梅涅劳斯定理

1、第一章涅劳斯定理及应用【基础知识】梅涅劳斯定理 设 ， ， 分别是 的三边 ， ， 或其延长线上的点，若 ，ABCAB CABA， 三点共线，则 BC1 CB AABC ADCBDCB 图1A证明 如图 ，过 作直线 交 的延长线于 ，则1AD B， ，故CBADB1C注 此定理的证明还有如下正弦定理证法及面积证法正弦定理证法 设 ， ， ，在 中，有 ，同理，BA B AB AC sinB， ，此三式相乘即证sinCBAsin面积证法 由 ， ， ，此三ACBS CBABCABCASSS ACBS式相乘即证梅涅劳斯定理的逆定理 设 ， ， 分别是 的三边 ， ， 或其延长线上的点，若， 1BAC则 ， ， 三点共线证明 设直线 。

2、第 1 页 共 12 页平面几何培训专题-点共线，线共点问题1. 点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n(n4)点共线可转化为三点共线。例 1 如图，设线段 AB 的中点为 C，以 AC 和 CB 为对角线作平行四边形 AECD， BFCG。又作平行四边形 CFHD， CGKE。求证： H， C， K 三点共线。例 2 如图所示，菱形 ABCD 中， A=120， O 为 ABC 外接圆，M 为其上一点，连接 MC 交 AB 于 E， AM 交 CB 延长线于 F。求证： D， E， F 三点共线。 OAFDMCBEA BCDEFHKG第 2。

3、各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆),托勒密定理,托勒密定理的证明,广义托勒密定理,塞瓦定理,托勒密定理什么时候学,托勒密定理证明有几种,托勒密巨舰,托勒密地心说,西姆松定理。

4、2014 年东安一中高一直升班奥赛培训 陈雄武1第一讲：平面几何梅涅劳斯定理、塞瓦定理1背景： Menelaus 定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的 .2定理： 如果一直线顺次与三角形 ABC 的三边 BC、AC、AB 或其延长线交于D、E、F 三点，则 : .1BCA3说明： （1）不过顶点的直线与三角形3 边的关系有两种情况：若直线与三角形的一边交于内点，则必与第二边交于内点，与第三边交于外点（延长线上的点）；直线与三角形的三边均交于外点，因而本定理的图形有两个. （2）定理的结构是：三角形三边上6条被截线段的比，首尾相连，组。

5、 1 习题1 在 ABC 中， D 是 BC 的中点， 经过点 D 的直线交 AB 于点 E ，交 CA 的延长 线于点 F 求 证： FA EA FC EB = 【解析】 直线截 ABC 三边于 D 、 E 、 F 三点，应用梅氏定理，知 1 CD BE AF DB EA FC = ， 又因为 BD BC = ，所以 1 BE AF EA FC = ，即 FA EA FC EB = 习题2 如图， 在 ABC 中， 90 ACB = ， AC BC = AM 为 BC 边上的中线，CD AM 于点 D ， CD 的延长线交 AB 于点 E 求 AE EB 【解析】 由题设，在 Rt AMC 中， CD AM ， 2 AC CM = ， 由射影定理 2 2 4 AD AD AM AC DM DM AM CM = = = 对 ABM 和截线 EDC ，由梅涅劳。

6、第 1 页 共 9 页FED CBAPQAB CRPQAB CRPBAD C平面几何中的四个重要定理梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 P、Q 、R，则 P、Q、R 共线的充要条件是 。1RAQCPB塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）ABC 的三边 BC、CA、AB 上有点 P、Q 、R，则 AP、BQ、CR 共点的充要条件是 。1RAQCPB托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。第 2 页 共 9 页AB 。

7、梅涅劳斯定理： 1lABCABCABPPQR1R定 理 ： 若 直 线 不 经 过 的 顶 点 ， 并 且 与 的 三 边 、 、 或 它 们 的 延 长线 分 别 交 于 、 、 ， 则 1ABCCBAhlh证 ： 设 、 、 分 别 是 、 、 到 直 线 的 垂线 的 长 度 ， 则 ：注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件； 1/KEACKEADFDBFC例 ： 若 直 角 中 ， 是 斜 边 上 的 高 ， 是 的 平分 线 ， 点 在 上 ， 是 的 中 点 ， 是 与 的 交 点 ，证 明 ： 。 , 901BHHCABEPCKEPAFAKDEFDFPBKCACFB 证 ： 在 中 ， 作 的 平 分 线 则 ：即 ： 为 等 腰 三 角 形 作 上。

8、1平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理： 1BACBAhRQCPlh、 、注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件； 、 、 CE/BFCKDEFACDKAK11PRQ ABCABCl1、 、 CE/BFKBEKCPAKEFC1ADFECEPBCH90HBEB、 、21111 DBA:C:BADCBA DCK、 、注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；、 、11 11CBA ABCPCBAP.2、 、 、 、 、 、 、 、 RQRBABA,B, ,RRR 20CQPBA1BACRQ1P 、 、 、 PC20RQP2 1RBAQCBA 11B1、 1111111 CBACB 180PA,P,PAcosAP。

9、12.2.3 梅涅劳斯定理和塞瓦定理 讲义学生版 Page 1 of 9中考要求知识点 A要求 B要求 要求比例及定理 熟知定理内容掌握平行线分线段成比例定理的内容以及其推论，同时会运用定理解决问题会运用定理及其推论的内容来解决相似的问题知识点睛一、比例的基本性质1) 这一性质称为比例的基本性质 ,由它可推出许多比例形式;,acdbcb2) (反比定理);3) (或 )(更比定理);acbdcba4) (合比定理);d5) (分比定理);accbd6) (合分比定理);bd7) (等比定理 ).0)acmacmanbdnbdnb二、平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理如下图，如果 ，则 ， ，.1l 。

10、第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理一、 梅涅劳斯定理定理 1 若直线 l 不经过 的顶点，并且与 的三边 或它们的延长线分 、 、 别交于 ，则 、 、 =1证明：设 分别是 A、B 、C 到直线 l 的垂线的、 、 长度，则： 。=1注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件。例 1 若直角 中，CK 是斜边上的高，CE 是 的平分线，E 点在 AK 上，D 是 AC 的中点，F 是 DE 与 CK 的交点，证明： 。【解析】因为在 中，作 的平分线 BH，则： ，=， =+=+=90，即 ，所以 为等腰三角形，作 BC 上的高 EP，则： 。

11、 【第一课时】精选例题例题 1 在ABC 中，AG 是角平分线，D 是 BC 中点，DG AG交 AB 于 E，交 AC 延长线与 F，求证：BE=CF= )(2ACB例题 2 ABC 中， A 的外角平分线交 BC 延长线于点D，B 、C 的平分线交对边于 E、F，求证：D 、E、F 三点共线例题 3 梯形 ABCD 中，ABCD，AC、BD 交于点 E，BC 、AD 的延长线交于点 F,EF 分别交 AB、CD 于 N、M,求证：AN=NB 例题 4 过ABC 的重心 G 的直线分别交 AB、AC 于点 E、F，交CB 于点 D。求证： 1BECFA例题 5 已知点 D、E、F 分别在ABC 的 BC、CA、AB 边上，且 ，又 AD、BE 、CF 交成LMN，C求 的值LMNA。

12、第 1 页 共 2 页平面几何问题：1.梅涅劳斯定理 一直线分别截ABC 的边 BC、CA、AB（或其延长线）于 D、E、F，则 。1FBAEC背景简介：梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。证明：说明：（1）结论的图形应考虑直线与三角形三边交点的位置情况，因而本题图形应该有两个。（2）结论的结构是三角形三边上的 6 条线段的比，首尾相连，组成一个比值为 1 的等式。（3）梅氏定理及其逆定理不仅可以用来证明点共线问题，而且是解决许多比例线段问题的有力工具。用梅氏定理求某个比值的关键，在于恰当地选取梅氏三角形和梅氏。

13、 梅涅劳斯定理及应用定理：设 分别是 的边 或其延长线的点，则 三点ZYX,ABCAB, ZYX,共线的充要条件是：1ZYX例 1：在 中， 为 的中点， 为 上的点，且 ,OBCADOB21D，则 EDA相 交 于 点与 A_例 2：如图，过 的三个顶点 作它的外接圆的切线，分别和 的延ABCCBA, BAC,长线交于 ；求证： 三点共线RQP,RP,例 3：（1985 年第三届美国数学邀请赛）如图， 是 内一点，直线GABC将 分为 6 个小三角形，已知 的面积分别为CGBA,ADGF,40,30,35，求 的面积例 4： (1983 年全国高中数学联赛）在四边形 ABCD 中，的面积之比是 ，点 M,N 分别在 AC,CD 上，满。

14、板块一 梅涅劳斯定理及其逆定理知识导航梅涅劳斯定理：如果一条直线与 的三边 、 、 或其延长线交于 、 、 点，ABC BCAFDE那么 这条直线叫 的梅氏线， 叫梅氏三角形1AFBDCE GFEDCBA GFEDCBAH3H2H1FEDCBA证法一：如左图，过 作 CGF ，FEA 1BBD证法二：如中图，过 作 交 的延长线于 DFG ， ，FGCECA三式相乘即得： 1BB证法三：如右图，分别过 作 的垂线，分别交于 、 、 23H、 、则有 ，123AH 所以 3121CAHFDCEB梅涅劳斯定理的逆定理：若 、 、 分别是 的三边 、 、 或其延长线的三B ABC点，如果 ，则 、 、 三点共线FEAFDE梅涅劳斯定理与塞。

15、梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线交于F、D、E 点，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 或：设 X、Y、Z 分别在ABC 的 BC、CA、AB 所在直线上，则 X、Y、Z 共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。展开定理的证明证明：当直线交ABC 的 AB、BC、CA 的反向延长线于点 D、E、F 时，(AD/DB)*(BE/EC )*(CF/FA)=1逆定理证明：证明：X、Y、Z 分别在ABC 的 BC、CA、AB 所在直线上，则 X、Y、Z 共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*。

16、1梅涅劳斯定理及其应用（姓名）摘要：使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆 定 理 还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平 面 几 何 学以及射 影 几 何学 中的一项基本定理，具有重要的作用。本文简单介绍了梅捏劳斯定理及其应用。关键词：共线、共点、应用一、 梅涅劳斯定理1定理 设 分别是 的 边或其延长线上的点，且有奇数个,XYZABC,AB点在边的延长线上，则 三点共线的充要条件是, 1XYZ2定理的证明证明 1：不妨设 中的一点 在边,XYZ的延长线上（如图所示） 。若 三点AC,共线，过 引 交 于 ，。

17、梅涅劳斯（Menelaus）定理,初等几何研究,课题引入,几何主要研究平面几何图形和空间几何图形的度量性质及位置关系。,研究问题，先简单后复杂，对于三点，我们研究平面图形中边数最少的封闭图形三角形中三点共线的问题.,对于给定的三点或四点,更多的点的位置关系是什么情况呢？,梅涅劳斯（ Menelaus ）定理,X,Y,Z,说明：本节出现的比值都是指有向线段的比,或,证明：（必要性）,D,从而,（充分性）,设直线XY与AB相交于点Z，由上述定理有：,Z,又已知,说明：,在证明的过程中，假设了点Z的存在，若Z不存在,则XYAB，,X,Y,我们称XY交AB于AB上的无穷。

18、梅涅劳斯定理【定理内容】如果一条直线与 的三边 、 、 或其延长线交于 、 、 点，ABCBCAFDE那么 .1EDF评等价叙述： 的三边 、 、 或其延长线上有三点 、ABCBCAF、 ，则 、 、 三点共线的充要条件是 。三点所在直线DEFE1EACDBF称为三角形的梅氏线。【背景简介】梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。【证法欣赏】证法 1：（平行线分线段成比例）证：如图，过 作 交 延长线于 ，ABCG/FG ， ， ，/DAE又 CDBDEFAB CFEDCBAGDEFAB CGFEDCBA中学数学中的著名定理 1 则 1CDBAGBECFA 1D证法 2：（正弦定理）证：如图，令。