1、数列极限和函数极限 极限的一般形式或，其中可以是无穷大。 )(lim nfn )(lim xfaxa极限定义为当自变量和极限点的距离越来越近时（自变量无限接近于极限点时），函数值也和极限值的距离越来越近（函数值无限接近于极限值）。其中最关键的是度量“自变量无限接近于极限点”以及“函数值无限接近于极限值”两个论断，这些都是用两个数之间的距离或者是变数（自变量和函数值都可以理解为变数）与定数（指极限点和极限值）之间的距离来衡量。 （1）变数趋近于有限数，衡量方法为| Xxf |)(|数列极限： Lnfn=)(lim涉及到两个距离，n和之间的距离以及和之间的距离，用上面的两个距离衡量方法就可以得到下
2、面的定义。但是要注意的是这两个距离的控制量应当是有关系的，一般说是要由函数值和极限值之间的距离控制来决定自变量和极限点之间的距离控制。数列极限的定义为：对任意的 )(nf L0，存在，当时，N Nn =aann； （4）ennn=+)11(lim；（5）01,01=。 求解数列极限的几种方法： （1）使用上述几种极限结论。 例：001001111lim11lim222=+=+=+nnnnnnn一般地， 1=0，当M 0，当|)(|其他类型的极限可以按照同样的规则写出。 求解极限的方法： （1）直接将ax =代入，如果能够直接算出数值，则该数就是极限，这里可以使用)(xf01,01=规则。 3例
3、：413333lim223=+=+xxx；=+xxx1lim0如果不能算出数值，那么必定属于下面几种形式中的一种：00,0,1,0,00七种未定形式和无穷小量乘有界量。 （2）约去公因式 如果被求极限函数是个分式函数，那么可以通过约去公因式化简函数。 例：6131lim)3)(3(3lim93lim3323=+=+=xxxxxxxxx（3）分子有理化和分母有理化 例： 2311lim)1)(1()1)(1(lim)1)(1)(1()1)(1)(1(lim11lim33 2133 2133 2333 2131=+=+=+=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx（4）变量代换。使用变量代换的
4、目的是将被求极限函数化简或变形为易求极限的函数。但要注意的是变量代换将原来的自变量变成了新的变量，因此变量的变化趋势也应当作相应的变化。 例：11lim0+xxx。 该极限可以使用分母有理化求解，现在使用变量代换的方法。作变量代换1+= xu，相应的变化趋势变为，将原来关于0x 1u x的极限问题变为关于u的极限问题。 2)1(lim11lim11lim1210=+=+uuuxxuux。 （5）使用两个基本极限1sinlim0=xxx，exxx=+10)1(lim，exxx=+)11(lim。 例：2112coslimsinlim2cossin2lim2sinlim0000=xxxxxxxxx
5、xxx也可以这样做： )2(212sinlim222sinlim22sinlim000xuuuxxxxuxx=其中令 例：xxxarctanlim0，令xu arctan=，即ux tan=，变为。 0x 0u1cossinlimtanlimarctanlim000=uuuuuxxuux。 使用第二个基本极限的方法和前面关于数列的类似极限的方法相同。 例： 4eexxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx=+=+=+= 11lim1110111010100)111(lim)111(lim)11(lim)11(lim一般地，对于形如的极限，如果)()(limxgaxxf=)(lim,1)(l
6、im xgxfaxax，可以用下面的步骤完成 )(1)(lim)(1)(1)(1)()()1)(1lim)1)(1lim)(limxgxfxgxfxfaxxgaxxgaxaxexfxfxf=+=+=其中可以是有限数，也可以是无限数。 a例： 1ln)1(limln)1ln(lim)1ln(lim10100=+=+=+exxxxxxxxxxexx1lim0：令，即1=xeu )1ln( ux +=，同时变为，从而0x 0u1)1ln(lim)1ln(lim1lim1000=+=+=uuuuxeuuxx（6）规则：存在的充要条件为左右极限都存在且相等。该规则使用的场合一般有两个：一是对分段函数的极
7、限（含有绝对值的函数也是看作分段函数），二是求无穷远点的极限。对于分段函数在分段点处的极限，由于分段函数在分段点左右的函数表达式不一样，因此需要考虑左右极限，左极限就是求分段函数在分段点左边的表达式在该点的极限（左极限中的函数已经限定)(lim xfax)(lim)(lim xfxfaxax +=ax）。当左右极限都存在而且相等时，分段函数在分段点的极限才存在。对于无穷远点的极限是指 )(lim xfx存在的充要条件为)(lim)(lim xfxfxx +=。几个正无穷和负无穷点处极限不相等的例子。 2arctanlim,2arctanlim,0lim,lim=+=+xxeexxxxxx例：xxxx+ 21lim。 52111limlim)(lim1lim22222=+=+=+=+xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx0)111(limlim)(lim1lim22222=+=+=+=+xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx从而xxxx+ 21lim不存在。 其中注意的是x时，应当有0+=00011)(xxxexxfx0x时，连续；1)( += xxf 0= eef由零点定理，函数在内至少有一个零点。 2)( = xexfx)2,0(8
