1、板块一 梅涅劳斯定理及其逆定理知识导航梅涅劳斯定理：如果一条直线与 的三边 、 、 或其延长线交于 、 、 点，ABC BCAFDE那么 这条直线叫 的梅氏线， 叫梅氏三角形1AFBDCE GFEDCBA GFEDCBAH3H2H1FEDCBA证法一：如左图，过 作 CGF ，FEA 1BBD证法二：如中图，过 作 交 的延长线于 DFG ， ，FGCECA三式相乘即得： 1BB证法三：如右图，分别过 作 的垂线，分别交于 、 、 23H、 、则有 ，123AH 所以 3121CAHFDCEB梅涅劳斯定理的逆定理：若 、 、 分别是 的三边 、 、 或其延长线的三B ABC点，如果 ，则 、
2、、 三点共线FEAFDE梅涅劳斯定理与塞瓦定理梅涅劳斯定理与塞瓦定理夯实基础【例 1】 如图，在 中， 为中线，过点 任作一直线交 于点 ，交 于点 ，ABC DCABFADE求证： :2:EFECDBFA【解析】 直线 是 的梅氏线，FECA 而 ， ，即 1DB12C1AEBF2AEFDB习题 1. 在 中， 是 的中点，经过点 的直线交 于点 ，交 的延长线于点C求证： FEEFB D CA【解析】 直线截 三边于 、 、 三点，应用梅氏定理，知 ，又因为ABC DEF1DBEAFC，所以 ，即 D1AC习题 2. 如图，在 中， ， 为 边上的中线，90BBM于点 ， 的延长线交 于点
3、 求 CAMDEADE BMCA【解析】 由题设，在 中， ， ，RtMC 2C由射影定理 24AD对 和截线 ，由梅涅劳斯定理， ，即 B E1ABMDE214AEB所以 2探索提升【例 2】 如图，在 中， 为 中点， ，求证： ABC DABEFC:5:32BMNDNMDCFEBA【解析】 直线 是 的梅氏线，AECD 1BM ，2直线 是 的梅氏线，AF ，1BNDC ， 24B :5:32M习题 3. 如图，在 中， 为 的中点， 求 AC D:4:31AEFD:AGHBCEFDBHGA【解析】 是 的梅氏线，HFCAD 1B 为 的中点， ，:4:31EF ， 27A ， 1HB2
4、HB 是 的梅氏线，GECD ，A ， 21B12GB :3:4H 9【例 3】 过 的重心 的直线分别交 、 于点 、 ，交 的延长线于点 AC ACEFCBD求证： 1BEFDGFECBAMDGFECBA【解析】 作直线 交 于 ，AGCM ， :1:2 EB 12ED A同理， ，2CFM而 BDB2()2DBM 212BECFDMA【例 4】 如图，点 、 分别在 的边 、 上， ， ， 与ABC ABAEB23DCB交于点 ， 求 EF40S EFDS FDECBA【解析】 对 和截线 ，由梅氏定理得： ，即 ，ECA FD1EABD321EF所以 所以 ，13148BEBCABCS
5、S 进而 21405AEFDAFS 习题 4. 如图，在 中，三个三角形面积分别为 5，8，10四边形 的面积为 ，求C AEFDx的值x x10 85F DECBA【解析】 对 和截线 ，由梅氏定理得： ，即 ，解ECA FD1ABEDF82315x得 2x【备选】如图， 被通过它的三个顶点与一个内点 的三条直线分为 6 个小三角形，B O其中三个小三角形的面积如图所示，求 的面积C 3540 30OFECDBA【解析】 对 和截线 ，由梅氏定理得： ，即 ，所以ABD COF1CA4132C，所以 所以 32BCD3B31053ABCABDS 非常挑战【例 5】 如图， 在 中， 的外角平
6、分线与边 的延长线交于点 ， 的平分线与ABC BCPB边 交于点 ， 的平分线与边 交于点 ，求证： 、 、 三点共线QARQRPCBQRA【解析】 是 的外角平分线，则APCB是 的平分线，则QA是 的平分线，则CRB得 1PQACARB因 在 上， 在 上， 在 的延长线上，PB则根据梅涅劳斯定理的逆定理得： 、 、 三点共线QR习题 5. 证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点FEDCBAPFEDCBA【解析】 如图， 分别为三角形 的三个外角平分线，分别交 于CBEAF、 、 ABABC、 、 、过 作 的平行线，则 ，CPDCP所以 是等腰三角形则 P则有
7、： EAB同理 ； DCFA所以 1BC所以 共线E、 、板块二 塞瓦定理及其逆定理知识导航塞瓦定理：如果 的三个顶点与一点 的连线 、 、 交对边或其延长线于点 、ABC PABPCD、 ，如图，那么 通常称点 为 的塞瓦点EF1DEFPF ED CBA证明： 直线 、 分别是 、 的梅氏线，FPCEA ， 1BDA1CP两式相乘即可得： FB塞瓦定理的逆定理：如果点 、 、 分别在 的边 、 、 上或其延长线上，EA BCA并且 ，那么 、 、 相交于一点（或平行） 1BDCEAFDCF PF ED CBAFED CBA证明： 若 与 相交于一点 时，如图，作直线 交 于 AECPABF由
8、塞瓦定理得： ，1AF又已知 ， ，CB B ， AF 与 重合 与 重合 、 、 相交于一点DBEC 若 与 所在直线不相交，则 ，如图AADBE ，又已知 ，1EF ，即 1FEB ， /CADC 说明：三线平行的情况在实际题目中很少见探索提升【例 6】 （1）设 是 的三条中线，求证： 三线共点AXBYCZ， ， AB AXBYCZ， ， Z YX CBA（2）若 为 的三条内角平分线求证： 三线共AXYCZ， ， A AXBYCZ， ，点Z YX CBA【解析】 （1）由条件知， ，BXCYAZ， ， 1BAZY根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线 共点， ，这个点称为这个三角形的重心（2
9、）由三角形内角平分线定理得： BXCCBAZ， ，三式分别相乘，得： 1YAZC根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线 共点，XY， ，这个点称为这个三角形的内心习题 6. 若 分别为锐角 的三条高线，求证： 三线共点AXBYZ， ， AB ABCZ， ， Z YX CBA【解析】 由 得： ；由 得： ；ABXCZ XACYZA YB由 可得： 所以 Y 1CBA根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线 共点， ，对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点我们把一个三角形三条高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心【例 7】 如图， 为 内的一点， 与 交于点 ， 与 交于点 ，若MAB
10、C BMACEMABF通过 的中点 ，求证： ADEF FDEMCBA【解析】 对 和点 应用塞瓦定理可得： 又因为 ，所以ABC M1AFEBDC进而 ，所以 1FEAFEC习题 7. 如果梯形 的两腰 、 的延长线交于 ，两条对角线交于 求证：直线ABCDBCMN必平分梯形的两底MNBQANCPDM【解析】 ABCD M 1 （由塞瓦定理得）AQBDC ，1 ， PABP板块三 梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合非常挑战【备选】如图， 、 分别为 的 、 边上的点，且 ， ，EFABC 3AEC3BFA、 交于点 ， 的延长线交 于点 求 的值BCPD:PAB CDEFP【解析】 为 的塞瓦点PABC 13FDE ， 990 为 的梅氏线，PBA 13CEPD 103【备选】如图，四边形 的对边 和 ， 和 分别相交于点 ，对角线 与ABDCABLK， AC交于点 直线 与 、 分别交于点 BMKLFG、求证： FGLF GLK MDCBA【解析】 对 与点 应用塞瓦定理得： DKL B1DAKC对 和截线 应用梅涅劳斯定理可得： ACG1LD进而可得 FL
