1、高等工程数学,2,组 合 数 学,主 讲： 张 劼Email: Tel. : 13161632568,3,高等工程数学,组合数学：组合数学就是按照一定的规则来安排一些离散个体的有关问题。组合计数，组合设计，组合优化，组合几何学近世代数：代数系统图论：优化,组 合 数 学,5,课程简介,相关课程,使用教材,数学分析高等代数离散数学图论 密码学 数论,书名：组合数学（第4 版）作者：卢开澄 卢华明出版社：清华大学出版社,Enumerative Combinatorics Volume 1Richard P. StanleyCambridge University Press,参考教材,本课程针对计
2、算机科学中的一个重要学科组合数学，组合数学是数学的一个分支，它研究事物在给定模式下的配置，研究这种配置的存在性，所有可能配置的计数和分类以及配置的各种性质。组合数学在计算机科学中有着极其广泛的应用。 组合学问题求解方法层出不穷、干变万化，应以理解为基础，善于总结各种技巧，掌握科学的组织和推理方法。,6,发展历史,涵盖内容,学习目的,学习方法,计数和枚举 存在性问题 优化问题 构造性问题,科学的组织 科学的推理,古老 年轻,练习 思考总结 笔记,哥尼斯堡七桥问题。 幻方的存在性。,n(n 2)阶幻方的构造。 36军官问题：若有6个不同军衔和来自6个不同国家的36名军官，问能否将他们排成66的方阵
3、，使得每行每列恰有一名来自不同国家的军官，且其军衔各自不同？,规划问题：怎样合理安排有限的资源。,课程简介,7,组合数学,第一章 排列与组合第二章 递推关系与母函数第三章 容斥原理与鸽笼原理,第一章 排列与组合,9,第一章排列组合,1.1 加法法则与乘法法则1.2 一一对应1.3 排列与组合1.4 圆周排列1.5 排列的生成算法1.6 允许重复的组合与不相邻的组合1.7 组合意义的解释1.8 应用举例,10,1.1 加法法则与乘法法则,加法法则：,若 |A| = m , |B| = n , AB = , 则 |AB| = m + n 。,集合论语言：,相互独立的事件 A、B 分别有 m 和 n
4、 种方法产生，则产生 A 或 B 的方法数为m+n 种。,11,1.1 加法法则与乘法法则,例1 某班选修企业管理的有 18 人，不选的有 10 人，则该班共有,18 + 10 = 28 人。,12,1.1 加法法则与乘法法则,例2有一个学校给一名物理竞赛优胜者发奖，,奖品有三类：第一类是3种不同版本的法汉词典；,第二类是4种不同版本的物理参考书；第三类是,2种不同的奖杯。这位优胜者只能挑选一样奖品，,请问他挑选奖品的方法有多少种？,解：设S是所有这些奖品的集合，Si是第i类奖品的,于是优胜者挑选奖品的方法有9种。,解：设S是所有这些奖品的集合，Si是第i类奖品的,集合（i=1,2,3），显然
5、Si Sj= (ij)由加法法则,13,和的法则：假若有相互独立的两个事件X和Y,方法数有k+l种。,分别有产生k和l种方法，则产生事件X或Y的,14,乘法法则：,若 |A| = m , |B| = n , AB = (a,b) | a A,b B, 则 |A B| = m n 。,集合论语言：,1.1 加法法则与乘法法则,相互独立的事件 A、B 分别有m 和 n 种方法产生，则产生 A 与 B 的方法数为 mn 种。,15,1.1 加法法则与乘法法则,例3 某种字符串由两个字符组成，第一个字符可选自a，b，c，d，e，第二个字符可选自1，2，3，则这种字符串共有,例4 从A到B有三条道路，从
6、B到C有两条道路，则从A经B到C道路有,5 3 = 15 个。,32=6 条。,16,1.1 加法法则与乘法法则,例5 由数字1,2,3,4,5可以构成多少个 所有数字互不相同的四位偶数？,解：所求的是四位偶数，故个位只能选2或4，有两种选择方法；又由于要求四位数字互不相同，故个位选中后，十位只有四种选择方法；同理，百位、千位分别有三种、两种选择方法，根据乘法法则，四位数互不相同的偶数个数为2432=48,17,1.1 加法法则与乘法法则,例6 1)求小于10000的含1的正整数的个数 2)求小于10000的含0的正整数的个数,解 1)小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外
7、. 故有 999916560个. 含1的有：99996560=3439个,另解: 全部4位数有104个,不含1的四位数有94个, 含1的4位数为两个的差: 10494= 3439个,18,2)“含0”和“含1”不可直接套用。0019含1但不含0。 在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。,99997380=2619个,1.1 加法法则与乘法法则,不含0小于10000的正整数有,含0小于10000的正整数有,19,第一章排列组合,1.1 加法法则与乘法法则1.2 一一对应1.3 排列与组合1.4 圆周排列1.5 排列的生成算法1.6 允许重复的组合与不相邻的组合1.7 组合意义的解释1
8、.8 应用举例,20,1.2 一一对应,“一一对应”概念是一个在计数中极为基本的概念。一一对应既是单射又是满射。,在组合计数时往往借助于一一对应实现模型转换.,比如要对A集合计数，但直接计数有困难，于是可设法构造一易于计数的B，使得A与B一一对应。,21,1.2 一一对应,例7 在100名选手之间进行淘汰赛(即一场的比赛结果，失败者退出比赛)，最后产生一名冠军，问要举行几场比赛？,解 一种常见的思路是按轮计场。 另一种思路是淘汰的选手与比赛(按场计)集一一 对应。99场比赛。,22,第一章排列组合,1.1 加法法则与乘法法则1.2 一一对应1.3 排列与组合1.4 圆周排列1.5 排列的生成算
9、法1.6 允许重复的组合与不相邻的组合1.7 组合意义的解释1.8 应用举例,23,1.3 排列与组合,排列组合,24,1.3 排列与组合1,定义1 从n个不同元素中取r个按顺序排成一列，称为从n中取r的排列。排列的个数用P(n,r)表示。,取球模型:从n个不同的球中,取出r个,放入r个不同的盒子里,每盒1个球.第1个盒子有n种选择,第2个有n-1种选择，第r个有n-r+1种选择。,故有,P(n,r)=n(n-1)(n-r+1)=nr,注：当n=r时，称全排列，P(n,r)=n!,25,1.3 排列与组合2,解 两边是星状物，从5种颜色的星状物中取2个的排列的排列数是 P(5,2)=20,根据
10、乘法法则得图案数为,20种不同的花取3种的排列的排列数是,P(20, 3)=20 19 18=6840,20 6840=136800,例10 由5种颜色的星状物，20种不同的花取出5件排列成如下图案：两边是星状物，中间是3朵花，问共有多少种这样的图案？,26,1.3 排列与组合3,定义2 从 n 个不同元素中任取 r 个一组，若不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的组合。,用C(n,r)或 表示,组合的模型：,从n个不同的球中,取出r个,放入r个相同的盒子里,每盒1个。,27,1.3 排列与组合4,故有,C(n,r)r!=P(n,r),C(n,r)=P(n,r)/r!=nr/r!,从n个中取
11、r个的组合，若放入盒子后再将盒子标号区别，则又回到排列模型。每一个组合可有r!个标号方案（排列）。,28,1.3 排列与组合举例1,例11 A单位有7名代表，B单位有3位代表，排成一列合影要求B单位的3人排在一起，问有多少种不同的排列方案。,接上例，若A单位的2人排在队伍两端，B单位的3人不能相邻，问有多少种不同的排列方案？,解：先将B单位3位代表在一起，看成一个人，参与排列，有8！种，然后B单位内部人之间有一个排列3！，故按乘法法则，共有：3！*8！种,解：先将A单位7位代表排好，有7！种，然后B单位3人插入A单位的两两代表之间，有P(6,3)种，故按乘法法则，共有：7！*P(6,3)种.,
12、29,1.3 排列举例2,例12 试求由1,3,5,7组成的不重复出现的整数的总和,S=S1+S2+S3+S4,S1=1+3+5+7=16,S2=3(1+3+5+7)10+3(1+3+5+7)= 480+48=528,30,1.3 排列举例3,S4=6(1+3+5+7)1000+6(1+3+5+7)100+6(1+3+5+7)10 +6(1+3+5+7)=96000+9600+960+96=106656,S3=6(1+3+5+7)100+6(1+3+5+7)10+6(1+3+5+7) =9600+960+96=10656,从而 S=16+528+10656+106656=117856,31,例
13、13 将八个“车”放在8*8的国际象棋棋盘上，如果 他们两两均不能互吃（不在同一行，同一列上），那么称8个车处于一个安全状态，问有多少种不同的安全状态。,1.3 排列举例4,解：8！,32,1.3 组合举例1,例14 有5本不同的日文书，7本不同的英文书,10本不同的中文书。 1)取2本不同文字的书； 2)取2本相同文字的书； 3)任取两本书,2) C(5,2)+C(7,2)+C(10,2)=10+21+45=76,1) 57+510+710=155,解,33,1.3 组合举例2,例15 甲和乙两单位共11个成员，其中甲单位7人， 乙单位4人，拟从中组成一个5人小组： 1)要求包含乙单位恰好2
14、人； 2)要求至少包含乙单位2人； 3)要求乙单位某一人与甲单位特定一人不能同 时在这个小组。 试求各有多少种方案。,C(4,2)*C(7,3)C(4,2)*C(7,3)+C(4,3)*C(7,2)+C(4,4)*C(7,1)C(10,5)+C(9,4),解:,34,1.3 组合举例3,例16 从1,300中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？,解 将1,300分成3类：,A=i|i1(mod 3)=1,4,7,298,B=i|i2(mod 3)=2,5,8,299,C=i|i0(mod 3)=3,6,9,300.,要满足条件，有四种情形：,1)3个数同属于A; 2)3个数
15、同属于B 3)3个数同属于C; 4)A,B,C各取一数.,故共有,35,1.3 组合举例4,例17 假定有a1,a2,a3,a4,a5, a6, a7,a8这8位成员,两两配对分成4组,试问有多少种方案?,解： a1选择其同伴有7种可能，选定后,余下6人中某一人选择其同伴只有5种可能，余下4人，其中某1人有3种选择可能，在余下的2人只好配成一对，无法选择，故共有,N=7*5*3=105,36,1.3 组合举例5,例18 某车站有6个入口处,每个入口处每次只能进一人,一组9个人进站的方案有多少?,解：进站方案可表示成：00011001010100其中“0”表示人，“1”表示门框，其中“0”是不同
16、元，“1”是相同元。给“1”n个门只用n-1个门框。任意进站方案可表示成上面14个元素的一个排列。,37,1.3 组合举例6,解法1 问题归结为14个元排列，其中9个元素不同，5个元素相同。故若设x为所求方案，则 x 5!=14! x=14!/5!=726485760,解法2在14个元的排列中先确定“1”的位置，有C(14,5)种选择，再确定人的位置，有9！种选择。故C(14,5)9!即所求,38,1.3 组合举例8,对于n位数a1a2a3an, 它被3整除的充要条件是,例19 求5位数中至少出现一个6.而且被3除尽的数的个数。,解：首先我们证明如下事实.,a1+a2 + a3 + + an
17、0 (mod 3),39,1.3 组合举例9,因为,由于,所以,40,方法2：被3整除的数要么含6，要么不含6。含6且被3整除的数等于被3整除的数减去不含6且被3整除的数而后者较易计算。,1.3 组合举例10,方法1：根据6所在位置和被3整除的性质，分别考虑，再应用加法原理即可。,41,例20 一个凸n边形，它的任何3条对角线都不交于同一点，问它的所有对角线在凸n边形内部有多少个交点。,1.3 组合举例11,注意到，每个交点只有两个对角线通过，对应了4个顶点所组成的一个组合，不同的交点对应的组合也不相同，故共有C(n,4)个交点。,42,第一章排列组合,1.1 加法法则与乘法法则1.2 一一对
18、应1.3 排列与组合1.4 圆周排列1.5 排列的生成算法1.6 允许重复的组合与不相邻的组合1.7 组合意义的解释1.8 应用举例,43,1.4 圆周排列1,定义3：从n个不同的数中取出r个按照某种顺序（如逆时针）排成一个圆圈，称这种排列圆周排列，所有的r-圆周排列数记为 Q(n.r),注:圆周排列与排列的不同之处在于圆周排列首尾相邻，如a，b，c，d的4种不同排列 abcd, dabc, cdab, bcda,在圆周排列中都是一个排列。,44,1.4 圆周排列2,从n个中取r个的圆周排列的排列数为,以4个元素为例,Q(n,r)=P(n,r)/r , 2rn,45,1.4 圆周排列-例子,例
19、21 5对夫妇出席一个宴会，围一圆桌坐下，试问有几种不同的坐法？要求每对夫妇相邻又如何？,解: (1),(2) Q(5,5)*25=4!*25,46,第一章排列组合,1.1 加法法则与乘法法则1.2 一一对应1.3 排列与组合1.4 圆周排列1.5 排列的生成算法1.6 允许重复的组合与不相邻的组合1.7 组合意义的解释1.8 应用举例,47,1.5 排列的生成算法,全排列的生成算法就是对于给定的字符集，用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。,一种全排列算法：字典序法,48,1.5 字典序法,对给定的字符集中的字符规定了一个先后关系，在此基础上规定两个全排列的先后是从左到右逐个
20、比较对应的字符的先后。,例字符集1,2,3,较小的数字较先,这样按字典序生成的全排列是: 123,132,213,231,312,321。, 一个全排列可看做一个字符串，字符串可有前缀、后缀。,49,1.5 字典序法,1）生成给定全排列的下一个排列.所谓一个的下一个就是这一个与下一个之间没有其他的。这就要求这一个与下一个有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后缀上。,例 839647521是1-9的排列。19的排列最前面的是123456789，最后面的是987654321，从右向左扫描若都是增的，就到了987654321，也就没有下一个了。否则找出第一次出现下降的位置。,50,1.5
21、字典序法,求839647521的下一个排列,7 5 2 1,7,47,42,2,41,1,在后缀7521中找出比4大的数,7 5,找出其中比4大的最小数,5,5,4 、5 对换,8396 7 21,5,4,后缀变为7421,将此后缀翻转,12 4 7,接上前缀83965得到839651247 即839647521的下一个。,例22,为后缀,大于4的用橙色表示小于4的用绿色表示,找出比右边数字小的第一个数4,51,1.5 字典序法,一般而言，设P是1,n的一个全排列。,P=P1P2Pn=P1P2Pj-1PjPj+1Pk-1PkPk+1Pn,P= P1P2Pj-1PkPnPk+1PjPk-1Pj+
22、1即P的下一个,对换Pj，Pk，将Pj+1Pk-1PjPk+1Pn翻转，,j=maxi|PiPj,52,第一章排列组合,1.1 加法法则与乘法法则1.2 一一对应1.3 排列与组合1.4 圆周排列1.5 排列的生成算法1.6 可重排列和可重组合1.7 组合意义的解释1.8 应用举例,53,1.6 可重排列和可重组合,可重排列可重组合不相邻的组合组合的生成,54,1.6 多重集的排列和组合,多重集元素可以多次出现的集合，即元素可以重复。把某个元素ai出现的次数ni(ni=0,1,2,)称该元素的重复数，通常把含有k种不同元素的多重集S记作,55,1.6.1 可重排列,56,例23 求不多于4位数
23、的二进制数的个数.,解：所求的标志数是多重集2红旗，3黄旗的排列数，故N=5!/(2!*3!)=10,例24 用两面红旗，三面黄旗依次悬挂在一根旗杆上，问可以组成多少种不同的标志?,1.6.1 可重排列,57,例25 用字母A,B,C组成五个字母的符号，要求在每个符号里，A至多出现2次，B至多出现1次，C至多出现3次，求此类符号的个数。,解：符合题目要求的符号只有三种情况：2A,0B,3C， 1A,1B,3C，2A,1B,2C由定理2，得,58,总 结,4)若r n,则N = 0;,2)若r = n, 则 N=,3)若r n,则N = 0;2)若r = n, 则 N=13)若r n ,且对所有
24、的i, , 则N=C(k+r-1,r)4）若r 1,有C(n-1,r)种方案,3. （递推关系） C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1),1.7 组合恒等式及组合意义的解释,70,a1=1, a2an+1取自2,n+r+1 有C(n+r, n)种取法, ,方法1：利用恒等式3方法2：从n+r+1元集合取n+1个元素的组合数取a1a2anan+1,设a1a2an an+1,按a1的取值分类：a1=1,2,3,r,r+1.,a1=2, a2an+1取自3,n+r+1 有C(n+r-1, n )种取法,a1=r, a2an+1取自r+1,n+r+1 有C(n+1, n )种取法,a1=
25、r+1, a2an+1取自r+2,n+r+1 有C(n, n)种取法,1.7 组合恒等式及组合意义的解释,71,选政治局,再选常委,n个中央委员选出k名政治局委员,再从其中选出r名常委选常委,再选非常委政治局委员,两种选法都无遗漏,无重复地给出可能的方案，应该相等。,1.7 组合恒等式及组合意义的解释,72,等式右边可以看作是m个男生n个女生，一男一女的组合数，易知为mn等式左端是从n+m个人中取2人的组合减去纯从女生中取2人的组合和纯从男生中取2人的组合，余下的即为一男一女的组合,6. C(m+n,2)C(m,2)C(n,2)=mn,1.7 组合恒等式及组合意义的解释,73,7. C(m,0) C(m,1) + C(m,m)=0,1.7 组合恒等式及组合意义的解释,74,即Vandermonde恒等式从m个互异红球和n个互异蓝球中取r个球,按r个球中红球的个数分类.,1.7 组合恒等式及组合意义的解释,75,1.7 组合恒等式及组合意义的解释,76,第一章排列组合,1.1 加法法则与乘法法则1.2 一一对应1.3 排列与组合1.4 圆周排列1.5 排列的生成算法1.6 可重排列和可重组合1.7 组合意义的解释1.8 应用举例,
