1、第 1 页 (共 9 页)103170965d58d0e4b7c4e7d71f4e456d.pdf2001 年普通高等数学招生全国统一考试（全国）理 科 数 学参考公式：三角函数的积化和差公式： 1sincosin()si()2cscs()cos()1in2正棱台、圆台的侧面积公式其中 、 分别表示上、下底1()2Scl台 侧 c面周长， 表示斜高或母线长球的体积公式： ，其中 表示球的34Vr球 R半径第卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若 ，则 在sinco0A第一、二象限 B第一、三象
2、限 C第一、四象限 D第二、四象限2过点 ， 且圆心在直线 上的圆的标准方程是(,1)(,)20xyA B2234xy2(3)(1)4yC D()() 2x3设 是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是naA1 B2 C4 D64若定义在区间 内的函数 满足 ，则 的取值范围是(,0)2()log(1)afx()0fxaA B C D,21,5极坐标方程 的图形是sin()4A B C DOx1O x1O x1Ox1第 2 页 (共 9 页)103170965d58d0e4b7c4e7d71f4e456d.pdf6函数 的反函数是cos1(0)yxA Bar2xar
3、cos(1)02)yxC Dcs()y 7若椭圆经过原点，且焦点为 ， ，则其离心率为1(,0F2(3,)A B C D3431148若 ， ， ，则0sincoasincobA B C Dabb12a9在正三棱柱 中，若 ，则 与 所成的角的大小为1CA2BA1BA60 B90 C105 D7510设 ， 都是单调函数，有如下四个命题：()fxg若 单调递增， 单调递增，则 单调递增；()x()fxg若 单调递增， 单调递减，则 单调递增；()fx若 单调递减， 单调递增，则 单调递减；()gx()fx若 单调递减， 单调递减，则 单调递减()fx g其中，正确的命题是A B C D11一间
4、民房的屋顶有如图三种不同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜记三种盖法屋顶面积分别为 ， ， 若屋顶斜面与水平面所成的角都是 ，则1P23 A B C D3221P321P321P 第 3 页 (共 9 页)103170965d58d0e4b7c4e7d71f4e456d.pdf12如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点 向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，B则单位时间内传递的最大信息量为A26 B 24 C20 D19第卷（非选择题共 90 分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上二
5、、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 20 分，把答案填在题中横线上13若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的侧面积是 314双曲线 的两个焦点为 ， ，点 在双曲线上若 ，则 点到2196xy1F2P12PF的距离为 15设数列 是公比为 的等比数列， 是它的前 项和若 是等差数列，则 naqnSnSq16圆周上有 个等分点 ，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 (1)三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分 10 分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥中， ， 面 ，SABCD90SABCD， 12
6、（1）求四棱锥 的体积；S（2）求面 与面 所成的二面角的正切值18 （本小题满分 12 分）已知复数 31()zi（1）求 及 ；1argz|BA3 47686 121265SA DCB第 4 页 (共 9 页)103170965d58d0e4b7c4e7d71f4e456d.pdf（2）当复数 满足 ，求 的最大值z|11|z19 （本小题满分 12 分）设抛物线 的焦点为 ，经过 的直线交抛物线于 ，2(0)ypxFA两点，点 在抛物线的准线上，且 轴证明：直线 经过原点 BCBCACO20 （本小题满分 12 分）已知 ， ， 是正整数，且 imn1imn（1）证明： ；iimnP（2
7、）证明： ()(1)21 （本小题满分 12 分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 本年度当15地旅游业收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后旅游业收入每年会比上年增加 14（1）设 年内（本年度为第一年）总投入为 万元，旅游业总收入为 万元写出 ， 的nnanbnab表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？22 （本小题满分 12 分）设 是定义在 上的偶函数，其图像关于直线 对称，对任意()fxR1x，都有 12,0,x1212()ffx（1）求
8、 及 ；()f4f（2）证明 是周期函数；x（3）记 ，求 1(2)naflim(n)a第 5 页 (共 9 页)103170965d58d0e4b7c4e7d71f4e456d.pdf数 学 试 题 参 考 答 案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13 14 15 16三、解答题17数学试题 (理工农医类)参考答案及评分标准一选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分(1)B (2)C (3)B (4)A (5)C(6)A (7)C (8)A (
9、9)B (10)C(11)D (12)D二填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分满分 16 分(13)2 (14) (15)1 (16)2n(n1)516三解答题(17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力满分 12分解：(I)直角梯形 ABCD 的面积是M 底面 = ( BC+AD)AB 2 分2143125.0四棱推 S-ABCD 的体积是4 分33VSA底 面(II)延长 BA、CD 相交于点 E，连结 SE，则 SE 是所求二面角的棱 6 分ADBC，BC=2AD EA=AB=SA，SESBSA面 ABCD，得面 ASB面 ESC，EB 是交线，又
10、 BCEB， BC面 SEB，故 SB 是 CS 在面 SEB 上的射影，CS SE，所以BSC 是所求二面角的平面角 10 分2 2,1, BCSBABCStgS第 6 页 (共 9 页)103170965d58d0e4b7c4e7d71f4e456d.pdf即所求二面角的正切值为 12 分2(18)本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力满分 12 分2311 1122211:()|()377,(cosin),|244()cosin(si)|()(s)99sin,|44IziizarczIz iz 解 分将 化 成 三 角 形 式 得设 则 分当 时 取 最 大 值
11、 从 而 得 1|2112z 到 的 最 大 值 为 分(19)本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力满分 12分证明一：因为抛物线 y2=2pc(p0)的焦点为 F( )，所以经过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x=my+0,2p 2p代人抛物线方程得 y2-2pcmy-p2=0若记 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1，y 2 是该方程的两个根，所以y1y2= -p2因为 BCx 轴，且点 C 在准线 x=- 上，所以点 C 的坐标为(- ，y 2)，故直线 CO 的斜率为 12xypyk即 k 也是直线 OA 的斜率，所以直线 AC 经过
12、原点 O证明二：如图，记 x 轴与抛物线准线 l 的交点为 E，过 A 作 ADl，D 是垂足则 ADFE BC 2 分连结 AC，与 EF 相交手点 N，则 |,CBFNAFADCB根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=| BC| 8 分|,| BFAEN即点 N 是 EF 的中点，与抛物线的顶点 O 重合，所以直线 AC 经过原点 O 12 分(20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力满分 12 分第 7 页 (共 9 页)103170965d58d0e4b7c4e7d71f4e456d.pdf():1,(1),1,4,2, 6imi im n
13、iiiinmnmIipp pknki p 证 明 对 于 有 同 理 分由 于 对 整 数 有 所 以 即 分 00220010():(1),(1), 10!(). .,0()nimiiiiii nnmmmii iiniinmnmnmiiI CCPPCiC 证 明 由 二 项 式 定 理 有由 知 而 分所 以 因 此又 0.()1).1i m 即 分(21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力满分 12 分解(I)第 1 年投入为 800 万元第 2 年投入为 800(1- )万元，第 n 年投入为5800(1- )n-1 万元.5
14、所以，n 年的总收入为 111 480()80()80()0();3555nknka 分第 1 年旅游业收入为 400 万元，第 2 年旅游业收入为 400 (1+ )万元，第 n 年4旅游业收人为 400(1+ )n-1 万元所以，n 年内的旅游业总收入为4111 440(40()40()60()1;65nknn kb 分(11)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此第 8 页 (共 9 页)103170965d58d0e4b7c4e7d71f4e456d.pdf2444016()10()05()2()7095554(),7,1,55nnnnnnbaxxx n 即 化 简 得
15、分设 代 入 上 式 解 此 不 等 式 得 舍 去 即 由 此 得答：至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入 12 分(22)本小题主要考查函数的概念、图象，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力，满分 14 分121212 21124():,0,()(),()()0,1.1(,)(,344)0,).6xIxfxfxfffxffaa 解 因 为 都 有 所 以 分分 分是 它 的 一 个 周 期且上 的 周 期 函 数是这 表 明 得代 换以将 上 式 中 的是 偶 函 数 知又 由 分即故 对 称关 于 直 线依 题 意证 明 10.2,)(,2,)()( ,)(8,2)1() ,1(:( Rxfff RxffxRfffyI第 9 页 (共 9 页)103170965d58d0e4b7c4e7d71f4e456d.pdf分因 此 分的 一 个 周 期 是知由解 140)ln21(lim)(lni ,222)(,1,)2( ,)21()()1()2()2)21(1.,0)(:)( 12 aaffxanf nffnffff nfnxII n
