1、函数与极限第一章 函数与极限教学目的：1、 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、 掌握基本初等函数的性质及其图形。5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、 掌握极限的性质及四则运算法则。7、 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9、 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续） ，会
2、判别函数间断点的类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） ，并会应用这些性质。教学重点：1、 复合函数及分段函数的概念；2、 基本初等函数的性质及其图形；3、 极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、 两个重要极限；5、 无穷小及无穷小的比较；6、 函数连续性及初等函数的连续性；7、 区间上连续函数的性质。教学难点：1、 分段函数的建立与性质；2、 左极限与右极限概念及应用；3、 极限存在的两个准则的应用；4、 间断点及其分类；5、 闭区间上连续函数性质的应用。1. 1 映射与函数一、 集合定义 1. 具有某种特定性质
3、的事物的总体称为集合。组成集合的事物称为元素。不含任何元素的集合称为空集，记作。元素 a 属于集合 M ,记作元素 a 不属于集合 M ,记作（或） 。注: M 为数集。表示法：(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 。例:有限集合自然数集(2) 描述法：例:整数集有理数集 p 与 q 互质实数集开区间 闭区间 半开区间 ；无限区间 ；点的 d 邻域去心 d 邻域其中, a 称为邻域中心, d 称为邻域半径.左 d 邻域： 右 d 邻域：2. 集合之间的关系及运算定义 2 . 设有集合若必有则称 A 是 B 的子集 ,或称 B 包含 A ,记作。若且则称 A 与 B 相等,记作。例如:
4、；。显然有下列关系 :；定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:并集。交集。余集直积特例: 记为为平面上的全体点集。二、 映射1. 映射的概念 引例 1. 某校学生的集合 按一定规则查号 学号的集合某班学生的集合 按一定规则入座 某教室座位的集合引例 2.,引例 3. (点集)(点集)向 y 轴投影,定义 4. 设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f 使得有唯一确定的有唯一确定的与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的映射记作元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像,记作元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像。集合 X 称为映射 f 的定义域;Y 的子集称为
5、f 的值域。注意: 1) 映射的三要素-定义域,对应规则,值域。2) 元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一. 对映射若则称 f 为满射; 若有则称 f 为单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射或一一映射. 例 1.例 2.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射)例 3. 如图所示：则有(满射)说明: 映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用名称. 例如, X ( ? ) Y (数集) f 称为 X 上的泛函X ( ? ) X f 称为 X 上的变换 X (数集 或点集 ) R f 称为定义在 X 上的为函数2. 逆映射与复合映射(1)
6、 逆映射的定义定义: 若映射为单射,则存在一新映射使其中称此映射为 f 的逆映射 .习惯上,的逆映射记成例如, 映射其逆映射为(2) 复合映射复合映射：D定义. 设有映射链则当时,由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复合映射 , 记作或注意:构成复合映射的条件不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.三、函数1. 函数的概念 定义 4.设数集则称映射为定义在 D 上的函数,记为f ( D )称为值域. 函数图形:定义域-使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.对应规律的表示方法: 解析法、图象法、列表法.例如, 反正弦主值定义域值域又如, 绝对值函数定义域,值域.例 4. 已知函数求及并写出定
7、义域及值域 .解: ；时函数无定义定义域值域2. 函数的几种特性设函数且有区间(1) 有界性使称为有界函数.使称在 I 上有界. 说明:还可定义有上界、有下界、无界(见上册 P11 )(2) 单调性时,称为 I 上的单调增函数 ;称为 I 上的单调减函数 .(3) 奇偶性且有若则称 f (x) 为偶函数;若则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若在 x = 0 有定义,则当为奇函数时,必有例如, 双曲余弦 偶函数又如, 双曲正弦 奇函数再如, 双曲正切 奇函数(4) 周期性且若则称为周期函数,称 l 为周期(一般指最小正周期).注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数 狄里克雷函
8、数 3. 反函数与复合函数(1) 反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射 称此映射为 f 的反函数 .习惯上, 的反函数记成性质: 1) yf (x)单调递增(减)其反函数且也单调递增(减) .2) 函数与其反函数的图形关于直线对称 .例如, 指数函数 对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.(2) 复合函数 复合映射的特例 设有函数链（）（）称为由(1)(2)确定的复合函数, u 称为中间变量. 注意:构成复合函数的条件不可少. 例如, 函数链: 可定义复合函数 .但函数链不能构成复合函数 .两个以上函数也可构成复合函数. 例如, ,可定义复合函数:4. 初等函数(1)
9、基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数;否则称为非初等函数. 例如,可表示为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .非初等函数举例:符号函数 取整函数 当.例 5. 求的反函数及其定义域.解: 当时, 则当时, 则当时, 则反函数 定义域为内容小结1. 集合及映射的概念2. 函数的定义及函数的二要素：定义域，对应规律3. 函数的特性有界性, 单调性，奇偶性, 周期性4. 初等函数的结构1. 2 数列的极限一 、数列极限的定义引例. 设有半径为 r 的
10、圆用其内接正 n 边形的面积逼近圆面积 S .如图所示,可知 当 n 无限增大时,无限逼近 S (刘徽割圆术) , 数学语言描述:当 n N 时,总有极限的精确定义:定义 如果数列xn与常 a 有下列关系:对于任意给定的正数? ?不论它多么小?, 总存在正整数 N , 使得对于 n N 时的一切 xn, 不等式|xn-a | N 时,就有故 .二、收敛数列的性质定理 1(极限的唯一性) 数列xn不能收敛于两个不同的极限.证:用反证法. 假设及且取因故存在 N1 ,使当 n N1 时,有 从而同理,因，故存在 N2 ,使当 n N2 时,有从而则当 n N 时,满足的不等式矛盾.故假设不真！因此
11、收敛数列的极限必唯一。例 4. 证明数列是发散的.证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限 a 存在.取则存在 N ,使当 n N 时,有.但因交替取值 1 与1,而此二数不可能同时落在长度 1 的开区间内, 因此该数列发散.定理 2(收敛数列的有界性) 如果数列xn收敛, 那么数列xn一定有界.证:设取则当时,有从而有取则有由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,数列虽有界但不收敛。定理 3（收敛数列的保号性）若且时,有证:对 a 0 ,取推论:若数列从某项起(用反证法证)定理 4 (收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于 a, 那么它的任一子数列也收敛, 且极
12、限也是 a .证:设数列是数列的任一子数列 若则当时, 有 现取正整数 K , 使于是当时, 有从而有由此证明说明:由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则原数列一定发散。例如:发散!.三、极限存在准则夹逼准则;单调有界准则;柯西审敛准则 .1. 夹逼准则 (准则 1)若成立,则.证: 由条件 (2) ,当时, 当时,令则当时,有由条件 (1) 即故例 5. 证明证: 利用夹逼准则.由于且;2. 单调有界数列必有极限 (准则 2)例 6.设证明数列极限存在. 证: 利用二项式公式,有比较可知又又根据准则 2 可知数列有极限.记此极限为 e ,即e 为无理数 , 其值为 3. 柯西极
13、限存在准则(柯西审敛原理)数列极限存在的充要条件是:存在正整数 N , 使当时, 有证: “必要性“.设则使当时,有 因此 “充分性“ 证明从略.内容小结1. 数列极限的“ e - N “定义及应用.2. 收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限.3. 极限存在准则:夹逼准则; 单调有界准则; 柯西准则1. 3 函数的极限自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 时函数极限的定义引例：测量正方形面积. (真值:边长为面积为 A )直接观测值 边长 确定直接观测值精度 d : 间接观测值 面积 任给精度 e , 要求定义 1 .设函数在点的某去心邻域
14、内有定义,若当时, 有则称常数 A 为函数当时的极限,记作：或即当时, 有函数极限的几何意义:例 1. 证明证: 故对任意的当时,总有因此 例 2. 证明证: 欲使只要取当时,必有 因此例 3.证明证: 故取当时,必有因此例 4.证明:当时证: 欲使只要且（而可用保证）故取则当时, 必有因此2. 保号性定理定理若且 A 0(A 0(A 0,总存在(正数 X),使对一切满足不等式的 x ,总有.(1)则称函数当时为无穷大, 记作若在定义中将 (1)式改为则记作注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数;但.所以时,不是无穷大!例.证明
15、证:任给正数 M ,要使即只要取则对满足的一切 x ,有所以说明:若则直线为曲线的铅直渐近线.三、无穷小与无穷大的关系定理 2.在自变量的同一变化过程中,若为无穷大, 则为无穷小 ;若为无穷小,且则为无穷大 ;说明: 据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.内容小结1. 无穷小与无穷大的定义.2. 无穷小与函数极限的关系.3. 无穷小与无穷大的关系.1. 5 极限运算法则一、无穷小运算法则定理 1.有限个无穷小的和还是无穷小 .证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当时,有因此 这说明当时,为无穷小量.类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小. 说明:无限个无穷小之和不一定是无穷
16、小!例如：定理 2 .有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论 1 .常数与无穷小的乘积是无穷小.推论 2 .有限个无穷小的乘积是无穷小.例 1. 求解:, 利用定理 2 可知说明: y = 0 是的渐近线 .二、极限的四则运算法则定理 3 若则有证:因则有(其中为无穷小) 于是由定理可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理 , 知定理结论成立.推论:若且则提示:令，利用保号性定理证明.说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .定理 4 .若则有提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理 2 证明.说明: 定理 4 可推广到有限
17、个函数相乘的情形.推论 1 . ( C 为常数)推论 2 . ( n 为正整数)例 2 设 n 次多项式试证证:定理 5 .若且 B0 ,则有证: 因有其中为无穷小设 因此为无穷小, 由极限与无穷小关系定理,得定理 6 若则有提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理 3、4、5直接得出结论 .例 3.设有分式函数其中都是多项式,若 试证: 证: 说明:若不能直接用商的运算法则.例 4 例 5 求解: x = 1 时,分母 = 0 ,分子0 ,但因 =0例 6 求解:时,分母分子分子分母同除以则原式一般有如下结果：为非负常数)=三、复合函数的极限运算法则定理 7.设且 x 满足时,又则有
18、.证: 当时, 有对上述当时,有取则当时故因此结论成立.定理 7.设且 x 满足时,又则有说明: 若定理中则类似可得例 7 求解: 令则 原式=例 8 求解: 方法 1令则方法 2内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为 0 )时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂(2)复合函数极限求法设中间变量1. 6 极限存在准则及两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则定理 1. 有定义,有有定义,有为确定起见,仅讨论的情形.定理 1. 有定义, 且有证：设即当
19、有有定义,且对上述 d ,当时, 有于是当时故可用反证法证明. 说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法 1 找一个数列且不存在 .法 2 找两个趋于的不同数列及使 例 1. 证明不存在 .证:取两个趋于 0 的数列及 有; 由定理 1 知不存在.2. 函数极限存在的夹逼准则定理 2.且当时，且(利用定理 1 及数列的夹逼准则可证)二、两个重要极限 证:当时AOB 的面积圆扇形 AOB 的面积AOD 的面积即 故有显然有 注:当时，例 2 求解: 原式=1例 3 求解:令则因此原式例 4.求解:原式=例 5 已知圆内接正 n 边形面积为 证明:证: 说明:计算中注意利用2. 证:当时, 设则当
20、时,令则从而有故说明:此极限也可写为例 6. 求解:令则=说明:若利用则原式例 7. 求解:原式=内容小结1. 函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在 法 1 找一个数列且使不存在。法 2 找两个趋于的不同数列及使。(2) 数列极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则2. 两个重要极限(1)(2)或1. 7 无穷小的比较引例 都是无穷小, 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的. 定义 是自变量同一变化过程中的无穷小,若则称 b 是比 a 高阶的无穷小,记作;若则称 b 是比 a 低阶的无穷小;若则称 b 是 a 的同阶无穷小;若则称 b 是关于 a 的 k 阶无穷小
21、;若则称 b 是 a 的等价无穷小,记作或.例如 当时;；又如 故时是关于 x 的二阶无穷小,且.例 1. 证明:当时,证:。定理 1 证:即即例如 故定理 2 设且存在,则证:=例如 说明: 设对同一变化过程,a、b 为无穷小,由等价无穷小的性质,可得简化某些极限运算的下述规则. (1)和差取大规则:若 b = o(a) ,例如 (2)和差代替规则: 例如 (3)因式代替规则:例如 例 1 求解:原式例 2. 求解:;内容小结1. 无穷小的比较设 a , b 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且b 是 a 的高阶无穷小b 是 a 的低阶无穷小b 是 a 的同阶无穷小b 是 a 的等价无穷小b
22、 是 a 的 k 阶无穷小常用等价无穷小2. 等价无穷小替换定理1. 8 函数的连续性与间断点一、函数连续性的定义定义:设函数在的某邻域内有定义,且则称函数可见,函数在点连续必须具备下列条件:(1)在点有定义,即存在;(2)极限存在;(3)若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续或称它为该区间上的连续函数 .在闭区间上的连续函数的集合记作例如 ( 有理整函数 )在上连续 .又如 有理分式函数在其定义域内连续.对增量有函数的增量函数在点连续有下列等价命题:当时, 有。例 证明函数在内连续.证:0即这说明在内连续 .同样可证:函数在内连续.二、函数的间断点设在点的某去心邻域内有定义,则下列情
23、形之一函数 f (x) 在点不连续;(1) 函数在无定义;(2) 函数在虽有定义, 但不存在;(3) 函数在虽有定义, 且存在,但。这样的点称为间断点 . 间断点分类:第一类间断点:及均存在 ,若称为可去间断点 .若称为跳跃间断点。第二类间断点:及中至少一个不存在若其中有一个为，称为无穷间断点。若其中有一个为振荡，称为振荡间断点。例如:为其无穷间断点 .为其振荡间断点 .为可去间断点 .(4)显然,为其可去间断点.(5)为其跳跃间断点.内容小结在点连续的等价形式在点间断的类型第一类间断点左右极限都存在； 第二类间断点左右极限至少有一个不存在。1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数
24、的运算法则定理 1 在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数.(利用极限的四则运算法则证明)例如 在其定义域内连续定理 2 连续单调递增（或递减）函数的反函数也连续单调递增（或递减） 。例如 在在1 , 1上也连续单调递增.又如 在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.定理 3 连续函数的复合函数是连续的.证:设函数且即于是 故复合函数 例如是由连续函数链复合而成,因此在上连续.例 1 设均在上连续,证明函数也在上连续.证: 根据连续函数运算法则,可知也在上连续 .二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续;连续函数经四则运算
25、仍连续；连续函数的复合函数连续;一切初等函数在定义区间内连续。例如 的连续区间为 (端点为单侧连续)的连续区间而的定义域为因此它无连续点.例 2 求解: 原式 例 3 求解: 令则原式 说明:当 时, 有;例 4 求解: 原式 说明:若则有例 5 设讨论复合函数的连续性 .解: 故此时连续;而 ； 故在点 x = 1 不连续 , x = 1 为第一类间断点。内容小结初等函数在定义区间内连续说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.1. 10 闭区间上连续函数的性质一、最值定理定理 1.在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值.设则使注意:若函数在开区间上连续,或在闭区间内有
26、间断点,结论不一定成立.例如 无最大值和最小值 又如 也无最大值和最小值 推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 证:设由定理 1 可知有上有界 .二、介值定理定理 2(零点定理) 且至少有一点 使定理 3(介值定理)设且则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有一点使证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即 推论:在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .例 1.证明方程在区间内至少有一个根 .证:显然又故据零点定理, 至少存在一点使即说明: 则内必有方程的根 ;取的中点则内必有方程的根 ; 可用此法求近似根.例 2.在上连续,且恒为正,证明:对任意必存在一点使证:令则当时,取或则有故由零点定理, 存在使即内容小结在上有界;在上达到最大值与最小值;在上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当时,必存在使高等数学教案 1 函数与极限龙岩学院高等数学课程建设组
