函数极限与连续.doc

1、第 1 章 函数的极限与连续极限是现代数学的最基本的概念，是学习微积分学的重要基础.在后面的几章学习中可以看到，微积分中的重要概念都是通过极限来定义的.本章将介绍极限的概念、性质及运算法则，在此基础上建立函数连续的概念，并讨论连续函数的性质1.1 初等函数1.1.1 函数1函数的定义设 是一个数集，如果对属于 中的每一个数 ，依照某个对应关系 ， 都有确DDxfy定的数值和它对应，那么 就叫做定义在数集 上的 的函数，记作 叫做y )(x函数的自变量，数集 叫做函数的定义域函数 的取值范围 叫做函数的值域.yM由定义可知，对应关系和定义域构成函数的二要素.2函数的定义域在实际问题中，根据所考察

2、问题的实际意义来确定其定义域对于不具有实际意义的抽象函数，其定义域是使得函数有意义的全体自变量的集合常见的有:(1) 在分式函数中，分母不能为零；(2) 在根式函数中，负数不能开偶次方；(3) 在对数函数中，真数大于零；(4) 在三角函数和反三角函数中，要符合它们的定义域；(5) 在含有多种式子的函数中，应取各部分定义域的交集.例 1 求下列函数的定义域：（1） ； （2） 241xy 1lgxy3反函数在研究函数的同时，有时函数和自变量的地位会相互转换，于是就出现了反函数的概念例如，在函数 中，定义域和值域都是 ，按照 和 的对应关系，任意给21yRxy出一个 ，都有唯一确定的 与之对应R1

3、xy一般地，设函数 ，定义域为 ，值域为 如果对于 中的每一个 值，)(fDMy都可由 确定唯一的 值与之对应，这样就确定一个以 为自变量的函数 ，该)(xfyxyx函数称为函数 的反函数，记作 显然，函数 的定义域)(1yf)(1fx为 ，值域为 MD习惯上常用 表示自变量， 表示函数，故常把 的反函数记y)(f为 若把函数 与其反函数 的图形画在同一个平面直角)(1xfy)(xf 1坐标系内，则这两个图形关于直线 对称因此，函数 是函数 的反函数，其定义域为 ，值域为 将函212R数改为 ，自变量改为 ，则函数 的反函数为 （图 11） yx1xy2yxx1O2xy图 11例 2 求 的反

4、函数23xy4分段函数在自然科学及工程技术中，用公式表示函数时，经常会遇到一个函数在不同的范围内用不同的式子表示的情况.如函数 0,() .xf是定义在区间 内的一个函数.当 时， ；当 时，(, )()fx0x.()fx在不同的区间内用不同的式子来表示的函数叫分段函数.分段函数是用几个解析式子来表示的一个函数，而不是表示几个函数.求分段函数值时，应把自变量的值代入相应取值范围的表达式中进行计算.如在上面的分段函数中，； .(4)2f(4)f5函数的几种特性（1）奇偶性如果函数 的定义域 关于原点对称，且对于任意的 ，都有()yfxDxD，那么 叫做奇函数；如果函数 的定义域 关于原点()fx

5、()f ()yf对称，且对于任意的 ，都有 ，那么 叫做偶函数；如果函()xf数 既不是奇函数也不是偶函数，则称 为非奇非偶函数.如 是奇函数， 是偶函数.3y2y奇函数的图象关于原点对称(如图 12)；偶函数的图象关于 轴对称(如图 13).yxO()fxO)fx图 12 图 13例 3 判断下列函数的奇偶性(1) ； (2) ； (3) .xfcos)(2xf1)(xf2)(（2）单调性如果函数 在区间 内随着 的增大而增大，即对于 内任意两点 与f(, ab, ab1，当 时，有 ，那么称函数 在区间 内是单调增加的，x1212)ff)(f()区间 叫做函数 的单调增加区间(, )abx

6、如果函数 在区间 内随着 的增大而减小，即对于 内任意两点 与(f(, x, 1x，当 时，有 ，那么称函数 在区间 内是单调减少的，212)21ff)(xf()ab区间 叫做函数 的单调减少区间.(, )显然，单调增加函数的图象沿 轴正向是逐渐上升的；单调减少函数的图象是沿轴正向是逐渐下降的.x如图 14 为单调增加函数，图 15 为单调减少函数.xyO()fxyO()fx图 14 图 15在整个区间上单调增加（减少）的函数，称为这区间上的单调增（减）函数，这个区间称为这个函数的单调区间.例如，指数函数 在其定义域 内是单调增加的而幂函数 在xeyR2xy内是单调增加的，在 内是单调减少的，

7、所以在 内不是单调(0, )(, 0)(, )函数.例 4 判断函数 的单调性.12)f（3）周期性对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得对于其定义域内的每一个 ，都有(xTx)(xff成立，则称 是周期函数， 称为其周期.)f显然，如果 是 的周期，则 （ 是整数）均为其周期一般提到的周期均T(fn指最小正周期.我们常见的三角函数 都是以 为周期； 都si, cosyx2tan, cotyx是以 为周期.（4）有界性设函数 在区间 内有定义，如果存在一个正数 ，使得对于任意 )(xf)(ba， M，恒有 ，那么称 在 内有界；如果不存在这样的数 ，)(ba， |M)(xf)ba，那么称 在

8、 内无界.，例如，函数 ，存在正数 ，使得对于任意的 ，均有 ,ysin1xR1|sin|x所以函数 在其定义域 内是有界的xR1.1.2 基本初等函数我们学过的幂函数 ( 为实数） 、指数函数 且 、对数函xyxya(01)数 且 、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.logayx(01)a1幂函数 （ 为实数）(1) 当 时，函数经过两定点 和 ，图象在第象限内单调增加且无(0, )1, 界（如图 16（1） ）.(2) 当 时，函数经过定点 ，图象在第象限内单调减少且无界（如图0(1, )16（2） ）.xyOyx2x3(1,):(1,)2yxxo1y(,):（1） （2）图 162

9、指数函数 且 (0xya)它的定义域为 ，值域为 ，图象经过定点 ,)(, (0, 1)(1) 当 时，函数单调减少且无界（如图 17（1） ） 01(2) 当 时，函数单调增加且无界(如图 17（2） ） xylogaxO:)(1,0 xylogayO(1,0):)（1） （2）图 173对数函数 且log (0ayx)它的定义域为 ，值域为 ，图象经过定点 (,), (1, 0)(1) 当 时，函数单调递减且无界(如图 18(1)；01(2) 当 时，函数单调递增且无界(如图 18(2)logayx(01):O,logayx(1):O(,0)(1) (2)图 18 4三角函数(1) 正弦函

10、数 xysin定义域为 ，值域为 ，奇函数，周期为 的周期函数，有界（如(, ), 2图 19） xy110432234sin xR图 19(2) 余弦函数 xycos定义域为 ，值域为 ，偶函数，周期为 的周期函数，有界（如(, ), 2图 110）. cos yxR0243234 x11图 110(3) 正切函数 xytan定义域为 ，值域为 ，奇函数，周期为|, , 2xRkZ(, )的周期函数，无界（如图 111） xyO2332tanx xycotxO22233图 111 图 112(4) 余切函数 xycot定义域为 ，值域为 ，奇函数，周期为 的周|, , RkZ(, )期函数，

11、无界（如图 112） 5反三角函数（1）反正弦函数 xyarcsin定义域为 ，值域为 ，奇函数，单调增加，有界（图 1-13）., , 2（2）反余弦函数 ，ro定义域为 ，值域为 ，非奇非偶函数，单调减少，有界（图 1-14）.1, 0, （3）反正切函数 xyactn定义域为 ，值域为 ，奇函数，单调增加，且有界（图 1-15）.(, ), 2（4）反余切函数定义域为 ，值域为 ，非奇非偶函数，单调减少，有界（图 1-16）., (0, )xyOarcsinx221yOx12arcosy图 1-13 图 1-14xyO22arctn xy2Oarcot图 1-15 图 1-161.1.3

12、 复合函数、初等函数1复合函数在同一问题中，两个变量的联系有时不是直接的，而是通过另一变量间接联系起来的.例如：某汽车每公里油耗为 公升，行驶速度为 公里/小时.汽车行驶的里程是其行av驶时间的函数： ，而汽车的油耗量又是其行驶里程的函数： 于是，汽车vts asy的油耗量与汽车行驶时间之间就建立了函数关系： .这时我们称函数 是由atyvt与 复合而成的复合函数.ay一般地，设 是 的函数， 是 的函数，如果 值域与)(ufy)(xu)(xu定义域的交集非空，则 通过中间变量 成为 的函数，我们称 为 的复合)(uf y y函数.记作 .x其中 称为中间变量.例 5 指出下列函数的复合过程和

13、定义域：(1) ； (2) .)1(log2ya xy2sin例 6 已知 ， ，将 表示成 的复合函数.uylg2sin, vxyx2初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限复合运算构成的，并且能用一个解析表示的函数称为初等函数.例如： ， ， 等都是初等函数.)2(log1xxyaxy3xyln1.1.4 建立函数关系举例为了解决应用问题，先要给问题建立数学模型，即建立函数关系为此需要明确问题中有因变量与自变量，再根据题意建立等式，从而得出函数关系，再确定函数的定义域应用问题的定义域，除使函数的解析式有意义外，还要考虑变量在实际问题中的含义.下面就一些简单实际问题，说明建立函数关系的

14、过程.例 7 某市场对西红柿的批发价格如下规定：批发量在 千克以下为 元/千克；批501发量在 千克以下超过 千克的部分为 元/千克；批发量超过 千克的部分为10500.8元/千克设批发量为 千克，总费用为 元，试建立 与 的函数关系5xyyx例 8 一物体作直线运动，已知所受阻力 的大小与其运动速度 成正比，方向相fv反设物体的速度为 米/秒时，所受阻力为 牛顿，试建立 与 的函数关系.9.1f例 9 公共电话收费问题.在公共电话亭打市内电话，每 收费 元，不足 按 收费，求电话3min043mini收费与用时 的函数关系.t1.2 函数的极限1.2.1 数列的极限数列（整标函数）可以看作是

15、 按自然数顺序列出的一串函数值：)(nfx.现在来考察当自变量 无限增大时，数列 的变化趋势.试12, , nx )(nfx看下面几个下例子：(1) ，即 ， ， ， ， ，；n1248162n(2) ，即 ， ， ， ， ，；()nx341()n(3) ，即 ， ， ， ，；n(4) ，即 ， ， ， ， ，.1()2n011()2n通过仔细观察可以发现，当 时，这几个数列的变化情况是大不相同的数列(1)随着 的无限增大， 无限接近常数 ；数列(2)随着 的无限增大，nx0无限接近常数 ；数列(3)、(4)随着 的无限增大，都不能无限接近于1()nnx1n某一个确定的常数，当 时，数列 的值

16、也无限增大，数列 的2nx1()2nnx值在 与 两个数上来回跳动.01为清楚起见，我们把表示(1)、(2)这两个数列的点分别在数轴上描出一些(图118,119). x1214816322x34x5图 118x121x3x4523678图 119可以看出，当 无限增大时，数列 在数轴上的对应点逐渐密集在 右侧，n2nx0x即数列 无限趋近于 ；数列 在数轴上的对应点逐渐密集在12nx01()n附近，即数列 无限趋近于 1()nnx总之，当 无限增大时，数列(1)、(2)都趋近于一个常数，这种数列称其为有极限；当 无限增大时，数列(3)、(4)都不趋近于一个常数，这种数列称为无极限一般地，n有下

17、面定义定义 1.1 设数列 ，如果当 无限增大时， 无限趋近于一个确定的常数 ，nxnxA则称当 趋于无穷大时，数列 以 为极限，记作A或 nlim ()n此时，也称数列 是收敛的；如果数列 没有极限，就称其为发散的nxx因此，当 时， 的极限是 ，可记作 ； 的极限是 ，101lim0n1nx可记作 ；而数列 和 没有极限，没有极限的数列，也lim1n2nx()2n说数列的极限不存在例 1 观察下面数列的变化趋势，写出它们的极限：（1） ； （2） ；xn 31nx（3） ； （4） .n21)(一般地，任何一个常数数列的极限就是这个常数本身，即 （ 为常数）.Cnlim例 2（无穷递缩等比

18、数列的求和公式）设数列 其231, , , naqaq 中首项 ，公比 ，求其所有项的和 01a1qS1.2.2 函数的极限1当 时,函数 的极限x()yfx例 3 考察当 时,函数 的变化趋势1定义 1.2 如果当 的绝对值无限增大（即 ）时，函数 无限接近于一个x)(xf确定的常数 ，那么 就叫做函数 当 时的极限，记作A)(f（或当 时， ）.Axf)(lim()fA有时， 的变化趋向只取 或 中的一种情况.因此，类似地有下面的x定义.定义 1.3 如果当 时，函数 无限接近于一个确定的常数 ，则称 为)(xf A函数 当 时的极限，记作)(f（或当 时， ）.Axfx)(li ()fx

19、A定义 1.4 如果当 时，函数 无限接近于一个确定的常数 ，则称 为)(f函数 当 时的极限，记作)(f（或当 时， ）.lim()xfx()f于是，由图 120 可以看出.11lililim0xxx可以证明：若 ，则 反之也成立.li()()xffA Af)(例 4 求 和 .ex2 时函数的极限0为了研究方便，下面介绍邻域的概念设 是任一正数，开区间 叫做点 的 邻域，记作 ，其0(, )x0x0(, )Ux中 叫做邻域中心， 叫做邻域半径去掉邻域中心的邻域叫做去心邻域0x下面研究当 时，函数 的极限0xf表示 无限趋近于定值 （ ） ，它包含两种情况：0 0x0(1) 从大于 的一侧趋

20、近于 ，记作 ；x(2) 从小于 的一侧趋近于 ，记作 .x000例 5 考察当 时，函数 的变化趋势.3()13f定义 1.5 设函数 在 的某邻域内有定义( 可以除外)，如果当 无限趋xy00xx近于定点 （ 可以不等于 ）时，函数值无限趋近于一个确定的常数 ，那么 就叫0x A做函数 当 时的极限记作)(xfy0（或当 时， )lim()xfA0x(fxA需要注意：函数在点 的极限状况与函数在该点是否有定义及如何定义无关.0例 6 讨论极限 和 .Cxlix0li解 因为函数 是常量函数，函数值恒等于常数 C，所以 .y x0lim因为函数 的函数值与自变量相等，所以当 时函数值 也趋于

21、 ，0xy0x因此 .0limx例 7 考察极限 .)21(lixx3 时函数 的左极限与右极限0yf定义 1.6 如果当 时，函数 无限趋近于一个确定的常数 ，那么 就0)(xf A叫做函数 当 时的左极限，记作)(xf（或当 时， ）.Axfx)(lim0 0()fx如果当 时，函数 无限趋近于一个确定的常数 ，那么 就叫做函数当 时的右极限，记作)(xf0（或当 时， ）.0li()xf0x()fxA一般地，当 时，函数 在点 处的极限与左极限、右极限的关系为 .lim0fxAfx)(li0fxlim0也就是说，如果函数 在点 处的左、右极限都存在且相等，那么函数 在)( )(xf点 处

22、的极限存在，且与左、右极限相等；反之，如果那么函数 在点 处的极限0x )(xf0存在，那么函数 在点 处的左、右极限都存在，且与函数的极限相等.f0例 8 讨论当 0 时，函数 的极限.x,0()xf例 9 讨论当 时，函数 的极限.01, ,(), 0fx例 10 讨论当 时，函数 的极限.3x39)(2f1.3 极限的运算1.3.1 极限运算法则利用极限的定义只能求一些简单函数的极限，对于复杂函数的极限却无法解决下面介绍极限的运算法则，进而解决复杂函数的求极限问题设 ，则00lim(),li()xxfAgB(1) ；00limli()xxfgAB(2) ；0li()()xf(3) ；00

23、lili()()xxfgB(4) （ 为常数） ；00lixxCffCA(5) （ 为正整数） 00lim()()nn以上结论仅就 时加以叙述，对于自变量 的其它变化过程同样成立其中，x法则（1） 、 （2）可以推广到有限个函数的情况.例 1 求极限 )3(li2x例 2 求极限 61x例 3 求极限 39lim2例 4 求极限 152xx例 5 求极限 li3例 6 求极限 42xx由以上三例，可得一般结论（ ）：0,0ba.1010 (),lim ()nnmx mnaxaxabbb1.3.2 两个重要极限1极限 1sinl0x例 7 求极限 32im例 8 求极限 xtal0例 9 求极限

24、 2cos1i例 10 求 xxnl一般地， ，这就是说不论在怎样的情况下，只要 这si()m1flim()0,fx种特定形式的极限均为 .2极限 exx)1(li例 11 求极限 x例 12 求极限 x21lim例 13 求极限 13)(x1.4 无穷小量与无穷大量1.4.1 无穷小量1无穷小量的定义在实际问题中，经常会遇到以零为极限的变量.例如，当关掉电源时，电扇的扇叶会逐渐慢下来，直至停止转动；又如，电容器放电时，其电压随时间的增加而逐渐减少并趋近于零；再如，用抽气机来抽容器中的空气，容器中的空气含量将随着时间的增加而逐渐减少并趋近于零.对于这种变量，给出下面的定义.定义 1.7 如果当

25、 （或 ）时， ，则称当 （或0x()0fx0x）时，函数 为无穷小量，简称无穷小，通常用 等表示.x)(f , 例如，当 时，函数 都是无穷小；当 时，函数 ， 都x2, 112是无穷小；当 时，函数 x1是无穷小量.应当注意：(1) 无穷小是以零为极限的函数当我们说函数 是无穷小量时，必)(xf须同时指明自变量 的变化趋向例如，当 时，函数 是无穷小量，而当xx1时，函数 就不是无穷小量.1x1()f(2) 常数中只有“ ”是无穷小，这是因为 .0 0()limx而对其它函数，尽管它的值可以很小，因其值已取定（不为零） ，极限都不是 ，因此都0不能说成是无穷小.2无穷小量的性质（1）有限个

26、无穷小的代数和是无穷小.（2）有限个无穷小的乘积是无穷小.（3）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.例 1 求极限 .xx1sinlm03无穷小与函数极限的关系定理 函数 以常数 为极限的充分必要条件是 可以表示为 与一个无穷)(fA)(xfA小 之和.即 ，其中 .fx )(li)(0 0lim)(x例如 ， ， ，而 .1limxx101limx4无穷小的阶无穷小虽然都是趋近于 0 的变量，但不同的无穷小趋近于 0 的速度却不一定相同，有时可能差别很大.如当 时， 都是无穷小，但它们趋近于 的速度却不一样，列表如下：x2, x01.5. .1 . 20 002x01显然， 比 与 趋近于 0

27、的速度都快得多.快慢是相对，是相互比较而言的，下面通过比较两无穷小趋于 0 的速度引入无穷小的阶的概念.定义 1.8 设 是同一过程中的两个无穷小.,如果 ，则称 是比 较高阶的无穷小.lim如果 ，则称 与 是同阶的无穷小.特别是当 时，称 与 是等0c1c价无穷小，记作 .:如果 ，则称 是比 较低阶的无穷小.li例如， ，所以当 时， 是比 较高阶的无穷小量.反之，200mlixx0x2x当 时， 是比 较低阶的无穷小量.又如， ，所以当 时， 与 是同阶无穷小量.01li2x1.4.2 无穷大量1无穷大量的定义定义 1.8 如果当 （或 ）时，函数 的绝对值无限增大，则称当0x)(xf

28、（或 ）时，函数 为无穷大量，简称无穷大0x)(f例如，当 时，函数 是无穷大量.11应当注意：(1) 说函数 是无穷大量，必须同时指明自变量 的变化趋势.)(xf x例如，当 时，函数 是无穷大量，但当 时，函数x就不是无穷大量.1)(xf(2) 一定要把绝对值很大的数与无穷大量区分开.因为绝对值很大的数，无论多么大，都是常数，不会随着自变量的变化而绝对值无限增大，所以都不是无穷大量.根据定义，函数 是无穷大时，其极限是不存在的，但为了便于叙述，我们常说)(xf函数 的极限是无穷大，并记作 .)(xf )(lim(0xfx如果当 （或 ）时， 取正值而无限增大，记作 .0 )(lim(0xf

29、x如果当 （或 ）时， 取负值而绝对值无限增大，记作x)(f.)(lim(0fx例如，当 时，函数 取正值而无限增大，所以 是 时的2()fx)(xf无穷大量，记作 ；当 时，函数 取负值而绝对值无限增大，2lix0()lgfx所以 是 时的无穷大量，记作 .)(xf0xlim2无穷大与无穷小的关系为了说明无穷大与无穷小的关系，我们先考察下面的例子：当 时，函数 是无穷小，而函数 则是无穷大；当 时，x1()fx()fx1x函数 是无穷大，而函数 是无穷小.1)(f ()1fx一般地，在自变量的同一变化过程中，如果 是无穷大量，那么 是无穷小)(f )(xf量；如果 是无穷小量，且 ，那么 是

30、无穷大量.)(xf()0fxxf例 2 求极限 .12limx例 求极限 .)3(1.5 函数的连续性连续性是函数的重要性态之一，它反映了许多自然现象的一个共性例如气温的变化、动植物的生长、空气的流动等，都是随着时间在连续不断地变化着的.这些现象反映在数学上，这是函数的连续性.1.5.1 连续函数的概念1函数的增量设函数 在点 的某邻域内有定义，当自变量 从 (称为初值)变化到)(xfy0 x0(称为终值)时，终值与初值之差 称为自变量的增量(或改变量)，记为x10x.10相应地，函数的终值 与初值 之差()ff称为函数的增量，记为1000()fffx.)(0xfxfy容易理解，增量可以是正值

31、，可以是负值，也可以是零.例 1 设 ，求适合下列条件的自变的增量 和函数的增量 ：231y y（1） 从 变到 时；（2） 从 变到 时；（3） 从 变到 时.x.51.51x2函数 在点 的连续性)(f0函数 在点 连续，反映到图形上即为曲线在 的左右近旁是连绵不断的，如0x（图 126）所示，给自变量一个增量 ，对应就有函数的增量 ，且当 趋于 时，xy0的绝对值将无限变小y xyO0xy()f图 126定义 1.10 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果在 点自变量的增量)(xfy0 0x趋于 时，相应函数的增量 也趋于 ，即 ，那么，称函数 在x0y00limyx )(xfy点 连续

32、例 2 利用定义证明函数 在点 处连续12x令 ，则当 时， ，同时 时，x0 0 0()yfx于是，函数 在点 处连续可描述成下面的定义.()fxf)(fy定义 1.11 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果当 时，函数0x的极限存在，且等于 在 点的函数值 ，即 ，那么，f f0x)(0f )(lim0ffx称函数 在点 处连续.)(xfy0由定义可以看出，函数 在点 处连续，必须同时满足如下条件：)(fy0(1) 函数 在点 处必须有定义；fx(2) 函数 在点 处必须有极限；)(0(3) 函数 在点 处的极限值必须等于它在点 处的函数值，即fy 0x.)(lim00fxf函数 在点 处

33、连续和函数 当 时有极限的区别.函数 在点处()fx0() ()fx连续能保证 存在，同时还能保证 在点 有定义，并且极限值为函数值0limf0.反之，仅当 存在时， 在点 处不一定连续，甚至 在 处可0(f0()xfxf0能没有定义，所以，函数 在 时有极限，是 在点 处连续和必要条件.0()fx0如果 ，则称函数 在点 处左连续.0lixff()f0如果 ，则称函数 在点 处右连续.0()xx函数 在点 处连续的充分必要条件是 在点 处既左连续又右连续.f ()f0x3函数 在区间的连续性)(如果函数 在区间 内的任一点都连续，那么称函数 在区间xfy(, )ab )(xfy内连续此时，函

34、数 叫做区间 内的连续函数，区间 叫做(, )abxfy(, )ab, ab的连续区间.xfy如果函数 在闭区间 上有定义，在区间 内连续，且在区间的左)(f, (, )端点 处右连续，即 ，在区间的右端点 左连续，即 ，lim()xaflim()xbf那么称函数 在闭区间 上连续.fy, b1.5.2 函数的间断点如果函数 在点 处不连续，那么称函数 在点 处间断，点 称)(xfy0 )(xfy00x为函数 的间断点由函数连续的定义可知，函数在 点间断有下列几种情况：0x(1) 函数 在点 处没有定义；)(f0(2) 不存在；lim0x(3) 虽然 存在，但 .f )(lim00xffx即在

35、点 处出现上述一种或几种情况时，点 是函数 的间断点0 f例 3 判断函数 在点 处连续性.xf1)(例 4 判断函数 在点 处的连续性2,0,x例 5 判断函数 在点 处的连续性.4,()3fxx21.5.3 初等函数的连续性1基本初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内都是连续的.例如指数函数 且 在定义域 内是连续的对数函数 (0xya1)(, )且 在定义域 内是连续的 .log (0ayx1)(, 2连续函数的和、差、积、商的 连续性可以证明，连续函数经过四则运算仍然是连续函数，即若函数 、 在点)(xfg处连续，则 、 、 、 （ ）在点0x()fxg()fxg()fxg 0处都是

36、连续的 .3复合函数的连续性如果函数 在点 处连续，而函数 在对应点 处连续，那()ux0 )(ufy0()x么复合函数 在点 处也是连续的即yf.000lim()li()()xxfffx上式说明，求复合函数的极限时，函数记号与极限记号可以交换运算次序，也可以直接代入求值例 6 求极限 .4lisn2x例 7 求极限 .10li()xx4初等函数的连续性根据以上所述，可以得出：一切初等函数在其定义区间内都是连续的对于初等函数 ，当 是其定义域内的点时，就有 ，即求()yf0x00lim()xfx连续函数的极限时只需把 直接代入函数式求出函数值即可 .例 8 求极限 .21lim3x例 9 求极

37、限 .例 10 求极限 .2linsx1.5.4 闭区间上连续函数的性质1最大值和最小值性质闭区间上的连续函数，一定取得最大值和最小值如图 127 所示，函数 在闭区间 上连续，那么至少存在一点)(xfy, ab，使得函数 在点 处取得最大值即对于任意的 ，都有1, xab1 , xab；()fx又至少存在一点 ，使得函数 在点 处取得最小值即对于任意2, xaby2的 ，都有, .2()ffxO1x(yfx2ba图 1272介值性质如果函数 在闭区间 上连续， 和 分别是函数 在)(xfy, abMm)(xfy上的最大值和最小值，那么对于任意介于 和 之间的常数 ，至少存在一点, ab c，使得 .()c特别地，如果函数 在闭区间 上连续，且函数在两端点的函数值)(f, 与 异号，那么至少存在一点 ，使得 .ff ()ab0)(f由图 128 可以看出，曲线 连续地从负值 变到正值 ，必定要与xfya()fb轴相交(至少相交一次)，交点的横坐标 、 、 处的就是性质中的 x 123xO1()f3ba2图 128例 11 证明方程 在 内至少有一个根.30x(2, )