1、第 1 页 (共 15 页) d59c71622f164678777125f92b098db4.pdf2009 年普通高等数学招生全国统一考试（全国）理 科 数 学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分参考公式：如果事件 、 互斥，那么 球是表面积公式AB)()(PP 24RS如果事件 、 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径球的体积公式)()(如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 A 34V次独立重复试验中恰好发生 次的概率： 其中 R 表示球的半径nk()(1)knnPCP第卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的
2、四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 02iA B C D4i24i24i24i2设集合 ， ，则 |3x1|0xABA B C D(,4)(2,)(4,)3已知 中， ，则 C12cot5AcosA B C D1235131234曲线 在点 处的切线方程为xy(1,)A B 2020xyC D 5xy455已知正四棱柱 中， ， 为 中点，则异面直线 与1BDAC1AE1BE第 2 页 (共 15 页) d59c71622f164678777125f92b098db4.pdf所成的角的余弦值为1CDA B C D015310356已知向量 ， ， ，则 (2,)a0b|52a|bA B C
3、5 D2.5517设 ， ， ，则3log2l33logcA B C Dabcabacbca8若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数tn()(04yx6的图像重合，则 的最小值为t()6yxA B C D1113129已知直线 与抛物线 相交于 、 两点， 为 的焦点若(2)0ykx2:8yxABFC，则 |2|FA B C D133232310甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有A6 种 B 12 种 C30 种 D36 种11已知双曲线 的右焦点为 ，过 且斜率为 的直线交 于:C21(0,)xyabF3C、 两点，若 ，则
4、的离心率为B4FA B C D6575859512纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是A南 B北 C西 D下上 东第 3 页 (共 15 页) d59c71622f164678777125f92b098db4.pdf第卷（非选择题共 90 分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上13 的展开式中 的系数为 ()xy3xy14设等差数列 的前 项和为 若 ，则 nanS53a95S15设 是球 的
5、半径， 是 的中点，过 且与 成 45角的平面截球 的表面得OAMOAOAO到圆 ，若圆 的面积等于 ，则球 的表面积等于 C7416已知 、 为圆 的两条相互垂直的弦，垂足为 ，则四边形BD2:xy(1,2)M的面积的最大值为 A三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分 10 分）设 的内角 、 、 的对边长分别为 、 、 ，ABCBCabc， ，求 3cos()cs2ACbac18 （本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 中， ， 、 分别为 、1AADE1A的中点， 平面 1BDE1B（1）证明： ；AC（2）设二面角 为 6
6、0，求 与平面 所1CB成的角的大小19 （本小题满分 12 分）设数列 的前 和为 ，已知 ， nanS1a142nSa（1）设 ，证明数列 是等比数列；12nnbab（2）求数列 的通项公式A1 C1B1CD EAB第 4 页 (共 15 页) d59c71622f164678777125f92b098db4.pdf20 （本小题满分 12 分）某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，其中有 3 名女工人现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3 名工人进行技术考核（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有 1
7、 名女工人的概率；（3）记 表示抽取的 3 名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望21 （本小题满分 12 分）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 的:C21(0)xyab3F直线 与 相交于 、 两点，当 的斜率为 1 时，坐标原点 到 的距离为 lCABl Ol2（1）求 、 的值；ab（2） 上是否存在点 ，使得当 绕 转到某一位置时，有 成立？若存在，求PlFPAB出所有的 的坐标与 的方程；若不存在，说明理由l22 （本小题满分 12 分）设函数 有两个极值点 ， ，且 2()ln(1)fxax1x212x（1）求 的取值范围，并讨论 的单调性；a（2）证明： 21ln()4fx数
8、学 试 题 参 考 答 案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B D B C C A D D C A B二、填空题本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧136 149 15 1658三、解答题17解：由 及3cos()cs2C()，s()A 3ocsins(cossin)2ACAC第 5 页 (共 15 页) d59c71622f164678777125f92b098db4.pdf，又由 及正弦定理得3sin4AC2bac，故2isnB3i4B 或 （舍去）3sii2于是 或又由 知 或2bacbc 3B2009
9、 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第 I 卷 1 至 2 页第 II 卷 3 至4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回满分 150 分，考试用时 120 分钟第 I 卷（选择题，共 60 分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码，2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选题其它答案标号，在试卷上答案无效参考公式： 如果事件互斥，
10、那么 球的表面积公式PAB 2=4SR如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径 、球的体积公式如果事件 在一次试验中发生的概率是 , Ap34VR那么 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径nAk10,12.nkkPCpn第 6 页 (共 15 页) d59c71622f164678777125f92b098db4.pdf本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的一选择题：1. 10i2-A. B. C. D. +4-24i2+4i2-4i解：原式 .故选 A.i()-22. 设集合 ，则 =1|3,|04x
11、AxBABA. B. C. D. ,2,14.解： . .故选 B.1|0|(1)40|44xBxx (3,)AB3. 已知 中， ， 则AC2cot5cosAA. B. C. D. 12313513123解：已知 中， ， .Bct(,)2故选 D.22cos 1351tan1()A4.曲线 在点 处的切线方程为2xy,A. B. C. D. 020xy450xy450xy解： ,11122|()()xxx故切线方程为 ,即 故选 B.)y0y5. 已知正四棱柱 中， 为 中点，则异面直线 与 所1ABCD12AB， E1ABE1CD成的角的余弦值为A. B. C. D. 1053035第
12、7 页 (共 15 页) d59c71622f164678777125f92b098db4.pdf解：令 则 ,连 异面直线 与 所成的角即1AB21ABCD1BE1CD1AB与 所成的角在 中由余弦定理易得 故选 CE1E130cosA6. 已知向量 ，则2,0,|52aba|bA. B. C. D. 51 25解： 故选 C2220|0|A|57. 设 ，则323log,l,logabcA. B. C. D. cabbacbca解： 322lllc.故选 A.233ogog8. 若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数tan04yx6的图像重合，则 的最小值为tan6yxA B. C
13、. D. 1141312解： 6tantan(ta)646nyxyxx 向 右 平 移 个 单 位，14()62kkZ又 .故选 Dmin09. 已知直线 与抛物线 相交0ykx2:8Cyx于 两点， 为 的焦点，若 ，则AB、 FC|FABkA. B. C. D. 13232第 8 页 (共 15 页) d59c71622f164678777125f92b098db4.pdf解：设抛物线 的准线为 直线 恒过定点 P .如2:8Cyx:2lx20ykx2,0图过 分 别作 于 , 于 , 由 ,则 ,点 BAB、 MBNl|FAB|MN为 AP 的中点.连结 ,则 , 点 的横坐标为 , 故
14、点 的坐标O1|2A|O1为 , 故选 D20(1,)1()3k10. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种解：用间接法即可. 种. 故选 C2440C11. 已知双曲线 的右焦点为 ,过 且斜率为 的直线交 于21,xyab： F3C两点，若 ,则 的离心率为AB、 4FBA B. C. D. 657589解：设双曲线 的右准线为 ,过 分 21xyCab： lAB、别作 于 , 于 , ,AMlBNlDM于由直线 AB 的斜率为 ,知直线 AB 的倾斜角为3,16060|2DA
15、由双曲线的第二定义有|(|)AMBNFBe.1|(|)2又 故选 A15643|2Fee12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“ ”的面的方位是A. 南 B. 北 C. 西 D. 下解：展、折问题易判断选 B第 9 页 (共 15 页) d59c71622f164678777125f92b098db4.pdf第 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡上13. 的展开式中 的系数为 6 xy3xy解： ，只需求 展开式中的
16、含 项的系数：424()4()xyxy246C14. 设等差数列 的前 项和为 ，若 则 9 .nanS53a95S解： 为等差数列，n95315.设 是球 的半径， 是 的中点，过 且与 成 45角的平面截球 的表面得到OAMOAOAO圆 若圆 的面积等于 ，则球 的表面积等于 .C748解：设球半径为 ，圆 的半径为 ，Rr2274r,得由因为 由 得 .故球 的表面积24O22217()84RR2O等于 .816. 已知 为圆 : 的两条相互垂直的弦，垂足为 ,则四边形ACBD、 O24xy1M的面积的最大值为 解：设圆心 到 的距离分别为 ,则 .、 12d、 2213dO+四边形 的
17、面积AB 2211|(4)8()52SABCd-三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 10 分）设 的内角 、 、 的对边长分别为 、 、 ， ，Cabc3os()cs2ACB，求 2bacB分析：由 ，易想到先将 代入3os()cs2AB()B得 然后利用两角和与差的余弦公式展开得cs()cC3()cos()2CA第 10 页 (共 15 页) d59c71622f164678777125f92b098db4.pdf；又由 ，利用正弦定理进行边角互化，得 ，进而得3sin4AC2bac 2sinisnBAC.故 大部分考生做到这里
18、忽略了检验，事实上，当 时，由i2B或 3，进而得 ，矛盾，应舍去1cos()23cos()cs()21AC也可利用若 则 从而舍去 不过这种方法学生不易想到2bacb或 2B评析：本小题考生得分易，但得满分难18（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 中， 、 分别1ABC,ACDE为 、 的中点， 平面1ADE1（I）证明： （II）设二面角 为 60，求 与平面 所成的1B角的大小（I）分析一：连结 BE， 为直三棱柱， 1ABC190,C为 的中点， 又 平面 ，E1ED（射影相等的两条斜线段相等）而 平面 ，BDAB（相等的斜线段的射影相等） A分析二：取 的中点 ，证四边形 为平行四边形，进而证 ，CFAFDE，得 也可ABC分析三：利用空间向量的方法具体解法略（II）分析一：求 与平面 所成的线面角，只需求点 到面 的距离即可1D1BC作 于 ，连 ，则 ， 为二面角 的平面角，AGGA.不妨设 ，则 .在 中，由60C23A2,4RTD，易得 .DB6设点 到面 的距离为 ， 与平面1h1BC所成的角为 利用C，可求得 ，又133BBCDSES23
