2015山东高考数学(理)试题及答案.doc

1、- 1 -绝密启用前2015 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第卷和第卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 3. 第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案

2、，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件 A,B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B).第卷（共 50 分）一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题- 2 -给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1） 已知集合 A=X|X-4X+30,b0）的渐近线与抛物线 C2：21xyabX2=2py(p0)交于 O，若OAB 的垂心为 C2的焦点，则 C1的离心率为 三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分。（16） （本小题满分

3、12 分）设 f（x）= 2（x+ ）.sincosx4（）求 f（x）的单调区间；- 5 -（）在锐角ABC 中，角 A,B,C,的对边分别为 a,b,c,若 f（ ）2A=0,a=1,求ABC 面积的最大值。(17)(本小题满分 12 分)如图，在三棱台 DEF-ABC 中，AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点。（）求证：BC/平面 FGH；（）若 CF平面 ABC，ABBC，CF=DE, BAC= ,求平面 FGH 与045平面 ACFD 所成的角（锐角）的大小.（18） （本小题满分 12 分）设数列 的前 n 项和为 .已知 2 = +3.nanSn3（I）求 的通项公式

4、；（II）若数列 满足 ，求 的前 n 项和 .nb23lognanbnT（19） （本小题满分 12 分）若 是一个三位正整数，且 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 为“三位递增数” （如n137,359,567 等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得 分；若能被1- 6 -10 整除，得 1 分.（I）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ；（II）若甲参加活动，求甲得分 的分布列

5、和数学期望 .XEX（20） （本小题满分 13 分）平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率为 ，左、右焦点分别是 .以 为圆心以 3 为半径的圆与以 为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 上.()求椭圆 的方程；（）设椭圆 为椭圆 上任意一点，过点 的直线 交椭圆 于 两点，射线 交椭圆 于点 .( i )求 的值；（ii）求 面积的最大值.(21)(本小题满分 14 分)设函数 ，其中 。2(=+1(-)fxInxR（）讨论函数 极值点的个数，并说明理由；)f（）若 0， 成立，求 的取值范围。0- 7 -2015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学试题参考答案一、

6、 选择题（1）C （ 2）A （3 ）C （4）D （5 ）A（6）B （7）C （8）B （9）D (10)C二、填空题（11） （12）1 （13） （14） （15）14n 163232三、解答题（16）解：（）由题意1cos(2)()sin2xfxi1six由 kk22Z可得 x44由 kk232Z- 8 -得 kxk434Z所以 的单调递增区间是 （ ）)(f 4,kZ单调递减区间是 （ ）,k（II） 11()sin0sin22Af A由题意 A 是锐角，所以 3co由余弦定理： Abas22213bcc可 得，且当 时成立2b3sin4bcA面积最大值为BC2（17 ）（）证法一

7、：连接 ，设 ，连接DG， OFH在三棱台 中，ABCE， 为 的中点，2可得 ,F，/所以 四边形 为平行四边形，则 为 的中点，O又 为 的中点，H所以 ,BD/又 平面 平面 ，GFGH所以 平面 F证法二：在三棱台 中，ACE由 , 为 的中点，2H可得 ,B/- 9 -所以四边形 为平行四边形，BHFE可得 ,/在 中， 为 的中点， 为 的中点，ACGHBC所以 ,又 ,所以平面 平面 ,/AED因为 平面 ,BDE所以 平面 。/F（II）解法一：设 ,则 ,2A1C在三棱台 中，为 的中点，G由 ,DF可得 四边形 为平行四边形，因此 ,C/又 平面 ，AB所以 平面 ，G在

8、中，由 ， ， 是 中点，45ACGA所以 ,，因此 两两垂直，DCB,以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，Gxyz所以 )10(),2()0,2()0( ， D可得 ,， FH故 ，)0,2(),2(， GG设 是平面 的一个法向量，则,zyxnF由 可得0H02zyx可得 平面 的一个法向量 ，FG)2,1(n因为 是平面 的一个法向量，BACD0,GB（ ， ）所以 cos, 2|BnABCEFGHxyz- 10 -所以平面 与平面 所成角（锐角）的大小为FGHACD60解法二：作 与点 ，作 与点 ，连接MGFNNH由 平面 ,得 ,CB又 ,所以 平面 ，HAD因此 ,G

9、F所以 即为所求的角，N在 中， ,BC21,/BGMH由 ,可得 ,GF从而 ,6N由 平面 ， 平面 ，HMACDNACFD得 ，因此 ,3tan所以 ,60所以 平面 与平面 所成角（锐角）的大小为 。FG60（18）解：（I）因为 ，32nS所以 ，故 ，1a1a当 时， ，nn此时 ，即 ，1113232nnnS2na所以 ,32an（II）因为 ，所以 ，lognb31b当 时， ，1nnn12)(lABCDEFGMN- 11 -所以 ；311bT，)31(321(322 nnn 所以 )(0 n两式相减，得)33(22210nnTnn22(，n361所以 nT42经检验， 也适合

10、，综上可得 nn361（19 ）解：（I）个位数是 5 的“三位递增数”有125，135 ，145，235，245，345；（II）由题意知，全部“三位递增数”的个数为 ，8439C随机变量 是取值为：0，-1,1，因此X，32)(98CP14)(392，XP所以 的分布列为0 -1 1P3242则 114)(320EX（20）- 12 -解：（I）由题意知 ，则 ，42a2又 ，,3bcc可得 1b所以椭圆 的方程为C142yx（II）由（I）知椭圆 的方程为E62（i）设 ,由题意知 ，|),(0OPQyx ),(0yx因为 1420又 ， 即 )(6)(2020yx1)4(20yx所以

11、，即 |OPQ（ii）设 ，),(),(21yxBA将 代入椭圆 的方程，mkyE可得 ，01648)4(22kx由 ，可得 0则有 22121 4,4kmxkx所以 2216| 因为 直线 与 轴交点的坐标为 ，mkxyy),0(m所以 的面积OAB|212xS24|6k- 13 -241)6(km22)(令 tkm241将 代入椭圆 的方程，xyC可得 ，048)(22mkx由 ，可得 01由可知 ，t因此 ，tS42)4(故 ，32当且仅当 时，即 时取得最大值 ，1t 221km32由（i）知， 面积为 ，ABQS3所以 面积的最大值为 .6（21）解：（）由题意知 函数 的定义域为

12、，)(xf),1(，21)( axaxf令 ，),(,2g（1）当 时， ，0a1)(xg此时 ，函数 在 单调递增，无极值点；ff),(（2）当 时， ，8982aa- 14 -当 时， ， ,980a0)(xg，函数 在 单调递增，无极值点；)(xff,1当 时， ，设方程 的两根为 ，012ax)(,21x因为 ，1所以 ，4,2x由 ，可得 ，0)(g41x所以 当 时， ，函数 单调递增；),1x0)(,)(fg)(xf当 时， ，函数 单调递减；(2x当 时， ，函数 单调递增；)x)(,)(f)(xf因此 函数有两个极值点。（3）当 时， ，0a由 ，可得 ，1)(g1x当 时，

13、 ，函数 单调递增；,2x0)(,)(fg)(xf当 时， ，函数 单调递减；)(x所以函数有一个极值点。综上所述：当 时，函数 有一个极值点；0a)(xf当 时，函数 无极值点；98当 时，函数 有两个极值点。)(xf（II）由（I）知，（1）当 时，函数 在 上单调递增，980a)(f),0因为 ，)(f所以 时， ，符合题意；,x)(xf- 15 -（2）当 时，由 ，得 ，198a0)(g2x所以 函数 在 上单调递增，xf,又 ，所以 时， ，符合题意；0)(f )(0)(xf（3）当 时，由 ，可得 ，1a)g2所以 时，函数 单调递减；2(,x)(xf因为 ，0)f所以 时， ，

14、不合题意；,(2x0)(f（4）当 时，设 ，a)1lnxh因为 时，),0(x 0(x所以 在 上单调递增。因此 当 时， ，),(x()hx即 ，1ln可得 ，xaxaxf )1()()(22当 时， ，0此时 ，不合题意，0)(xf综上所述， 的取值范围是a1,2015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学试题参考答案- 16 -一、 选择题（1）C （ 2）A （3 ）C （4）D （5 ）A（6）B （7）C （8）B （9）D (10)C二、填空题（11） （12）1 （13） （14） （15）14n 163232三、解答题（16）解：（）由题意1cos(2)()si

15、n2xfxi1six由 kk22Z可得 x44由 kk232Z得 x44所以 的单调递增区间是 （ ）)(f 4,kZ单调递减区间是 （ ）3,k（II） 11()sin0sin22Af A由题意 A 是锐角，所以 3co- 17 -由余弦定理： Abcaos22213bc可 得，且当 时成立2cb3sin4bcA面积最大值为BC2（17 ）（）证法一：连接 ，设 ，连接DG， OFH在三棱台 中，ABCE， 为 的中点，2可得 ,F，/所以 四边形 为平行四边形，则 为 的中点，O又 为 的中点，H所以 ,BD/又 平面 平面 ，GFGH所以 平面 F证法二：在三棱台 中，ACE由 , 为

16、的中点，2H可得 ,B/所以四边形 为平行四边形，F可得 ,/在 中， 为 的中点， 为 的中点，ACGBC所以 ,H又 ,所以平面 平面 ,/HAED因为 平面 ,BDE所以 平面 。/F（II）解法一：设 ,则 ,2A1CABCEFGHxyz- 18 -在三棱台 中，ABCDEF为 的中点，G由 ,21可得 四边形 为平行四边形，因此 ,/又 平面 ，FCAB所以 平面 ，DG在 中，由 ， ， 是 中点，C45AGAC所以 ,，因此 两两垂直，B,以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，Gxyz所以 )10(),2()0,2()0( ， DC可得 ,， FH故 ，)0,2(),2

17、(， GG设 是平面 的一个法向量，则,zyxnF由 可得0H02zyx可得 平面 的一个法向量 ，FG)2,1(n因为 是平面 的一个法向量，BACD0,GB（ ， ）所以 cos, 2|Bn所以平面 与平面 所成角（锐角）的大小为FGH60解法二：作 与点 ，作 与点 ，连接ACMGFNNH由 平面 ,得 ,BC又 ,所以 平面 ，HD因此 ,GFABCDEFGMN- 19 -所以 即为所求的角，MNH在 中， ,BGC21,/BG由 ,F可得 ,从而 ,6MN由 平面 ， 平面 ，HACFDNACFD得 ，因此 ,3tan所以 ,60所以 平面 与平面 所成角（锐角）的大小为 。G60（

18、18）解：（I）因为 ，32nS所以 ，故 ，1a1a当 时， ，nn此时 ，即 ，1113232nnnS2na所以 ,32an（II）因为 ，所以 ，lognb31b当 时， ，1nnn12)(l所以 ；3T，)31(321(3221 nnnbb 所以 )(0 n两式相减，得)33(22210nnT- 20 -nn223)1(31，n6所以 nT3412经检验， 也适合，综上可得 nn6（19 ）解：（I）个位数是 5 的“三位递增数”有125，135 ，145，235，245，345；（II）由题意知，全部“三位递增数”的个数为 ，8439C随机变量 是取值为：0，-1,1，因此X，32)

19、(98CP14)(392，XP所以 的分布列为0 -1 1P3242则 114)(320EX（20）解：（I）由题意知 ，则 ，2a2又 ，,3bcc可得 1b所以椭圆 的方程为C142yx- 21 -（II）由（I）知椭圆 的方程为E1462yx（i）设 ,由题意知 ，|),(0OPQyx ),(0yx因为 1420又 ， 即 )(6)(2020yx1)4(20yx所以 ，即|OPQ（ii）设 ，),(),(21yxBA将 代入椭圆 的方程，mkyE可得 ，01648)4(22kx由 ，可得 0则有 22121 4,4kmxkx所以 2216| 因为 直线 与 轴交点的坐标为 ，mkxyy)

20、,0(m所以 的面积OAB|212xS24|6k21)(m224)4(k令 tkm241- 22 -将 代入椭圆 的方程，mkxyC可得 ，048)41(22kx由 ，可得 01由可知 ，t因此 ，tS42)4(故 ，32当且仅当 时，即 时取得最大值 ，1t 221km32由（i）知， 面积为 ，ABQS3所以 面积的最大值为 .6（21）解：（）由题意知 函数 的定义域为 ，)(xf),1(，21)( axaxf令 ，),(,2g（1）当 时， ，0a1)(xg此时 ，函数 在 单调递增，无极值点；ff),(（2）当 时， ，8982aa当 时， ， ,90a0)(xg，函数 在 单调递增

21、，无极值点；)(xff,1当 时， ，8设方程 的两根为 ，012ax)(,21x因为 ，1- 23 -所以 ，41,21x由 ，可得 ，0)(g41x所以 当 时， ，函数 单调递增；),1x0)(,)(fg)(xf当 时， ，函数 单调递减；(2x当 时， ，函数 单调递增；)x)(,)(f)(xf因此 函数有两个极值点。（3）当 时， ，0a由 ，可得 ，1)(g1x当 时， ，函数 单调递增；,2x0)(,)(fg)(xf当 时， ，函数 单调递减；)(x所以函数有一个极值点。综上所述：当 时，函数 有一个极值点；0a)(xf当 时，函数 无极值点；98当 时，函数 有两个极值点。)(

22、xf（II）由（I）知，（1）当 时，函数 在 上单调递增，980a)(f),0因为 ，)(f所以 时， ，符合题意；,x)(xf（2）当 时，由 ，得 ，198a0g2所以 函数 在 上单调递增，)(xf),又 ，所以 时， ，符合题意；0f(0)(xf（3）当 时，由 ，可得 ，1a)g2所以 时，函数 单调递减；2(,x)(xf因为 ，0)f- 24 -所以 时， ，不合题意；),0(2x0)(f（4）当 时，设 ，a)1lnxh因为 时，),(x 0(x所以 在 上单调递增。0因此 当 时， ，),(x()hx即 ，1ln可得 ，xaxaxf )1()()(22当 时， ，0此时 ，不合题意，0)(xf综上所述， 的取值范围是a1,