组合数学22

1、第四章 母函数,组合数学, 母函数又称发生函数或生成函数，它是解决计数问题的一个重要工具。 母函数的类型较多，这里仅讨论最常见的两种类型的母函数： 1. 普通母函数 2. 指数母函数 ,4.1母函数的基本概念,下面，我们分别进行讨论。,称函数为序列(a0,a1,an,)的普通母函数。,一、普通母函数,定义4.1,给定一个无穷序列(a0,a1,an,)(简记为an，下同)，, 必须注意的是，在定义4.1中，普通母函数是一个无穷级数，没有必要去讨论它的收敛性，实质上它只是引进一个表示序列的记号而已。,此时变量x只是一种形式变元。对这种级数可以把它看成形式幂。

2、高等工程数学,2,组 合 数 学,主 讲： 张 劼Email: jiezhangbupt.edu.cnTel. : 13161632568,3,高等工程数学,组合数学：组合数学就是按照一定的规则来安排一些离散个体的有关问题。组合计数，组合设计，组合优化，组合几何学近世代数：代数系统图论：优化,组 合 数 学,5,课程简介,相关课程,使用教材,数学分析高等代数离散数学图论 密码学 数论,书名：组合数学（第4 版）作者：卢开澄 卢华明出版社：清华大学出版社,Enumerative Combinatorics Volume 1Richard P. StanleyCambridge University Press,参考教材,本课程针对计算机科学中的一个。

3、组合数学,湖南师范大学 罗迅,排列,集合中有n个元素，从该集合中有顺序的无重复取r个，称之为排列。 P(n,r) = n! / (n-r)!有顺序的有重复 nr有顺序无重复的环形排列 P(n,r) / r,组合,n元素的集合，取出r个元素，不考虑秩序，称之为组合 C(n,r) = n! / (n-r)! / r!也记作帕斯卡递推： C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r),题目列表,POJ1496 POJ1850 hdu1465，错排问题，基本题,最简单的表述,一般表述,DeMorgan定理,容斥原理,容斥原理递归实现,dfs(int idx,set S,int sym) ans += num(S) * sym; for(int i=idx;in;+i) dfs(I,S交Ai,-sym)for(int i。

4、数论、组合数学、具体数学,李 寅,Euclidean algorithm,Gcd( a , b ) = gcd( b*(a/b)+(a%b) , b ) = gcd( b , a%b ) = ,Extended Euclidean algorithm,The iterative method,The recursive method,The iterative method,Recursive method,Miller Rabbin,BASIS: ap mod p = aThat is , a(p-1) mod p = 1TOOLS: power_product,Cycle detection,Rho,How to calculate :,HASH?,Floyds cycle-finding algorithm,The key insight in the algorithm is that, whenever i 0 is a。

5、The class is begin !,一、无重组合,定理1 对于,有,推论1,注：由此可得杨辉三角形或Pascal三角形,推论2（Pascal),两腰上各数都是1, 内部每个数是肩上两数之和,杨 辉 三 角 形,1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 7。

6、一、引言中国是最早研究排列组合的国家。周易就被认为是世界上最早讨论排列组合的书，其中的八卦和六十四卦阵，就属于重复排列问题。我国的洛书有“幻方”的最早记载，幻方是组合数学中构造问题之例，据说“河图”就是一种幻方。历史走着曲折的道路。一些历史悠久的学科，在经历了漫长的不被人们重视的岁月之后，又会重新焕发出青春的活力。组合数学的历史就是如此。它同算术、代数、几何一样古老，源远流长，但却没有它们那种持续不断的发展历程。这不能归咎于它的衰老，而只能解释成历史的青睐尚未到来。历史是公正的，人类创造的每一项。

7、组合数学课件,课程简介,相关课程,使用教材,数学分析高等代数离散数学,书名：组合数学（第三版） 作者：孙淑玲 出版社：中国科学技术大学出版社,本课程针对计算机科学中的一个重要学科组合数学，组合数学是数学的一个分支，它研究事物在结定模式下的配置，研究这种配置的存在性，所有可能配置的计数和分类以及配置的各种性质。组合数学在计算机科学中有着极其广泛的应用。组合学问题求解方法层出不穷、干变万化，应以理解为基础，善于总结各种技巧，掌握科学的组织和推理方法。,目录（1）,引言 第1章 排列与组合1.1 加法法则和乘法法则1.2 。

8、组合数学初步,第十章 鸽笼原理 第十一章 排列与组合 第十二章 生成函数与递推关系,扰阀有将成列些惊粪现买雕般怯躺凋扼舰硬弟份拎坐岂唉陡炊络毫脖造擂组合数学_16028组合数学_16028,组合数学/组合论,组合数学/组合论：应用数学学科，对于算法研究变得日益重要。,睡记她怂妒渗蜜韶谊洱熙纯涸沮肄谤叠甫措嗽圆藉人家箍巴鬃剃薄董骚窍组合数学_16028组合数学_16028,计算机算法分类,数值计算：方程组求解、积分计算 非数值计算：搜索、排序、组合优化（主要是组合算法）设计和分析组合算法的基础是组合数学,贾进卫羹暖卷了遥垫霓后网孔斡代团。

9、Combinatorics 组合数学,陈克非 上海交通大学计算机科学与工程系 Kfchenmail.sjtu.edu.cn http:/202.120.15.46/,2019/9/13,Dept of Computer Science and Engineering， Shanghai Jiaotong University,2,第二章：排列组合,加法法则、乘法法则 排列、组合 举例 排列、组合生成 字典排序法 邻位互换法 注记,2019/9/13,Dept of Computer Science and Engineering， Shanghai Jiaotong University,3,基本计数原理,集合S的划分：加法原理 若S划分为S1, S2, Sm, 则乘法原理 S为有序对(a,b)集合，其中a有p种选择， b有q种选择，则 注：乘法原理是。

10、第一章 组合数学 前言,前言,组合数学是一个古老而又年轻的数学分支 据传说，大禹在4000多年前就观察到神龟背上的幻方,幻方,幻方可以看作是一个3阶方阵，其元素是1到9的正整数，每行、每列以及两条对角线的和都是15,中国古代的组合数学,贾宪 北宋数学家（约11世纪）著有黄帝九章细草、算法斅古集（斅音“笑”）都已失传,中国古代的组合数学,杨辉著详解九章算法（1261年）中曾引贾宪的“开方作法本源”图（即指数为正整数的二项式展开系数表，现称“杨辉三角形”）和“增乘开方法”（求高次幂的正根法）,中国古代的组合数学,前者比帕斯卡三。

11、1,中国余数定理是说明： 一个整数x与两个互质的整数n,m相除，可以得到两种表示结果： x = pm + a 和 x = qn+ b ，其中a 和 b 分别是小于除数m 和 n的余数，例如： 19 = 92+1 = 35+4；其中m=2；n=5是互质 而选择n=4的话： 19 = 44+3=82+2=pm+2 只有一种表示形式。,2,Ramsey问题可以看成是鸽巢原理的推广下面举例说明Ramsey问题。例16 个人中至少存在人相互认识或者相互不认识。证:这个问题与K6的边着色存在同色三角形等价。假定用红蓝两种颜色对完全图K6着色。,第二章鸽巢原理 2.2 Ramsey定理,3,设K6的顶点集为v1 , v2 , , v6 ，dr(v)表示。

12、黑板上的排列组合,用六种不同颜色涂一正方体，一面一色，且每面颜色不同，会有多少种涂法？,用六种不同颜色涂一正方体，一面一色，不同面可以同色，会有多少种涂法？,6*5*P(4,4)/4 / 6 = 30,2,第四章 Burnside引理和Plya定理,组合计数中遇到的困难 找出问题通解的表达式困难 引入母函数 区分讨论的问题类型困难,区分同类性,避免重复和遗漏 容斥原理避免重复计数 如何区分同类 举例 红蓝两种颜色给正方形的四个顶点着色,存在多少种不同的方案?24 若允许正方形转动,有多少种方案? 分类：按红色点分类 0个红点 1种 1个红点 1种 2个红点 2种 3。

13、组合数学绪论,组合数学（Combinatorial Mathematics) 也称组合学(Combinatorics) 现代数学根据所研究的对象可分为两类：连续数学：以微积分为基础，传统主流 离散数学：伴随计算机科学，方兴未艾 1666年Leibniz著Dissertatio de arte combinatoria,首次使用了组合一词。,组合数学的研究内容,组合数学研究的中心问题是按照一定的规划来安排一些与物件有关的问题。 1.存在问题当符合要求的安排并非显然存在或不存在时，首要的问题是证明或否定它的存在. 2.计算问题或分类问题当符合要求的安排显然存在，或者已证明它存在时，求出这类安排的。

14、1,第七章 递推关系和生成函数7.4.0 生成函数,上次课我们讲到由数列生成函数。由数列h0 , h1 , h2 , ,hn ,. 生成函数为： g(x) =h0 + h1x+h2x2+hnxn+. hn是系数，x按照幂级数升幂排列。 称函数g(x) 是序列hn的生成函数。 下面我们将介绍与组合问题有关的生成函数,2,例：设k是整数，并且序列 h0, h1, h2, , hn, 定义hn等于方程：e1+e2+ekn 的非负整数解的个数,求生成函数。解：由于方程的非负整数解的个数(见P44)为：,3,由牛顿二项式定理(P94)我们可以求出上述幂级 数的收敛函数为：,再将生成函数展开来分析：,4,其中xe1是第一个因子的典型。

15、浅谈组合数学,南开大学 组合数学中心 陈永川2004年7月,组合数学概述,现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等；另一类就是研究离散对象的组合数学。 计算机出现以后，由于离散对象的处理是计算机科学的核心，研究离散对象的组合数学得到迅猛发展。,组合数学概述,吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。 最近，吴文俊院士又指出，信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革，而组合数学则将显示出它的重。

16、1,组合数学 RichardA.Brualdi 著 冯舜玺 等 编译 机械工业出版社,任课教师： 廖 虎,2,办公室：软件学院四楼专业教研室 办公电话：8 8 4 5 1 1 2 8,住宅电话：8 2 4 9 5 8 7 4 移动电话：1 3 0 9 6 9 8 1 1 8 2 电子邮件：xaLiaohu126.com,3,绪 论组合数学是一门古老的数学分支，其思想在社会科学、信息论、生物科学以及其他传统自然科学领域得到了广泛的应用。组合数学在计算机出现以后得以迅速发展。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机,4,科学的核心，而研究离散对象的科学恰。

17、,组合数学基础,组合数学基础,1加法原理与乘法原理 11 加法原理： 做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，在第n类办法中有 mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N= m1+m2+.+mn 种不同的方法。 12 乘法原理： 做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法，做第n步有 种mn不同的方法，那么完成这件事有 N=m1*m2*.*mn 种不同的方法。,13 两个原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是。

18、数论与组合数学,计科0907班何剑Email:jianhe25gmail.com,主讲内容,数论解模线性方程解模线性方程组（中国剩余定理）欧拉函数，欧拉定理组合数学鸽巢原理全排列的生产catalan数polya计数,数论入门,解模线性方程：求解方程 ax = b (%n) 其中a,b,n已知，求x解法：欧几里德方法求gcd：gcd(a,b) = gcd(b,a%b); /循环计算式,直到b=0.扩展欧几里德：ax = b(%n) ax + ny = b 的整数解设 d=gcd(a,n)，则方程等价为 ax + ny = b;(a = a/d ; n = n/d ; b = b/d;需要d | b,不整除无解 ）,如何解ax+ny = b?,ax+ny=b 的解是 ax+ny=1 的解的b倍观察欧几里。

19、1,第八章 特殊计数序列 8.2 差分序列和Stirling数(2),上次课我们已经引入了第二类Stirling(司特林)数, 本次课将继续讨论第二类Stirling数和第一类Stirling数。前面见到的递推关系都是一个参数的。Stirling数S(p,k)导出的递推关系式是两个参数的, 它的序列表示要由p,k两个参数决定。 首先证明它的序列是满足Pascal型递推关系。,2,定理8.2.4 如果1kp-1 则S(p, k) = kS(p-1,k) + S(p-1, k-1) 证明：在二项式公式中，我们有下式：,我们要证明的等式与上式有些相似。,3,4,对上式左边的求和中，用k+1置换k后得到：,第p项,5,对于1kp-1 的每一个k。