组合数学卢开澄

1、【第 1 页 共 9 页】习 题 四4.1. 若群 G 的元素 a 均可表示为某一元素 x 的幂，即 a = xm，则称这个群为循环群。若群的元素交换律成立，即 a , b G 满足ab = ba则称这个群为阿贝尔(Abel)群，试证明所有的循环群都是阿贝尔群。证.设循环群(G, )的生成元是 x0G 。于是，对任何元素 a , b G，m，nN ，使得 a= x0m , b= x0n ,从而ab = x0m x0n= x0m +n (指数律)= x0n +m (数的加法交换律)= x0n x0m ( 指数律)= ba 故 运算满足交换律；即(G, )是交换群。4.2. 若 x 是群 G 的一个元素，存在一个最小的正整数 m，使 xm=e，则称 m 为 x 的阶，试。

2、第 1 章 排列与组合1.1 从1,2,50中找一双数a,b，使其满足：()5;.ab解 (a) 5ba将上式分解，得到 5aba = b5，a=1，2 ，45 时，b6，7，50。满足 a=b-5 的点共 50-5=45 个点.a = b+5，a=5，6 ，50 时， b0，1，2 ，45 。满足 a=b+5 的点共 45 个点.所以，共计 245=90 个点.(b) 。(610)5(4)165431个 点1.2 5 个女生，7 个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生 A 和 B 之间正好有 3 个女生的排列是多少？解 (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。（71）!5!=8。

3、第 1 章 排列与组合经过勘误和调整，已经消除了全部的文字错误，不过仍有以下几个题目暂时没有找到解答：1.81.91.16 1.41（答案略）1.42（答案略）1.1 从1,2,50中找一双数a,b，使其满足：()5;.ab解 (a) 将上式分解，得到 5aba = b5，a=0 时，b 5，6，7，,50 。满足 a=b-5 的点共 50-4=46 个点.a = b+5，a=5 时，b 0，1，2，,45。满足 a=b+5 的点共 45-0+1=46 个点.所以，共计 个点.94(b) 。(610)5()65143个 点1.2 5 个女生，7 个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生 A 。

4、2.1 求序列0 ，1，8，27， 的母函数。3n解： nxxxGaa33207046414323nnnn aaa左右同乘再连加：0464:046: 432151 123454 nnnn aaaxaax母函数： 403xG2.2 已知序列 ，求母函数。34,3,n解： 的第 k 项为： ，对于本题，n=4，1()nx1()kn母函数为：4()x2.3 已知母函数 G（X）= ,求序列 2543178xna解：G（X）= =)6(9x)61()9(BA从而有： 4783BAG（X）= )61()9(7xG（X）=7 -)9324 )(-)( 3x=7*nan)6(492.4已知母函数 ，求对应的序列 。2315xna解：母函数为 2()6G39(17)8xAB(x)178x8)39令B3+7=9解得：A=2 B=1 所以 iii0021G(x)2*(7x)(8)8xnna*72.5 设。