1、1,第2章 递推关系与母函数,2.1 递推关系2.2 母函数(生成函数)2.3 Fibonacci数列2.4 优选法与Fibonacci序列的应用2.5 母函数的性质2.6 线性常系数齐次递推关系2.7 关于常系数非齐次递推关系2.8 整数的拆分2.9 ferrers图像2.10 拆分数估计2.11 指数型母函数2.12 广义二项式定理2.13 应用举例2.14 非线性递推关系举例2.15 递推关系解法的补充,2,2.11：指数型母函数,2.11.1 问题的来源对n个互不相同的元素进行全排列，可得n!个不同的排列。,k个不同的元素a1,a2,ak作允许重复的排列:如果a1有n1个，a2有n2个
2、，ak有nk个，n1+n2+nk=n,这样的n个元素进行全排列，不同的排列数为：,n!/(n1!n2!nk!),3,设有k种不同元素，若元素a1最多取n1个，元素a2 最多取n2个，元素ak最多取nk 个，任取r个元素的排列数记为pr, 讨论序列pr的情况:,2.11：指数型母函数,4,例1 5个元素中a1重复了3次， a2重复了2次，从中取r个组合，其组合数为cr，求取1到5的组合序列的母函数。,G(x)=(1+x +x2 +x3 ) (1+x +x2) =1+2x+3 x2 +3 x3 +2 x4+x5,(1+x1+x12+x13 ) (1+x2+x22),展开式中3次方项如下：x1x22
3、+x12x2+x13,x1x22对应的是取一个x1,两个x2,若是作排列,其不同排列数为：,2.11：指数型母函数,5,为了便于计算，利用上述特点，形式地引进函数。,展开后三次方项,2.11：指数型母函数,6,定义：对于序列a0,a1,a2,a3,定义如下函数为序列ai的指数型母函数。,2.11：指数型母函数,例 5个元素中a1重复了3次， a2重复了2次，从中取r个排列，其排列数为cr，求取1到5的排列序列的母函数。,7,定理2.11.1：设有k种不同元素，若元素a1最多取n1个，元素a2 最多取n2个，元素ak最多取nk 个，任取r个元素的排列数记为pr,则序列pr的指数型母函数为：,pr
4、的值为展开式中xr/r!的系数。,2.11：指数型母函数,8,证明：做完乘法，xr项由如下形式的项组成：,m1+m2+mk=r,2.11：指数型母函数,略,9,例2 由a,b,c,d这4个符号取5个进行排列，要求a出现的次数不超过两次，但不能不出现，b不超过一次，c出现的次数不超过3次，d出现的次数为偶数。求满足上上述条件的排列数。,解：构造母函数Ge(x)。,2.11：指数型母函数,10,2.11：指数型母函数,1、,2、,11,例3 由A,G,C,T这4个符号取n个进行排列，每个字符都可以重复选取，求排列数。,解：构造母函数Ge(x)。,排列数是4n。,2.11：指数型母函数,12,例4
5、求1,3,5,7,9这5个数字组成的n位数个数，要求其中3出现的次数为偶数，其它数字出现的次数无限制。（用指数型母函数求解）,解：设满足条件的r位数的数目为ar,则序列a0,a1,a2,的母函数为：,2.11：指数型母函数,13,2.11：指数型母函数,14,例4 求1,3,5,7,9这5个数字组成的n位数个数，要求其中3出现的次数为偶数，其它数字出现的次数无限制。（用递推关系求解）,解：an=4an-1+(5n-1-an-1),2.11：指数型母函数,a1=4,an-3an-1=5n/5,特解：an=k5n,k=1/2,15,2.11：指数型母函数,a1=4,an-3an-1=5n/5,h=
6、1/2,16,例5 用红绿蓝三种颜色去涂1n的棋盘，每格涂一种颜色，要求红蓝二色出现的次数均为偶数，求涂色方案数。,2.11：指数型母函数,17,n个不同的元素,取m个作有重复的排列, 与m个不同的球放进n个有区别的盒子,允许空盒的放法一一对应.,1,1 2,2 3,3 1,2 2,1 1,3 3,1 2,3 3,2a号球位置,b号球位置.,3个不同的元素取两个作有重复的排列,2个不同的球,放进3个有区别的盒子,2.11：指数型母函数,18,例5 a1 ,a2 ,a3,a4 为4个不同的元素,取7个作有重复的排列,要求 a1,a2必须出现偶数次,3出现奇数次。,2.11：指数型母函数,例6 a
7、1 ,a2 ,a7 为7个有区别的球放进4个有标志的盒子，要求1，2两盒必须含偶数个球，第3盒含奇数个球。,19,例7 n个有标志的球，放进m个不同的盒子，允许空盒，问有多少种不同的分配方案？,m种不同元素取n个作允许重复的排列是一样的。,mn,2.11：指数型母函数,20,例2.30，2.33 n个有标志的球，放进m个不同的盒子，要求无一空盒，问有多少种不同的分配方案？,m种元素取n个作允许重复的排列,每一个数都必须至少取一次。,2.11：指数型母函数,21,2.11：指数型母函数,22,n个球放进m个盒子放法总结:,n个球放进m个盒子里，球是否有区别，盒子是否有区别，是否允许空盒，共有八种
8、情况：,1、有区别,有区别，有空盒,2、有区别,有区别，无空盒,23,n个球放进m个盒子里，球是否有区别，盒子是否有区别，是否允许空盒，共有八种情况：,3、无区别,有区别，有空盒,4、无区别,有区别，无空盒,n个球放进m个盒子放法总结:,24,n个球放进m个盒子里，球是否有区别，盒子是否有区别，是否允许空盒，共有八种情况：,5、无区别,无区别，有空盒,6、无区别,无区别，无空盒,n个球放进m个盒子放法总结:,*,25,2.12：广义二项式定理,二项式定理,26,2.15 递推关系解法的补充,1、母函数法,2、迭代法,3、归纳法,4、置换法,5、相加消去法,27,例9：求下列递推关系的解,解：用置换法：,解特征方程可得：,2.14 递推关系解法的补充,28,2.14 递推关系解法的补充,29,2.14 递推关系解法的补充,30,例10：求下列递推关系的解,解：1、猜解法：,一般解：,2.14 递推关系解法的补充,31,例10：求下列递推关系的解,解：2、置换法：,令,2.14 递推关系解法的补充,*,32,2.48 有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、黑球各三个，从中取10个球，试为有多少种不同的取法。,2.14 递推关系解法的补充,2.49，2.50,2.51,2.78,
