1、第 1 页 共 12 页平面几何培训专题-点共线，线共点问题1. 点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n(n4)点共线可转化为三点共线。例 1 如图，设线段 AB 的中点为 C，以 AC 和 CB 为对角线作平行四边形 AECD， BFCG。又作平行四边形 CFHD， CGKE。求证： H， C， K 三点共线。例 2 如图所示，菱形 ABCD 中， A=120， O 为 ABC 外接圆，M 为其上一点，连接 MC 交 AB 于 E， AM 交 CB 延长线于 F。求证： D， E， F 三点共线。 OAFD
2、MCBEA BCDEFHKG第 2 页 共 12 页例 3 四边形 ABCD 内接于圆，其边 AB 与 DC 的延长线交于点 P， AD与 BC 的延长线交于点 Q。由 Q 作该圆的两条切线 QE 和 QF，切点分别为 E， F。求证： P， E， F 三点共线。例 4 以圆 O 外一点 P，引圆的两条切线 PA， PB， A， B 为切点。割线 PCD 交圆 O 于 C， D。又由 B 作 CD 的平行线交圆 O 于 E。若F 为 CD 中点，求证： A， F， E 三点共线。CE()ABDPMQGAPBDFCOEG第 3 页 共 12 页2. 线共点的证明证明线共点可用有关定理(如三角形的
3、 3 条高线交于一点)，或证明第 3 条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。例 5 以 ABC 的两边 AB， AC 向外作正方形 ABDE， ACFG。 ABC 的高为 AH。求证： AH， BF， CD 交于一点。例 6 设 P 为 ABC 内一点， APB ACB= APC ABC。又设D， E 分别是 APB 及 APC 的内心。证明： AP， BD， CE 交于一点。MEDBHCFKGAABCTRSMNDEP第 4 页 共 12 页例 7 O1与 O2外切于 P 点， QR 为两圆的公切线，其中 Q， R 分别为 O1， O2上的切点，过 Q 且垂直于 QO2
4、的直线与过 R 且垂直于 RO1的直线交于点 I， IN 垂直于 O1O2，垂足为 N， IN 与QR 交于点 M。证明： PM， RO1， QO2三条直线交于一点。3. 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用定理 1 (塞瓦(Ceva)定理):设 P， Q， R 分别是 ABC 的 BC， CA， AB 边上的点。若AP， BQ， CR 相交于一点 M，则。1BAC证 如图，由三角形面积的性质，有, , .BMCASRAMCBSPAMBCSQO1O2NPIQRMAPMQ第 5 页 共 12 页以上三式相乘，得 .1RBAQCP定理 2 (定理 1 的逆定理): 设 P， Q， R 分别是 ABC 的
5、 BC， CA， AB 上的点。若，则 AP， BQ， CR 交于一点。1BAC证 如图，设 AP 与 BQ 交于 M，连 CM，交 AB 于 R。由定理 1 有 . 而 ，所以1BRAQCP1BAQCP.于是 R与 R 重合，故 AP， BQ， CR 交于一点。定理 3 (梅涅劳斯(Menelaus)定理): 一条不经过 ABC 任一顶点的直线和三角形三边 BC， CA， AB(或它们的延长线)分别交于 P， Q， R，则1BAC证 如图，由三角形面积的性质，有, , .BRPASCPRBSARPCSQARQBCP第 6 页 共 12 页将以上三式相乘，得 .1RBAQCP定理 4 (定理
6、3 的逆定理): 设 P， Q， R 分别是 ABC 的三边 BC， CA， AB 或它们延长线上的3 点。若，1RBAQCP则 P， Q， R 三点共线。定理 4 与定理 2 的证明方法类似。例 8 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分 BAD。在 CD 上取一点 E， BE 与 AC 相交于 F，延长 DF 交 BC 于 G。求证： GAC= EAC。证 如图，连接 BD 交 AC 于 H，过点 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I，过点 C 作 AD 的平行线交 AE 的延长线于 J。对 BCD 用塞瓦定理，可得 1EDHBGC因为 AH 是 BAD 的角平分线，由
7、角平分线定理知 。代入式得AD1ECABG因为 CI AB， CJ AD，则 ， 。BCIGJADE代入式得 .从而 CI=CJ。又由于1JADBI ACI=180 BAC=180 DAC= ACJ，HCADBGIJEF第 7 页 共 12 页所以 ACI ACJ，故 IAC= JAC，即 GAC= EAC.例 9 ABCD 是一个平行四边形， E 是 AB 上的一点， F 为 CD 上的一点。AF 交 ED 于 G， EC 交 FB 于 H。连接线段 GH 并延长交 AD 于L，交 BC 于 M。求证： DL=BM.例 10 在直线 l 的一侧画一个半圆 T， C， D 是 T 上的两点，
8、T 上过C 和 D 的切线分别交 l 于 B 和 A，半圆的圆心在线段 BA 上，E 是线段 AC 和 BD 的交点， F 是 l 上的点， EF 垂直 l。求证：EF 平分 CFD。例 11 如图，四边形 ABCD 内接于圆，AB， DC 延长线交于 E， AD、 BC 延长线交于 F， P 为圆上任意一点，GAEBJLDFCIMHDlABOF(H)ECPEBRCTAPSDF第 8 页 共 12 页PE， PF 分别交圆于 R， S. 若对角线 AC 与 BD 相交于 T. 求证： R， T， S 三点共线。先证两个引理。引理 1:A1B1C1D1E1F1为圆内接六边形，若 A1D1， B1
9、E1， C1F1交于一点，则有 .11如图，设 A1D1， B1E1， C1F1交于点 O，根据圆内接多边形的性质易知 OA1B1 OE1D1， OB1C1 OF1E1， OC1D1 OA1F1，从而有， ， .OEA11BF11OFDA11将上面三式相乘即得 ，11EC引理 2：圆内接六边形 A1B1C1D1E1F1，若满足 111A则其三条对角线 A1D1， B1E1， C1F1交于一点。BFAE1OCD111第 9 页 共 12 页该引理与定理 2 的证明方法类似，留给读者。例 11 之证明如图，连接 PD， AS， RC， BR， AP， SD.由 EBR EPA， FDS FPA，知
10、, .EPBARFDS两式相乘，得. DS又由 ECR EPD， FPD FAS，知 ， . 两EPCDRFAS式相乘，得FAEPCSR由，得 . 故DB. RE对 EAD 应用梅涅劳斯定理，有1CFDABE由，得.ABSR由引理 2 知 BD， RS， AC 交于一点，所以 R， T， S 三点共线。第 10 页 共 12 页练 习A 组1. 由矩形 ABCD 的外接圆上任意一点 M 向它的两对边引垂线 MQ 和MP，向另两边延长线引垂线 MR， MT。证明： PR 与 QT 垂直，且它们的交点在矩形的一条对角线上。2. 在 ABC 的 BC 边上任取一点 P，作 PD AC， PE AB，
11、 PD， PE 和以 AB， AC 为直径而在三角形外侧所作的半圆的交点分别为D， E。求证： D， A， E 三点共线。3. 一个圆和等腰三角形 ABC 的两腰相切，切点是 D， E，又和 ABC的外接圆相切于 F。求证： ABC 的内心 G 和 D， E 在一条直线上。第 11 页 共 12 页4. 设四边形 ABCD 为等腰梯形，把 ABC 绕点 C 旋转某一角度变成 ABC。证明：线段 AD, BC 和 BC 的中点在一条直线上。5. 四边形 ABCD 内接于圆 O，对角线 AC 与 BD 相交于 P。设三角形ABP， BCP， CDP 和 DAP 的外接圆圆心分别是 O1， O2，
12、O3， O4。求证： OP， O1O3， O2O4三直线交于一点。6. 求证：过圆内接四边形各边的中点向对边所作的 4 条垂线交于一点。7. ABC 为锐角三角形， AH 为 BC 边上的高，以 AH 为直径的圆分别交 AB， AC 于 M， N； M， N 与 A 不同。过 A 作直线 lA垂直于 MN。类似地作出直线 lB与 lC。证明：直线 lA， lB， lC共点。8. 以 ABC 的边 BC， CA， AB 向外作正方形， A1， B1， C1是正方形的边 BC， CA， AB 的对边的中点。求证：直线 AA1， BB1， CC1相交于一点。9. 过 ABC 的三边中点 D， E，
13、F 向内切圆引切线，设所引的切线分别与 EF， FD， DE 交于 I， L， M。求证： I， L， M 在一条直线上。第 12 页 共 12 页B 组10. 设 A1， B1， C1是直线 l1上的任意三点， A2， B2， C2是另一条直线 l2上的任意三点， A1B2和 B1A2交于 L， A1C2和 A2C1交于M， B1C2和 B2C1交于 N。求证： L， M， N 三点共线。11. 在 ABC， ABC中，连接 AA， BB， CC，使这 3 条直线交于一点 S。求证： AB 与 AB、BC 与 BC、 CA 与CA的交点 F， D， E 在同一条直线上(笛沙格定理)。12. 设圆内接六边形 ABCDEF 的对边延长线相交于三点 P， Q， R，则这三点在一条直线上(帕斯卡定理)。
