1、1第一讲 函数、极限与连续一、考试内容与要求1 函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系.（2）复合函数: y=f(u), u= ，重点：确定复合关系并会求()()xyfx复合函数的定义域.（3）分段函数: 注意， 为分段)(,min),(,a,sgn, xgfgf函数.（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性注：变限积分所定义函数 或 的特性：若 f(x)为奇（偶）函数，xdtf0)(xatf)(则 为偶（奇）函数；若 f(x+T)=f(x), 且 ，则 仍为以xdtf0)( 0)(0Td
2、tfxdtf0)(T 为周期的周期函数.例 设函数 f(x)连续，则在下列函数中，必为偶函数的是（A） （ B） xtf02.)( xtf02.)(C) (D) dtf.)( dtf.)(解 直接利用上述结论或取特殊值法，如 f(x)=1, 排除(A),(B); 又取 f(x)=x， 排除(C).2 极限(1) 数列的极限： limnaA(2) 函数在一点的极限的定义： li(),lim()xxfAf0(3) 单侧极限 : 1) 左右极限 02) 极限存在的充要条件：li()li()li()xxxfAff0 00(4) 极限存在的准则1) 夹逼定理： 数列情形，函数情形2) 单调有界数列必有极
3、限(5)极限的基本性质：唯一性，保号性，四则运算(6) 两类重要极限 : , 1sinlm0x.)(li10exx(7) 无穷小量与无穷大量1) 无穷小量 ; 2) 无穷大量 ; （注意与无界变量的差异）3) 无穷小量与无穷大量的关系(8) 无穷小量阶的比较23 连续1) 连续的定义2) 区间上的连续函数3) 间断点及其分类4) 闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理、零点定理注：复合函数求极限公式二、 重要公式与结论1 常见极限不存在的情形：1) ,1sinlm00xx,1cosli00xlimsn,licosx方法：用无穷小量乘有界变量2） 0010li,artnli,ar
4、ctli xxxx a方法：分 或 讨论.2 lim(),lim()xnnnfAfA0 0有特别：若 li()xf3 无穷小量的等价代换若 ，则 ， ，, fflili fflimli当 时，1lim.)(lim)(li ff常见无穷小量的等价代换：若 ，则有 0x)(),(1ln),(tan),(sin )(xexx 特别注意： （ ，kk1（ ）， （ ）xxtd02si xdt021)ln(04 若 .)(lim)(l,)(limBgAfBgAf 由此有 .11li )(1(lim)(1()( xgfxgfxfx ef 三、 典型题型与例题题型 1 求函数的极限分析 未定式类型：解题提示
5、 常见方法：1) 极限运算法则，2)无穷小量等价代换，3）洛必达法则例 1 求极限 limn(1si)(inxxe0303例 2 求 型未定式).1(lim0xex“例 3 , limn()l()xx1230例 4 ;21ln()0limcosxx例 5 求极限 lim(sinl()xxe0142例 6 求 xdttxcosln1arilm04题型 2 求极限的逆问题解题提示 方法：1）运算法则，2）等价代换，3）洛必塔法则，4）(用泰勒公式)例 7 试确定 a,b,c 的值，使 )0()1ln(siim30cdtxaxb例 8 已知 limsn(),lim()x xxff030266则 为(
6、A) 0, (B) 6, (C) 36, (D) 题型 3 无穷小量的比较例 9 设当 x0 时， 是比 高阶的无穷小，而xdt0)sin(col 13nx是比 高阶的无穷小量，则正整数 n 等于13n)i(A) 1 （B ） 2 (C) 3 （D ）4题型 4 求数列的极限解题提示 方法：(1)转化为函数极限： lim(),()()xnnfAxfxA例 10 计算 .24tan(2) 利用单调有界数列收敛准则例 11 设 x1=a0, 证明：数列 的极限存在并求其值。xnn161(),xn5(3) 利用夹逼定理 (适合 n 项求和的情形)(4) 利用定积分定义 (适合 n 项求和的情形)公式
7、： 1） lim()n abkfabfxd12） li()nkfxd01例 12 求 knkn1lli1题型 5 判断函数的连续性与间断点的类型例 13 求函数 的间断点，并指出其类型。0,1sin)1l()23xxxf题型 6 综合题例 14 已知 f(x)在（ 内可导，且 ，),exfx)(lim，求 c 的值.1(lim)(lifxcx6例 15 1）证明当 x0 时， 21)ln(0xx2）令 ，则 单调增加且有上界，从而12(an na存在.lim例 16 由拉格朗日中值定理有 ，其中 ，则 .)(1xxe1)(0x)(lim0x补充练习题：1、求极限 1lncos()imi2xx 242、求极限 21liln()xx123、求 40si(si)lmxx 64、求 201tansilil()xx1275、求极限 sin220limn(1)l(1)xxex166、求极限 1 tan0li()xx7、x表示不超过 x 的最大整数，试确定常数 a 的值，使210ln()imxxea存在，并求出此极限。 a=-2, 28、已知当 时， 是 的高阶无穷小，则 a= ,0x2(1)xeab2xb= . 12ab9、设常数 ，求极限 ， 12a21limn()na12a10、设 试补充定义 f(0),使得 f(x)在11(),(0sin()2fxxx上连续。10,2
