,以及 ，计算,，,构造.的奇异值分解是,.,三. 正交相抵矩阵 定义2.22 设 ,若存在m阶正交矩阵U和n阶正交矩 阵V,使得 ,则称A与B正交相抵. 在上述定义中,若A和B都是n阶方阵,U=V,则 即A与B正交相似.可见正交相似概念是正交相抵概念的特殊情况. 定理2.10 正交相抵的两个矩阵具有相同的奇异值. 证 若 ,则,上式表明 与 相似,而相似矩阵有相同的特征值,所以A与B有相同的奇异值.证毕直接验证可知, 正交相抵具有自反性、对称性和传递性，因此，所有正交相抵的矩阵构成了正交相抵等价类。在正交相抵等价类中的任一矩阵A，奇异值分解 中的矩阵都是相同的，D称为正交相抵等价类中的标准形矩阵。,
