组合数学第二章习题

1、1,第2章 递推关系与母函数,2.1 递推关系2.2 母函数(生成函数)2.3 Fibonacci数列 2.4 优选法与Fibonacci序列的应用2.5 母函数的性质 (一)2.6 线性常系数齐次递推关系 (二)2.7 关于常系数齐次递推关系 (三) 2.8 整数的拆分 (四)2.9 ferrers图像 2.10 拆分数估计2.11 指数型母函数 (五)2.12 广义二项式定理2.13 应用举例 (六)2.14 非线性递推关系举例2.15 递推关系解法的补充,2,2.1 递推关系,例一.Hanoi塔问题：N个半径各不相同的圆盘，三根圆柱A,B,C;,算法：n=1时，直接把A柱的盘移到C上。,n1时，先把A柱最上面的n-1张盘通过C柱移到B上;然后。

2、2020年4月23日 第二章鸽巢原理和Ramsey定理 2 2鸽巢原理的加强形式 定理2 2 1 鸽巢原理的加强形式 2020年4月23日 第二章鸽巢原理和Ramsey定理 推论2 2 1若n r 1 1个物品放入n个盒子 则至少有一个盒子。

3、1. 题目 解：,比较n次方系数即可证。,2. 题目 解：,分析 的结构可知仅当 时有 项,三个系数相加即为所求,3. 题目 解：,用指数型母函数，可得母函数,系数即为所求。,4. 题目 解：,A、B、C、D组成的全排列数为,出现A后，其后续字母必为A、B、C、D中的一个，其概率相等。,AB至少出现一次的排列为,排列数为,5. 题目 解：,对符合题设要求的排列如果0可以出现在最高位，则可得母函数：,但是对n位四进制数来说最高位不能为0。,6. 题目 解：,参见第四题解答前半部分。,7. 题目 解：,题设中序列的母函数为：,由$4性质3得，上式,8. 题目 解：,等式的。

4、2.1 求序列0 ，1，8，27， 的母函数。3n解： nxxxGaa33207046414323nnnn aaa左右同乘再连加：0464:046: 432151 123454 nnnn aaaxaax母函数： 403xG2.2 已知序列 ，求母函数。34,3,n解： 的第 k 项为： ，对于本题，n=4，1()nx1()kn母函数为：4()x2.3 已知母函数 G（X）= ,求序列 2543178xna解：G（X）= =)6(9x)61()9(BA从而有： 4783BAG（X）= )61()9(7xG（X）=7 -)9324 )(-)( 3x=7*nan)6(492.4已知母函数 ，求对应的序列 。2315xna解：母函数为 2()6G39(17)8xAB(x)178x8)39令B3+7=9解得：A=2 B=1 所以 iii0021G(x)2*(7x)(8)8xnna*72.5 设。

5、1.证明等式 .221022222nnnnnnn解： . 2.求 中 项的系数 . 10084 )1( xx 20x解： . 3.有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、 黑的球各 3个，问从中取出 10个球，试问 有多少种不同的取法？ 解： . 4.求由 A,B,C,D组成的允许重复的排列中 AB至少出现一次的排列数目。 解： . 5.求 n位四进制数中 2和 3必须出现偶次的 数目。 解： . 6.试求由 a,b,c三个文字组成的 n位符号串 中不出现 aa图像的符号串的数目。 解： . 7.证明序列 的母函数为 .)1(11 nx),2(),1(),( nnCnnCnnC 解： . 8.证明 )1,1(),(),1(),(nmnCnmnCnnCnnC 解： . 9.利用 ， 改善。

6、1 第2章递推关系与母函数 2 1递推关系2 2母函数 生成函数 2 3Fibonacci数列 2 4优选法与Fibonacci序列的应用2 5母函数的性质 一 2 6线性常系数齐次递推关系 二 2 7关于常系数齐次递推关系 三 2 8整数。

7、1,第2章 递推关系与母函数,2.1 递推关系2.2 母函数(生成函数)2.3 Fibonacci数列2.4 优选法与Fibonacci序列的应用2.5 母函数的性质2.6 线性常系数齐次递推关系2.7 关于常系数非齐次递推关系2.8 整数的拆分2.9 ferrers图像2.10 拆分数估计2.11 指数型母函数2.12 广义二项式定理2.13 应用举例2.14 非线性递推关系举例2.15 递推关系解法的补充,2,2.7 关于线性常系数非齐次递推关系,如下面的递推关系：,称为k阶线性递推关系，其中若c1,c2,ck都是常数，则称为常系数线性递推关系，若bn=0，则称为是齐次的，否则为非齐次的。,3,2.10任意阶齐次递。

8、第二章 母函数与递推关系,组合数学,2.1 母函数,递推关系是计数的一个强有力的工具，特别是在做算法分析时是必需的。递推关系的求解主要是利用母函数。当然母函数尚有其他用处，但这主要是介绍解递推关系上的应用。例如,2.1 母函数,项的系数 中所有的项包括n个元素a1，a2， an中取两个组合的全体；同理项系数包含了从n个元素a1，a2， an中取3个元素组合的全体。以此类推。,2.1 母函数,若令a1=a2= =an=1，在（2-1-1）式中 项系数： 中每一个组合有1个贡献，其他各项以此类推。故有：,2.1 母函数,另一方面：,2.1 母函数,比较等号两端项对应系。

9、组合数学第二章答案41. 解 ： ,-n 02)(x比 较 n次 方 系 数 即 可 证 。2. 解 ： 108410)(kCx分 析 的 结 构 可 知 仅 当时 有 项 5,32系 数时 ， 系 数时 ， 系 数时 ，三 个 系 数 相 加 即 为 所 求3. 解 ：用 指 数 型 母 函 数 ， 可 得 母 函 数 324)(1)G系 数 即 为 所 求 。 4. 解 ： A、 B、 C、 D组 成 的 全 排 列 数 为xeP4)!(出 现 A后 ， 其 后 续 字 母 必 为 A、 B、 C、 D中 的 一 个 ， 其 概 率 相 等 。1523 AB至 少 出 现 一 次 的 排 列 为0415!)( nxe排 列 数 为a5. 解 ： 对 符 合 题 设 要 求 的 排 列 如 果 0。

10、1 第2章递推关系与母函数 2 1递推关系2 2母函数 生成函数 2 3Fibonacci数列2 4优选法与Fibonacci序列的应用2 5母函数的性质2 6线性常系数齐次递推关系2 7关于常系数非齐次递推关系2 8整数的拆分2 9fer。

11、1,第2章 递推关系与母函数,2.1 递推关系2.2 母函数(生成函数)2.3 Fibonacci数列2.4 优选法与Fibonacci序列的应用2.5 母函数的性质2.6 线性常系数齐次递推关系2.7 关于常系数非齐次递推关系2.8 整数的拆分2.9 ferrers图像2.10 拆分数估计2.11 指数型母函数2.12 广义二项式定理2.13 应用举例2.14 非线性递推关系举例2.15 递推关系解法的补充,2,2.11：指数型母函数,2.11.1 问题的来源对n个互不相同的元素进行全排列，可得n!个不同的排列。,k个不同的元素a1,a2,ak作允许重复的排列:如果a1有n1个，a2有n2个，ak有nk个，n1+n2+nk=n,这样的n个元。

12、组合数学 第二章 鸽巢原理,主要内容： 1. 鸽巢原理及其应用 2. 中国剩余定理 3. 加强形式的鸽巢原理 4. Ramsey定理,鸽巢原理,定理: 若有n个鸽巢, n+1只鸽子, 则至少有一个鸽巢里至少有两只鸽子. 注意这里的任意性. 例1. 一年365天, 今有366个人, 则其中至少有两个人生日相同. 例2. 抽屉里有10双手套, 从中取11只出来, 其中至少有两只是完整配对的.,应用举例,例. 在边长为1的正方形内任取5点,则其中至少有2点的距离不超过,例. 设a1,a2,am是正整数序列, 则至少存在整数k和l, 0kl m, 使得m|(ak+1+ak+2+ al).令rk=a1+a2+ak mod m, k=1,2,m, 则。

13、1第二章 容斥原理习题1，求出 之间不能被 4，5，和 6 整除的整数个数。0:2，求出 之间不能被 4，6，7，10 整除的整数个数。10:3，求出 之间既不是完全平方数，也不是完全立方数的整数个数。10:4，求出 之间能被 2，3，5，7 中任一个整除的整数个数。1250:5，求出 之间，有多少个不能被 7 整除，但能被 3 和 5 整除的整数个数。10:6，某校足球队有 38 人，篮球队有 15 人，棒球队 20 人。3 个队队员总数为 58 人，且其中只有 3 人同时参加 3 个队，试求同时参加两队的队员有多少人？27，确定多重集 的 12组合数。4,3,5Sabcd:8，面包店出售。

14、2.1 题（陈兴）求序列 0，1，8，27， 的母函数。3n 解：由序列可得到 3233() nGxx 因为 1n 231() 4xx 设 1() ()1np x 2222) 3xxx 设 312() ()nnq x 3223)1(1)nxxx 3( n 由以上推理可知 =()xq,7*94(6),n 所以可通过求得 得到序列的母函数：32()4Gxx321()()6nHFdx2.2 题（陈兴）已知序列 ，求母函数343,n 解：*21()*2(1)()33nnGx x= .4.()()6 nx2 11()3.32Fxdx23()()6nHxx3431()()6nIxHdxXx因为 21n 所以 2()1)Ixx所以 就是所求序列的母函数。36G2.3 题（陈兴）已知母函数 ，求序列。

15、1 证明等式 解 2 求中项的系数 解 3 有红 黄 蓝 白球各两个 绿 紫 黑的球各3个 问从中取出10个球 试问有多少种不同的取法 解 4 求由A B C D组成的允许重复的排列中AB至少出现一次的排列数目 解 5 求n位四进制数中2和3必须出现偶次的数目 解 6 试求由a b c三个文字组成的n位符号串中不出现aa图像的符号串的数目 解 7 证明序列的母函数为 解 8 证明 解 9 利用 改。

16、第二章习题 2 3已知序列 C 3 3 C 4 3 C n 3 3 求母函数 2 5设Gn F2n 证明 Gn 3Gn 1 Gn 2 0 n 2 3 4 求Gn的母函数 2 7G 1 2x2 3x4 4x6 n 1 x2n 解 令t x2代。

17、第二章 母函数与递推关系,组合数学,2.1 母函数,递推关系是计数的一个强有力的工具，特别是在做算法分析时是必需的。递推关系的求解主要是利用母函数。当然母函数尚有其他用处，但这主要是介绍解递推关系上的应用。例如,2.1 母函数,项的系数 中所有的项包括n个元素a1，a2， an中取两个组合的全体；同理项系数包含了从n个元素a1，a2， an中取3个元素组合的全体。以此类推。,2.1 母函数,若令a1=a2= =an=1，在（2-1-1）式中 项系数： 中每一个组合有1个贡献，其他各项以此类推。故有：,2.1 母函数,另一方面：,2.1 母函数,比较等号两端项对应系。

18、1.证明等式,解：.,2.求 中 项的系数.,解：.,3.有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、 黑的球各3个，问从中取出10个球，试问 有多少种不同的取法？,解：.,4.求由A,B,C,D组成的允许重复的排列中 AB至少出现一次的排列数目。,解：.,5.求n位四进制数中2和3必须出现偶次的 数目。,解：.,6.试求由a,b,c三个文字组成的n位符号串 中不出现aa图像的符号串的数目。,解：.,7.证明序列的母函数为,解：.,8.证明,解：.,9.利用 ，改善 4(2) 的 估计式。,解：.,10. 8台计算机分给3个单位，第1单位的分配量不超过3台，第2单位的分配量不超过4台，第3个单位不。