1、组合数学绪论,组合数学（Combinatorial Mathematics) 也称组合学(Combinatorics) 现代数学根据所研究的对象可分为两类：连续数学：以微积分为基础，传统主流 离散数学：伴随计算机科学，方兴未艾 1666年Leibniz著Dissertatio de arte combinatoria,首次使用了组合一词。,组合数学的研究内容,组合数学研究的中心问题是按照一定的规划来安排一些与物件有关的问题。 1.存在问题当符合要求的安排并非显然存在或不存在时，首要的问题是证明或否定它的存在. 2.计算问题或分类问题当符合要求的安排显然存在，或者已证明它存在时，求出这类安排的各
2、抒己见，或者把它分类. 3.构造问题（组合设计）把满足某种条件的安排构造出来. 4.优化问题给出最优标准，找出满足给定条件的最优安排.,胃痛（The Stomachion）,左上图为一份用希腊文写在羊皮纸上的Archimedes手稿“Stomachion”的副本, 它考虑的是现在名为“tiling”的组合问题,Stomachion,阿基米德(287? -212 B.C.)在计算把14条不规则的纸带拼成正方形有多少种不同的拼法.,胃痛（The Stomachion） 阿基米德以惡作劇、謎題及走捷徑而聞名。從阿基米德寶典裡，已發掘出一個會讓人玩到胃痛的14巧板遊戲，如右圖。 我們可以拿這14片，拼
3、成各種圖案，譬如大象、鳥、魚等等，但是這並不稀奇！真正稀奇的是，把這14片拼成同樣大小的一個正方形。,Bill Cutler （2003）：答案是17152=536x32,Periodic Tilings,Non-Periodic Tilings,Penrose Tilings,Symmetric Tilings,Symmetric Tilings,Knigsberg七桥问题,Pregel河横穿Knigsberg城，河上建有七座桥 ，能否设计散步路线，走过所有七座桥，每座桥恰好经过一次而回到同一地点？,Euler环游（一笔画）,Euler于1736年给以否定：图有这样的路线当且仅当每个点连接偶
4、数条边。 图论的起源,后来的数学新分支拓扑学的建立奠定了基础,三十六军官问题,普鲁士腓特烈大帝在一次检阅中要求：从不同的6个军团各选6种不同军衔的6名军官共36人，排成一个6行6列的方队，使得各行各列的6名军官恰好来自不同的军团而且军衔各不相同。 Euler（1779）：办不到! 但未能给出严格的证明 。,拉丁方阵与正交拉丁方阵,每名军官对应一个有序对（军团，军衔）以9名军官为例：军团阵列 军衔阵列 并置阵列 （拉丁方阵） （拉丁方阵） （正交拉丁方阵）,Euler猜想,Euler(1779)：不存在4t+2阶正交拉丁方？ Tarry(1900)：不存在6阶正交拉丁方！存在10阶正交拉丁方！
5、Bose, Shrikhande和Parker(1960)：当t2时，存在4t+2阶正交拉丁方！首次数学上了The New York Times的头版！,四色猜想,英国大学生Guthrie（1852）：一张地图，只需要四种颜色就能保证每两个相邻的地区颜色不同？,四色定理,Kemple（1879）：给出“证明”。 Heawood（1890）：指出漏洞。五色定理。 Appel-Haken(1976)：给出计算机证明 （1200小时100亿个判断）。（右图为Appel ）,Kirkman女生问题,Kirkman （18061895）1850年：有15个女生，她们每天要做三人行的散步，要使每个女生在一
6、周内的每天做三人行散步时，与其她同学在组成三人小组同行时，彼此只有一次相遇在同一小组，应怎样安排？ 组合设计的起源,Kirkman女生问题的一个解,Kirkman三元系,Kirkman三元系：把v个女学生分成v/3组，使得在每(v1)/2天内任意两个女生在同一组内只相遇一次。 Ray-Chaudhuri 和Wilson （1971）：Kirkman三元系存在的充要条件是v=6k+3,相识问题,任何六人中必有三人彼此相识或互不相识。 以点表人，连红线表相识，蓝线表不相识。那么六个点的完全图里或有红三角形或有蓝三角形。五个点的则不然。,Ramsey定理,Ramsey(1903-1930)：给定任意
7、正整数p和q，总存在一个最小正整数R(p,q)，使得R(p,q)个人中或者有 p 个人互相认识，或者有 q 个人互不相识。 R(p,q) 称为Ramsey数。 只要人数足够多，则互相认识的人会越来越多，或互不相识的人会越来越多。,Ramsey数R(p,q),Ramsey数的计算,Ramsey数的计算是对人类智力的挑战！例如R(4,5)=25(1993年计算机11年的计算量) Erds用如下比喻说明其困难程度：一伙外星人入侵地球，要求一年内求得R(5,5)，否则将灭绝人类！那么也许人类能集中所有计算机和专家来求出它以自保；但如果外星人问的是R(6,6) ，那么人类将别无选择，只能拼死一战了。,最
8、精美的组合定理,Rota：如果要求在组合学中仅举出一个精美的定理，那么大多数组合学家会提名Ramsey定理。,1984年Wolf奖得主Erds 1997年Fulkerson奖得主Kim 1998年Fields奖得主Gowers 1999年Wolf奖得主Lovasz 2003年Steele奖得主Graham 2005年Gdel奖得主Alon 2006年Fields奖得主Tao 均对Ramsey理论有杰出贡献,Ramsey理论的哲理意义,完全的无序是不可能的(Complete disorder is impossible)。任一足够大的结构中必定包含一个给定大小的规则子结构。无序无意的行为产生了有
9、规律的后果，发人深思耐人寻味。 古人在满天的星斗中发现野兽和众神群集于天空的图形，以为是造物主的杰作。但根据Ramsey 定理，只要随机分布的星星数目足够多，就可以描绘出各种图形的轮廓。 1994年Statistical Science的一篇论文利用统计方法证明：圣经隐藏了许多讯息，而这些讯息是有意安排的，绝非文字排列偶然造成的。 1997 年Michael Drosnin的The Bible Code 通过计算机扫读圣经中的304805个字母，发现圣经密码当中传达的讯息除了拉宾被刺杀外，还包括美国肯尼迪和林肯两位总统，以及印度总理甘地遇刺的事件，日本神户、美国旧金山的大地震、世界末日与广岛原
10、子弹轰炸等，种种过去与未来发生的大事件。,组合数学的分支,组合分析 代数组合 极值集论 图 论 组合设计 组合优化 组合算法,组合数学的应用,应用促进理论发展,36个军官问题这个纯粹来自智力游戏的题目孕育着艰深的数学问题 。Euler猜想直到二十世纪中叶才获得解决，有两个原因：一是理论上的准备。这类问题用初等方法很难解决，二十世纪代数和几何的发展为解决问题提供了必要工具（如Galois域上的射影几何即有限几何等）；二是生产实际的推动。数理统计学家Fisher将正交拉丁方用于试验设计，例如，用二种原料合成某染料，每种原料有3个水平，怎样安排试验能使每种原料的各种水平各碰一次？这正好是3阶的正交拉
11、丁方阵问题。 Fisher的试验设计是一股巨大的推动力量，把一种数学游戏变成了节约人力物力的具有重大价值的科学方法。,源出于游戏受惠于数学落脚于应用,“Kirkman女生问题”引出组合数学的一个重要分支组合设计。对这些数学游戏，一旦当人们认识到它们在数学和其他科学上的深刻含义后，便又促使人们对它进行更深入的研究，从而丰富了数学学科的内容和知识。该问题就是最典型的组合设计问题。其本质就是如何将一个集合中的元素组合成一定的子集系以满足一定的要求。表面上看来，Kirkman女生问题是纯粹的数学游戏，然而它的解却在医药试验设计上有很广泛的运用。德国组合数学家利用组合设计的方法研究药物结构，为制药公司节
12、省了大量的费用。在美国也有专门的公司用组合设计的方法开发软件，来解决工业界中的试验设计问题。,中国的组合数学,河图洛书九宫图,易曰：河出图，洛出书，圣人则之。河图洛书是最早的幻方。 “二、九、四；七、五、三；六、一、八” -大戴礼记明堂 黄帝内经灵枢的九宫八风篇。 “九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央 ” -(汉)徐岳撰 (北周)甄鸾注 杨辉续古摘奇算法(1275)进一步给出了四阶幻方构造方法。此外，他还构造出了五阶、六阶、七阶、八阶、九阶和十阶幻方(百子图 )。,四 九 二 三 五 七 八 一 六,幻方的转播,12世纪的阿拉伯文献里有六阶幻方的记载 印度12-13世纪
13、时的Jaina幻方（右下） 15世纪幻方传往欧洲 西方最早的幻方出现在德国Drer 1514年的名画”忧郁者”中。 1977年美国旅行者1号和2号宇宙飞船带去Jaina幻方。,杨辉三角,杨辉（南宋）著详解九章算法(1261年)中曾引贾宪（北宋）的“开方作法本源”图。 杨辉在承上启下、数学教育方面有突出贡献。 Pascal三角(1654年)可上溯至1537年,朱世杰恒等式（元）,朱世杰是中国传统数学中水平最高者之一。 他在四元玉鉴（1303）得到：Zeilberger: Chus 1303 Identity Implies Bombieris 1990 Norm-Inequality,1994
14、数学家朱世杰著四元玉鉴成书，世杰字汉卿，号松庭，另著有算学启蒙。在求解多元高次方程组、高阶等差级数、高次招差法方面，公元1303年成书。比西方早四百年左右。,李善兰恒等式（清）,李善兰（1811-1882）是开展现代数学研究的第一位中国数学家。他从研究中国传统的垛积问题入手，获得了一些相当于现代组合数学中的成果。如在垛积比类中提出,Erds-Ko-Rado定理,Frankl-Graham：Erds-柯召-Rado定理是组合数学中的一个主要结果，开辟了极值集合论迅速发展的道路。 柯召(1910-2002)：1935-1938在英国Manchester大学期间与Erds相识，该结果在1938年得到
15、，于1961年发表。 Erds（1913-1996）是数学史上著作数仅次于Euler的传奇人物（约1500篇），他曾说在他所有著作中，含有上述结果的论文是被同行们引用次数最多的。,Gould-Hsu反演公式,1973年Duke Math. J.上发表了Gould与徐利治的论文“Some new inverse series relations”，这是中美关系正常化开始后两国学者合作发表的第一篇论文。 Gould-Hsu反演公式可用于证明和发现恒等式，也可以应用于算法分析和插值方法中。,徐利治（1920- ），原名徐泉涌。教授。江苏常熟人。1945年毕业于西南联合大学数学系。次年加入中国共产党。
16、1949年、1950年先后在英国亚贝丁大学、剑桥大学学习。1951年回国。历任清华大学副教授，吉林大学教授、教务长，大连工学院教授、应用数学研究所所长。在渐进分析、逼近论方面取得重要成果，在国际上被誉为“徐氏渐进公式”、“徐氏逼近”，1985年获国家教委科技进步奖二等奖。著有渐近积分和积分逼近、高维的数值积分、数学方法论选讲，合著函数逼近的理论与方法。,开拓多维渐近积分研究,提出一般无界函数逼近的扩展乘数法,创立了某些计算方法的新途径,倡导并发展数学方法论研究,中国邮递员问题,管梅谷（1960）：邮递员从邮局出发送信，要求对辖区内每条街都至少通过一次再回邮局，怎样选择一条最短路线? 现实生活中
17、很多问题可以转化为中国邮递员问题。 有好算法！,论不相交斯坦纳三元系大集,陆家羲(19351983)，包头九中物理教师 1961年完成论文“冠克满系列和斯坦纳系列的制作方法” ，三次投稿国内杂志未中。前者1971年为国外学者解决发表，惜哉！ 1983年和1984年在J. Combin. Theory Ser. A 上发表题为 “On large sets of disjoint Steiner triple systems ”的六篇论文。 以“论不相交斯坦纳三元系大集”系列论文获1987年国家自然科学一等奖。,Gilbert-Pollak猜想,1990年，堵丁柱和黄光明合作证明了 Gilber
18、t-Pollak猜想(1968)。 被列为1989年-1990年度美国离散数学界和理论计算机科学界重大成果。 被不列颠百科全书1992年鉴列为6项数学成果的第一项。 堵丁柱获得中国科学院自然科学一等奖、国家科技进步二等奖和中国青年科学家奖 。,3x+1问题,3x+1问题：对每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2。如此循环，最终都能够得到1。 例：7221134175226134020105168421 Tomas Oliveira e Silva用了巧妙的编程验证对所有小于100*250=112589990684262400的正整数均正确。 还是公开问题！尚需你我努力！,
