1、1梅涅劳斯定理及其应用（姓名）摘要：使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆 定 理 还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平 面 几 何 学以及射 影 几 何学 中的一项基本定理，具有重要的作用。本文简单介绍了梅捏劳斯定理及其应用。关键词：共线、共点、应用一、 梅涅劳斯定理1定理 设 分别是 的 边或其延长线上的点，且有奇数个,XYZABC,AB点在边的延长线上，则 三点共线的充要条件是, 1XYZ2定理的证明证明 1：不妨设 中的一点 在边,XYZ的延长线上（如图所示） 。若 三点AC,共线，过 引 交 于 ，则 /DAB,XCZY故 .1BADB反之，若
2、成立，设直线 与ZXCYZX的延长线交于 ，即 ， ， 三点共线，则由上面的证明有 与AXY 1BXCYAZ比较，1BZY可得 ，即 与 重合，故 三点共线。CAY ,YZ若 三点均在边的延长线上，上面的证明仍然适用。,XYZ注：“ 三点中有奇数个点在边的延长线上”这一条件十分必要，否则梅捏劳斯,2定理不成立证明 2：（正弦定理）如图，令 ， ， ，AEFBDE在 中，由正弦定理知： ，AEFsiniAEF同理 ，si)180sin(i BDBiiC ， ， ，iAEFisinE ，即 .1CDB1ACBF3、梅涅劳斯定理的逆定理梅涅劳斯定理的逆定理也成立，即如果有三点 、 、 分别在 的三边
3、 、FDEABC、 或其延长线上，且满足 ，那么 、 、 三点共线。BCA1EACBF注：DEFAB CFEDCBA利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线DEFAB CFEDCBA3二、 梅涅劳斯定理的应用梅涅劳斯定理的应用定理 1 若 的 的外角平分线交边 延长线于 ，ABCBCP的平分线交边 于 ， 的平分线交边 于 ，则 、 、 三点共线。BACQRPQR证明：由三角形内、外角平分线定理知， ， ， ，PBCAR则 ，1CAQBRA故 、 、 三点共线。P梅涅劳斯定理的应用定理 2 过任意 的三个顶点 、 、 作它的外接圆的ABCABC切线，分别和 、 、 的延长线交于点 、 、 ，则
4、、 、 三点共线。BCAPQRPR证明： 是 的切线，RO ，A ，CB则 ，2)(R同理： ，2AP2)(AQ ，1)()(222 BCCBR故 、 、 三点共线。P例 1 已知：过 顶点 的直线，与边 及中线 分别交于点 和 .ABCABDFE求证： .FED2证明：直线 截 ，D由梅涅劳斯定理，得： 1ACBFPQRCBAQRPOCBAEDAB CF4又 ，CDB2 ，1EAF则例 2 已知：过 重心 的直线分别交边 、 及 延长线于点 、 、BCGABCEF.求证： .D1FAE证明：连接 并延长交 于 ，M则 ，MB 截 ，G由梅氏定理得， ；1DBGAE同理： CFA ， ，MEB
5、AF 12)( MDCG即 1FA例 3 ABCD 是一个平行四边形，E 是 AB 上的一点，F 为 CD 上的一点。AF 交ED 于 G，EC 交 FB 于 H。连接线段 GH 并延长交 AD 于 L，交 BC 于 M。求证：DL=BM.证明：如图，设直线 LM 与 BA 的延长线交于点 J，与 DC 的延长线交于点 I。在ECD 与FAB 中分别使用梅涅劳斯定理，得， 1ECID.JABHFG因为 AB/CD，所以， .D从而 ，即 ，故JABICICJCI=AJ. 而，LAIJM且 BM+MC=BC=AD=AL+LD. 所以 BM=DL。GAEBLDFCIMHDFGMAB CE5例 4 若三角形 ABC 的 的外角平分线交边 延长线于 ， 的平分线交边ABCPB于 ， 的平分线交边 于 ，则ACQBR三点共线。,PR证明：由三角形内、外角平分线定理知，则 ,BACQABR1,ARPC故 三点共线。,Q通过对梅涅劳斯定理及其应用的简单介绍，我们可以看出，梅涅劳斯定理的应用是十分广泛的，所以我们要牢记梅涅劳斯定理、及其定理的证明，还要掌握好其定理的应用。
