1、The class is begin !,一、无重组合,定理1 对于,有,推论1,注：由此可得杨辉三角形或Pascal三角形,推论2（Pascal),两腰上各数都是1, 内部每个数是肩上两数之和,杨 辉 三 角 形,1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1,n=1,n=2,n=3,n=4,n=6,r=1,r=2,r=3,r=4,r=6,答案：,中选出三个数，有多少种选法使得所选,例2 从,分析,设所取的三个数为i,j,k，那么这种
2、选取是无序的，且满足i+j+k=0(mod3),依据余数分别为0，1，2把具有300个数的集合A, 1.3 组合,例1 在一个平面上有42个点，且没有任何三个点在同一直线上。通过这些点可以确定多少条不同的直线?可以构成多少个位置不相同的三角形？,推论3,的三个数的和能被3整除？,分成三个子集B,C,D，各为100个数。,(1).从同类中选取三个数共有,种选法；,中选取r个元素不考,由加法规则，得总选法数为,(2).从两类中选出三个数，均不符合要求，故为0；,r-的组合数为,定义 从重集,(3).从三类中各取一个数共有,定理2,二、n元集的r可重组合, 1.3 组合,种选法.,虑次序组合起来，称
3、为从B中取r个元素的重复组合。用F(n,r)表示.,分析一 思想方法是将r-可重组合转化为r-无重组合.,n代表不同元素个数，r为选出元素个数,由于是组合,不妨认为每个r-可重组合依自然顺序写出(相同的连续排在一起).如按,即,排列.,又令,的r-组合,由于ci 最大可取n,故 di 最大可取则n+r-1,这样就得到一个集合,而这两种取法有一一对应关系,从而这两个组合计数问题是等价的.这样一来,允许重复的从n个不同元素中取r个元素的组合数和不允许重复的从n+r-1个不同元素中取r个元素的组合数是相同的.故有, 1.3 组合,和自然数,证明一,设n个元素,一一对应.,的取法便有一种,易见有一种,
4、的取法., 1.3 组合,证明二 B的任何一个r-组合都具有以下形式,分析二 思想方法是将r-可重组合转化为一个n元一次方程非负整数解的个数.,先画r个“饼”： 再在中间插进n-1根“油条”.,其中,是非负整数,且满足,(1),反之,对于每组满足方程(1)的非负整数解,就是B的一个r-组合.所以B的r-组合等于,(1)的非负整数解的个数.下面求方程(1)非负整数解的个数:,而,解 由于每个盒子不能空,故每个盒子中可先放一球,这样还剩n-r个球,再将这n-r个球放到r个盒子中去,由于这时每盒的球数不受限制,这相当于重集,无一空盒的方式数.,中取n-r个,注:,它的典型模型是取r个无区别的球,放进
5、n个有标志的盒子,而每个盒子中的球数不加限制,允许重复的组合数即方案数.,例3 求n个无区别的球放入r个有标志的盒子里,元素的组合,故其组合数为, 1.3 组合,这n-1根“油条”把r个饼分成 x1,x2,xn n堆,原题转换为r个饼n-1根“油条”的全排列:,关于重集的组合问题可以小结如下:, 1.3 组合,例4 线性方程x1+x2+x3=8有几组正整数解？ 解 令y1=x1-1, y2=x2-1, y3=x3-1, 代入得y1+1+y2+1+y3+1=8, 原题转换为方程y1+y2+y3=5有几组非负整数解？,（4）若rn，则N0； （2）若rn，则N=1;,（3）若rn，且对一切i,设物
6、品数为r,盒子数为n,一、不同物品放入不同的盒子,例 七辆汽车通过五个收费亭子有多少种方法?,2. 每个盒子装物数不限,3. 每个盒子装物数不限,但有序,物品分配问题, 1.3 组合,1. 每个盒子至多放一物品,4. r个物品中 个第一类, 个第二类, 个第t类,r个物品 装入r个盒中,5. r个物品在4的假设下,装入n个盒子(rn),可先每盒分配一物，然后分配剩下个物，此时每盒装物数不限,2. 每个盒子装物数不限,4.每个盒子至少放q个物品,二、相同的物品放入不同的盒子,3. 每个盒子均不空, 1.3 组合,1. 每个盒子至多放一个物品,首先从n个盒子中选出r个盒子,然后分配这r个物品放入这r个 盒子中,故所有的方法数为, 1.3 组合,今日作业:,1.空间中有30个点,这30个点无四个点共面,问它们能确定多少三角形?能确定多少四面体? 2.从整数1,2,1000中选取三个数使得它们的和是4的倍数,求这样的选法有多少种? 3.求方程 的正整数解的个数. 4.有纪念章4枚,纪念册6本,分送给10位同学,问有多少种分法?如果限制每人得一件物品,则又有多少种分法? 5.为数众多的一分、二分、五分、一角硬币中有多少种方法选出六枚硬币？, 1.3 组合,The Class is over. Goodbye!,
