1、1 第2章递推关系与母函数 2 1递推关系2 2母函数 生成函数 2 3Fibonacci数列 2 4优选法与Fibonacci序列的应用2 5母函数的性质 一 2 6线性常系数齐次递推关系 二 2 7关于常系数齐次递推关系 三 2 8整数的拆分 四 2 9ferrers图像 2 10拆分数估计2 11指数型母函数 五 2 12广义二项式定理2 13应用举例 六 2 14非线性递推关系举例2 15递推关系解法的补充 2 2 1递推关系 例一 Hanoi塔问题 N个半径各不相同的圆盘 三根圆柱A B C 算法 n 1时 直接把A柱的盘移到C上 n 1时 先把A柱最上面的n 1张盘通过C柱移到B上
2、 然后再将A柱上最下面的盘移到C盘上 最后将B盘上的盘通过A盘移到C盘上 递归是子程序或函数重复地调用自己 3 2 1递推关系 voidhanoi charA charB charC intn if n 1 printf movedisk1from cto c A C else hanoi A C B n 1 printf movedisk dfrom cto c n A C hanoi B A C n 1 4 2 1递推关系 例一 Hanoi塔问题 N个半径各不相同的圆盘 三根圆柱A B C 算法 n 1时 1次 n 1时 hn 2hn 1 1 求总共需要移动多少次 设分别为h1 h2 hn
3、 5 2 1递推关系 递推关系的定义 对于数列a1 a2 an 除了前面的若干数外 其余各项an与它前面的若干个数关联起来的方程叫做递推关系 边界条件 初始条件 在求解递推关系时 前面必须知道若干个数 这若干个已知的数称为初始条件 或边界条件 常系数递推关系 线性递推关系 6 2 1递推关系 用迭代法求解递推关系 7 例一 求解盘片为n的汉诺塔的算法如下 hanoi intn charA charB charC if n 1 printf Movedisk dfromAtoC n elsehanoi n 1 A C B printf Movedisk dfromAtoC n hanoi n 1
4、 B A C 求时间复杂性 8 解 设n张盘需执行h n 次 h n 2h n 1 2 h n 1 2h n 2 2 h n 2 2h n 3 2 h 3 2h 2 2 h 2 2h 1 2 h 1 2 h 2 22 2 h 3 23 22 2 h n 1 2n 1 2n 2 2 h n 2n 2n 1 22 2 h n 2n 1 2 O 2n 例题 9 例2 2Fibonacci 费卜拉契 数列 问题 设有初生的雌 雄小兔一对 但第2个月过后便每月繁殖雌 雄各一的小兔一对 试问第n个月有雌 雄兔子多少对 2 1递推关系 1 1 2 3 5 8 13 21 Fn Fn 1 Fn 2 10 算法
5、 intfibonacci intn if n 1 n 2 return 1 elsereturn fibonacci n 1 fibonacci n 2 2 1递推关系 时间复杂性 f n f n 1 f n 2 1 11 2 2母函数 例2 3 有红球两个 白球 黄球各一个 试求有多少种不同的组合方案 假设两个红球没有区别 共有1 3 4 3 1 12种组合方案 解 一 用组合方法来解 一个都不选 1种方案 选1个球 3种方案 选2个球 4种方案 选3个球 3种方案 选4个球 1种方案 12 二 用函数的方法 解 设r w y分别代表红球 白球 黄球 单独红球的组合方式为1 1 1 构造函
6、数 1 r r2 单独白球与单独黄球的组合方式分别为 1 1和1 1 分别构造函数1 w和1 y 2 2母函数 13 1 r r2 1 w 1 y 1 r w y r2 rw ry wy r2w r2y rwy r2wy 1 x x2 1 x 1 x 这个函数的系数正好与取不同球数的组合数相等 这就是母函数的方法 把r w y都用x来表示 可得 1 x x2 1 2x x2 1 3x 4x2 3x3 x4 2 2母函数 14 定义 对于序列a0 a1 a2 构造函数 G x a0 a1x a2x2 称函数G x 是序列a0 a1 a2 的母函数 2 2母函数 15 例2 4 某单位有8个男同志
7、 5个女同志 现要组织一个有数目为偶数的男同志和数目不少于2个的女同志组成的小组 试求有多少种组合方式 解 令an为从8位男同志中抽取出n个的允许组合数 a1 a3 a5 a7 0 a0 1 a2 C 8 2 28 a4 C 8 4 70 a6 C 8 6 28 a8 C 8 8 1 1 母函数在求组合中的应用 16 数列a0 a8对应的数值是1 0 28 0 70 0 28 0 1 构造母函数为 类似的方法可得女同志的允许组合数对应的母函数为 1 母函数在求组合中的应用 17 1 母函数在求组合中的应用 18 如果令a1 a2 an 1 如果令x 1 就得到如下组合公式 1 母函数在求组合中
8、的应用 19 2 几个基本的母函数 20 2 几个基本的母函数 21 例2 5 求由20个水果组成一袋的可能组合 水果有苹果 香蕉 橘子和梨 其中在每个袋子中苹果数是偶数 香蕉数是5的倍数 橘子数最多是4个 而梨的个数是0和1 解 单独苹果序列构成的母函数 单独香蕉序列构成的母函数 3 母函数在求组合数中的应用 22 解 单独苹果序列构成的母数 单独香蕉序列构成的母函数 单独橘子序列构成的母函数 单独梨子序列构成的母函数 3 母函数在求组合数中的应用 23 由20个水果组成一袋的可能组合数是21种 3 母函数在求组合数中的应用 24 假设h1 h2 hn的母函数为 G x h0 h1x h2x
9、2 h3x3 x h1 2h0 1x2 h2 2h1 1x3 h3 2h2 1 h1x h2x2 G x 因此 G x x 1 x 1 2x 2xG x x x2 2xG x x 1 x 3 用母函数求解递推关系 25 3 用母函数求解递推关系 第n项系数为A B2n 代入边界条件 h0 0 h1 1 26 得A 1 B 1 则 hn 2n 1 3 用母函数求解递推关系 第n项系数为A B2n 代入边界条件 h0 0 h1 1 27 例2 2Fibonacci 费卜拉契 数列 问题 设有初生的雌 雄小兔一对 但第2个月过后便每月繁殖雌 雄各一的小兔一对 试问第n个月有雌 雄兔子多少对 2 1递
10、推关系 1 1 2 3 5 8 13 21 Fn Fn 1 Fn 2 28 令 Fn 的母函数为 G x F1x F2x2 x3 F3 F2 F1x4 F4 F3 F2x5 F5 F4 F3 G x x x2 x G x x x2G x F3x3 F4x4 G x F1x F2x2 G x x x2 F2x3 F3x4 x F2x2 F3x3 x G x x F1x3 F2x4 x2 F1x F2x2 x2G x 整理后得 1 x x2 G x x 3 用母函数求解递推关系 29 3 用母函数求解递推关系 30 3 用母函数求解递推关系 31 2 5 母函数的性质 性质1 如果 那么 性质2 如果 那么 32 2 5 母函数的性质 性质3 如果 那么 性质4 如果 那么 33 2 5 母函数的性质 性质5 如果 那么 性质6 如果 那么 34 第2章递推关系与母函数 2 1递推关系2 2母函数 生成函数 2 3Fibonacci数列 2 4优选法与Fibonacci序列的应用2 5母函数的性质2 6线性常系数齐次递推关系2 7关于常系数齐次递推关系2 8整数的拆分2 9ferrers图像2 10拆分数估计2 11指数型母函数2 12广义二项式定理2 13应用举例2 14非线性递推关系举例2 15递推关系解法的补充
