1、线线线性性性代代代数数数总总总结结结第第第一一一章章章行行行列列列式式式一一一.行行行列列列式式式的的的定定定义义义定定定义义义把n2个数aij(i = 1,n;j = 1,n)排成n行n列,按照下式D =a11 a12 . a1na21 a22 . a2n. . . .an1 an2 . ann=(1) i1i2ina1i1a2i2anin计算得到的一个数,称为n阶行列式,简记为D = det(aij)或D =|aij|,其中 表示对所有n元排列求和.注注注：1此和式共有n!项；2每一项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积；3每一项的正负由列下标排列的奇偶性决定。要要要点点点：1.如何写出上
2、述和式中的所有项：即n元排列的所有可能组合；2.如何判断每一项的符号：计算一个排列的逆序数判断一个排列的奇偶性判断行列式中任一项的正负。二二二.行行行列列列式式式的的的性性性质质质性性性质质质1.行列式与它的转置行列式相等,即D = DT.性性性质质质2.互换行列式两行，行列式变号，记作rirj.推论1.若行列式的任意两行相同,则行列式为0;推论2.若行列式的任意两行成比例,则行列式为0.性性性质质质3.行列式某一行所有元素都乘以同一数k，等于用k乘此行列式，记作rik.1性性性质质质4.若行列式中某一行是两组数的和,则这个行列式等于两个行列式之和,其中这两个行列式分别以这两数为该行,而其余各
3、行与原行列对应各行相同.即a11 a12 . a1n. . . .ai1 + bi1 ai2 + bi2 . ain + bin. . . .an1 an2 . ann=a11 . a1n. .ai1 . ain. .an1 . ann+a11 . a1n. .bi1 . bin. .an1 . ann性性性质质质5.把行列式的第j行元素的k倍加到第i行的对应元素上,行列式的值不变.即a11 a12 . a1n. . . .ai1 ai2 . ain. . . .aj1 aj2 . ajn. . . .an1 an2 . ann=a11 a12 . a1n. . . .ai1 + kaj1 a
4、i2 + kaj2 . ain + kajn. . . .aj1 aj2 . ajn. . . .an1 an2 . ann记作ri + krj.注注注:上述所有性质对列同样成立.相应的运算符号可记为ci cj;cik;ci + kci.要要要点点点：应用行列式的性质简化行列式的计算。三三三.行行行列列列式式式的的的计计计算算算（一）用定义计算行列式.（二）用性质计算行列式.1.直接利用行列式的性质可计算行列式的值为0.2注注注:这种问题常常可以利用行列式的下列性质:(i)若行列式中有一行(列)的元素全为0,则行列式为0.(ii)若行列式中有两行(列)相同,则行列式为0.(iii)若行列式中有
5、两行(列)成比例,则行列式为0.2.利用性质消零化三角形.以主对角线为轴的上/下三角形行列式：a11 a12 . a1;n1 a1n0 a22 . a2;n1 a2n. . . .0 0 0 ann=a11 0 . 0 0a21 a22 . 0 0. . . .an1 an2 an;n11 ann= a11a22ann以副对角线为轴的上/下三角形行列式：a11 a12 . a1;n1 a1na21 a22 . a2;n1 0. . . .an1 0 0 0=0 0 . 0 a1n0 0 . a2;n1 a2n. . . .an1 an2 an;n1 ann= (1)n(n 1)2 a1na2;
6、n1an1几种特殊形式的行列式:(a)各行(列)元素之和均相等的行列式.方法：把各列(行)都加到第1列(行),并提出第1列(行)的公因子,则第1列(行)各元素全化成了1,然后再进一步进行化零运算.(b)箭形行列式.方法：若主对角线上元素全不为零，则将每一列的ai1aii倍加至第一列，则行列式化为三角形行列式；若主对角线上某元素为零，如aii = 0，则将行列式按第i行展开即可.3(c)分块对角行列式和分块上(下)三角行列式.基本结论：D1D2.Dm= D1D2Dm;D1 A BD2 C0 D3= D1D2D3.(D1,D2,Dm是任意阶行列式).（三）行列式按行（列）展开法则.akiAkj =
7、 Dij =D,当i = j时；0,当i= j时.注注注:利用这一法则,使高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算,因此也称其为降阶法.这是计算高阶行列式的一个基本方法.4第第第二二二章章章矩矩矩阵阵阵及及及其其其运运运算算算一一一.矩矩矩阵阵阵的的的概概概念念念定定定义义义由mn个数排成m行n列矩行的表a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann称为一个mn矩阵，记作A.其中aij称为第i行第j列元素。几种特殊形式的矩阵:(a)零矩阵：所有元素均为零。(b)对角矩阵：对角线上元素不全为零，对角线以外元素全部为零，记作A = diag(a11,a22,ann)。单位矩阵：
8、En = diag(1,1,1)纯量矩阵：A = diag(c,c,c)(c)上/下三角矩阵(d)行/列矩阵：只有一行或只有一列的矩阵。二二二.矩矩矩阵阵阵的的的运运运算算算（一）矩阵的加法：C = AB = (aijbij)mn.N运算规律:设A,B,C是同型矩阵，则(i) A + B = B + A ;（加法交换律）(ii) (A + B) + C = A + (B + C) ;（加法结合律）(iii) A + O = O + A = A ,其中O与A同型;（零矩阵的作用）(iv) A + (A) = 0. (负矩阵的作用)（二）矩阵的数乘：A = (aij)mn.N运算规律:(v) 1A
9、 = A, 0A = 0;5(vi) ()A = (A); (关于数乘因子满足结合律）(vii) ( + )A = A + A; (关于数乘因子满足分配律）(viii) (A + B) = A + B. (关于矩阵满足分配律）（三）矩阵的乘法：设A = (aij)ms,B = (bij)sn，则C = AB =(cij)mn，其中cij = ai1b1j + ai2b2j + aisbsj。注注注：1只有当左矩阵的列数=右矩阵的行数“时,两矩阵才能相乘且乘积矩阵的行数=左矩阵的行数；乘积矩阵的列数=右矩阵的列数“.2特殊地，行矩阵与的列矩阵的乘积是一个数,即:(ai1 ai2 ais)b1jb
10、2j.bsj= ai1b1j + ai2b2j + aisbsj.3一般情况下, AB= BA：(i) AB与BA其中之一没有意义;(ii) AB与BA都有意义，但不同型；(iii) AB与BA同型，但不相等。4消去律不成立。N运算规律:(i) EmAmn = AmnEn = Amn; (单位矩阵的作用)(ii) OA = AO = O; (零矩阵作用）(iii) (AB)C = A(BC); (乘法结合律)(iv) (AB) = (A)B = A(B); (数因子的位置任意)(v)(A + B)C = AC + BC, A(B + C) = AB + AC. (分配率)（四）矩阵的幂与多项式
11、：设AMn，则Ak+1 = AkA, k = 1,2,f(A) = anAn + an1An1 + a1A + a0I.6N运算规律:(i) AkAl = Ak+l;(ii) (Ak)l = Akl.注注注：由于矩阵乘法不满足交换律,所以下列等式未必成立: (AB)k =AkBk, (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (其中A,B为n阶方阵，k为正整数)。（五）矩阵的转置：设A = (aij)mn，则AT = (aji)nm.N运算规律:(i) (AT)T = A;(ii) (A + B)T = AT + BT;(iii) (A)T = AT;(iv) (AB)T = BTAT,
12、 (A1A2Am)T = ATmATm1AT2 AT1 .对称/反对称矩阵：设A Mn。若AT = A，则称A为对称矩阵;若AT =A,则称A为反对称矩阵.要要要点点点：利用对称/反对称矩阵的定义证明给定某个形式的矩阵是对称或反对称的。（六）矩阵的行列式：由n阶矩阵A = (aij)nn的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵A的行列式，记为|A|或detA。N运算规律:(i)|AT|=|A|;(ii)|A|= n|A|;(iii)|AB|=|BA|=|A|B|.伴随矩阵：行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的矩阵A =A11 A21 An1A12 A22 An2 A1n
13、A2n Ann7称为A的伴随矩阵.N性质: AA = A =|A|E.要要要点点点：利用这一性质证明矩阵、伴随矩阵与逆矩阵之间的关系。（七）矩阵的初等变换定定定义义义矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。其中初等行变换分别包含以下三种：(i)对称变换：互换矩阵第i行与第j行的位置，记作rirj；(ii)数乘变换：用一个非零常数k乘矩阵的第i行，记作rik；(iii)倍加变换：将矩阵的第j行元素的k倍加到第i行上，记作ri + krj。把上述三种行变换换为列即三种初等列变换。定定定义义义单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，可分别记作E(i,j), E(i(k), E(i
14、j(k)。注注注：1单位矩阵E经初等行变换和初等列变换的对称变换和数乘变换所得的初等举证形式完全一样，即均是E(i,j), E(i(k)。但对于倍加变换，则不完全相同。具体地，初等矩阵E(ij(k)表示矩阵的第j行元素的k倍加到第i行上，或矩阵的第i列元素的k倍加到第j列。2初等矩阵都可逆且其逆矩阵也都是可逆矩阵，其逆阵为：E(i,j)1 =E(i,j); E(i(k)1 = E(i(1k); E(ij(k)1 = E(ij(k)定定定义义义若矩阵A经过初等变换化为矩阵B,则称A与B等价。N初初初等等等变变变换换换的的的性性性质质质（1）任意一个矩阵经过初等行变换一定可以化为行阶梯形矩阵和行最
15、简形矩阵，进一步通过初等列变换还可化为标准型。（2）设A是一个mn矩阵,对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶矩阵；对A施行一次列初等变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。8（3）设A是一个mn的矩阵，则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使PAQ = Er 00 0，即等价于标准形。（4）可逆矩阵A可表示成有限个初等矩阵的乘积。（5）若A是一个可逆的n阶矩阵，则A等价于单位矩阵En。要要要点点点：矩阵的初等变换可用于求解矩阵的秩、求解线性方程组，是矩阵两大运算之一。三三三.矩矩矩阵阵阵的的的秩秩秩定定定义义义设在矩阵A中有一个不等于0的阶子式D，且所有r + 1阶子式
16、(如果存在的话)全等于0，则称D为A的最高阶非零子式，并称其阶数r为矩阵A的秩，记作R(A) = r。注注注：矩阵的秩唯一，但最高阶非零子式并不唯一。N矩矩矩阵阵阵秩秩秩的的的性性性质质质（1）R(A + B)R(A) + R(B).（2）R(AB)minR(A),R(B).（3）设AMmn,B Mns，则R(AB) R(A) + R(B)n。特殊地，若AB = 0，则R(A) + R(B) 6 n。（4）maxR(A),R(B)6 R(A,B) 6 R(A) + R(B).（5）R( A 00 B) = R(A) + R(B).（6）初等变换不改变矩阵的秩。（7）设A,BMmn，则R(A)
17、= R(B)AsB.矩阵秩的求法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵,则行阶梯形矩阵中非零行的个数即该矩阵的秩。四四四.逆逆逆矩矩矩阵阵阵定定定义义义设AMn。如果存在B Mn，使AB = BA = E，则称矩阵A是可逆的(或满秩的，非奇异的)，并称B是A的一个逆矩阵。否则称A是不可9逆的(或降秩的，奇异的)。注注注：1若A可逆,则A的逆唯一。2 若AB = E(或BA = E)，则B = A1(或A = B1)。3 AB可逆的充分必要条件是A,B均可逆。4 若A可逆,可定义A0 = E,Ak = (A1)k。N运算规律:(i) (A1)1 = A;(ii) (A)1 = 1 A1;(iii)
18、 (AB)1 = B1A1,(A1A2An)1 = A1n A12 A11 ;(iv)|A1|= 1|A| =|A|1;(v) (A1)T = (AT)1。逆矩阵的求法：1.待定系数法2.用公式A1 = 1|A|A计算3.用定义4.用性质5.利用分块对角阵的逆矩阵公式：若Ai均可逆,则A = diag(A1,A2,As)可逆且A1 = diag(A11 ,A12 ,A1s )。6.利用分块三角阵的逆矩阵公式：若Aii (i = 1,2,s)均可逆，则A可逆且其逆仍是三角矩阵。特殊地，对于二阶分块三角矩阵 A11 0A21 A221= A111 0A122 A21A111 A1227.利用初等变
19、换：(A . E) = (E . A1).要要要点点点：关于逆矩阵的计算和证明。五五五.分分分块块块矩矩矩阵阵阵及及及其其其运运运算算算（一）分块矩阵的线性运算10（二）分块矩阵的乘法（三）分块对角矩阵的运算：设A = diag(A1,A2,As),B = (B1,B2,Bs)是分块对角矩阵,其中Ai,Bi (i = 1,2,s)均是同阶矩阵,则A + B = diag(A1 + B1,A2 + B2,A3 + B3)A = diag(A1,A2,As)AB = diag(A1B1,A2B2,AsBs)AT = diag(AT1 ,AT2 ,ATs )|A| = |A1|A2|As|（四）分块
20、三角矩阵的运算11第第第三三三章章章向向向量量量组组组的的的线线线性性性相相相关关关性性性一一一.线线线性性性相相相关关关性性性的的的概概概念念念（一）线性表示定定定义义义给定向量组A : a1,a2,am，对于任何一组实数k1,k2,km，称向量k1a1 + k2a2 + kmam为向量组a1,a2,am的线性组合，并称k1,k2,km为该线性组合的系数；若对向量b，存在一组数1,2,m，使b = 1a1+2a2+mam，则称b能由a1,a2,am线性表示。下述命题等价:(i) b能由a1,a2,am线性表示；(ii)方程组x1a1 + x2a2 + xmam = b有解；(iii) R(A
21、) = R(B),其中A = (a1,a2,am),B = (a1,a2,am,b)。注注注线性表示非齐次线性方程组“且线性表示的系数非齐次线性方程组的解“。（二）线性相关/线性无关定定定义义义给定向量组A : a1,a2,am，若存在不全为零的数k1,k2,km,使k1a1 + k2a2 + kmam = 0，则称向量组a1,a2,am是线性相关的，否则称为线性无关。下述命题等价:(i)向量组a1,a2,am线性相关（线性无关）；(ii)齐次线性方程组Ax = 0有非零解（只有零解），其中A =(a1,a2,am),x = (x1,xm)T；(iii) R(A) s，则向量组A线性相关。(2
22、)若向量组A : a1,a2,am能由向量组B : b1,b2,bs线性表示且A组线性无关,则ms。(3)等价的线性无关的向量组有相同个数的向量。(4)若矩阵A经过初等行变换化为矩阵B，则A的列向量组与B对应的列向量组有相同的线性关系。（二）向量组的秩定定定义义义设有向量组A。如果A中能选出r个向量a1,a2,ar满足：(i)向量组A0 : a1,a2,ar线性无关；(ii)向量组A中任意r + 1个向量都线性相关( A组中每一个向量均可由A0组线性表示)。则称向量组A0是向量组A的一个最大极大线性无关向量组(简称最大无关组)，并称r为向量组的秩。注注注：1一个线性无关向量组的最大无关组就是这
23、个向量组本身。2向量组的最大无关组一般不是唯一的。3一个向量组中任两个最大无关组所含向量个数是唯一的。N性质：(1)两个等价的向量组的秩相等。(2)若向量组B可由向量组A线性表示,则向量组B的秩不大于向量组A的秩。(3)矩阵A的秩=行向量组的秩=列向量组的秩。(4)设Cmn = AmsBsn，则R(C)R(A), R(C)R(B)。四四四.向向向量量量空空空间间间定定定义义义设V是数域F上的n维向量构成的非空集合且满足:(i)若a,bV，则a + bV；14(ii)若aV,F，则aV .称集合V为数域F上的向量空间.若数域F为实(复)数域,则称V为实(复)向量空间.定定定义义义设V为向量空间,
24、如果存在r个向量a1,a2,ar V满足:(i) a1,a2,ar线性无关；(ii) V中任一向量都可由a1,a2,ar线性表示.则称向量组a1,a2,ar为向量空间V的一组基，称r为向量空间V的维数，记作dimV = r.N若向量组a1,a2,ar是向量空间V的一个基，则V可表示为V =x = 1a1 + 2a2 + rar|1,r R.15第第第四四四章章章线线线性性性方方方程程程组组组一一一.齐齐齐次次次线线线性性性方方方程程程组组组Ax = 0N解解解的的的判判判别别别设AMm;n,xRn,则(1)若m = x1y1 + x2y2 + xnyn为向量x与y的内积。(ii)称x= x21
25、 + x22 + x2n为向量x的长度。(iii)若x= 0,y= 0，则称 = arccos x y为向量x与y的夹角。N内内内积积积的的的性性性质质质（1）=（交换性）;（2）= ;= + （线性）.（3）0且= 0当且仅当x = 0（非负性）.（4）2（Schwarz不等式）.N长长长度度度的的的性性性质质质（1）x0且x= 0当且仅当x = 0（非负性）.（2）x=|x（绝对齐次性）.（3）x + yx+x（三角不等式）.定定定义义义设n维向量x = (x1,x2,xn)T, y = (y1,y2,yn)T.若= 0，则称向量x与y正交；并称一组两两正交的非零向量组为正交向量组；又若每
26、一向量是单位向量，则称该向量组为标准正交向量组。若向量空间V的一组基e1,e2,er为标准正交向量组，则称之为规范正交基。N正正正交交交向向向量量量组组组的的的性性性质质质（1）正交向量组必线性无关。（2）若a1,a2,an为标准正交向量组，则=1,当i = j时,0,当i= j时.19（3）若e1,e2,er为规范正交基，则aV，必有a = 1e1 + 2e2 + rer,i =, i = 1,2,r.N Schimidt正交化过程定定定义义义设n阶矩阵A满足ATA = E，则称矩阵A为正交矩阵；若线性变换y = Ax的系数矩阵A为正交矩阵，则称该线性变换为正交变换。N正正正交交交矩矩矩阵阵
27、阵和和和正正正交交交变变变换换换的的的性性性质质质（1）A为正交矩阵AT = A1 A的列向量组为标准正交向量组。（2）正交变换保持几何形状不变。二二二.特特特征征征值值值与与与特特特征征征向向向量量量定定定义义义设AMn.若存在数与n维非零向量x，使得Ax = x，则称数为方阵A的特征值，并称非零向量x为A的关于特征值的特征向量。N特特特征征征值值值与与与特特特征征征向向向量量量的的的求求求解解解步步步骤骤骤（i）求出特征方程f() =|AE|= 0的所有解1,2,n.其中所有f() = 0的r重根对应A的r个相同的特征值；（ii）分别对每个特征值i，求出齐次线性方程组(AiE)x = 0的
28、基础解系i1,i2,imi；（iii）A的对应于i的全体特征向量为k1i1 + k2i2 + kiimi.N特特特征征征值值值与与与特特特征征征向向向量量量的的的性性性质质质（1）不同的特征值对应的特征向量必线性无关。（2）1 + 2 + n = a11 + a22 + ann,12n =|A|.三三三.相相相似似似矩矩矩阵阵阵定定定义义义设A, B Mn.若存在可逆矩阵P，使P1AP = B，则称矩阵A与B相似。N相相相似似似矩矩矩阵阵阵的的的性性性质质质20（1）设A, BMn.若A与B相似，则Am与Bm相似，其中m为正整数；若A与B相似，则f(A)与f(B)相似；若A与B相似且A可逆，则
29、B也可逆且A1与B1相似；若Ai与Bi, i = 1,2,s相似，则diagA1,A2,As与diagB1,B2,Bs相似.（2）设矩阵A与B相似，则 R(A) = R(B)；|A|=|B|；A与B的特征值相同。N相相相似似似对对对角角角化化化问问问题题题（一）对于一般方阵：（1）n阶矩阵A与对角矩阵 相似 A有n个线性无关的特征向量A的每一个ti重特征值i对应ti个线性无关的特征向量。（2）若n阶矩阵A的n个特征值互不相同，则A与对角矩阵 相似。（二）对于对称矩阵：（1）对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交。（2）设AMn，是A的r重特征值，则R(AE) = nr，从而对应于特征值恰有r个
30、线性无关的特征向量。（3）对称矩阵A必可相似对角化，即存在正交矩阵P，使P1AP =，其中 是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。要要要点点点：给定一个对称矩阵，如何找到正交矩阵P及对角矩阵 ，使P1AP = 。四四四.二二二次次次型型型（一）二次型与标准形定定定义义义称二次齐次多项式f(x) = xTAx为二次型，其中A = (aij)nn为对称矩阵，称为二次型f(x)的矩阵。称只含平方项的二次型f(y) =211y21 + 2y22 + ny2n = yT y为标准形。注注注：二次型f(x)与其矩阵A一一对应。N二二二次次次型型型化化化标标标准准准形形形问问问题题题对对对称称称矩矩矩阵阵
31、阵相相相似似似对对对角角角化化化问问问题题题要要要点点点：给定一个二次型f(x) = xTAx，如何找到正交变换y = Px，将其化为标准形f(y) = yT y。（二）正定二次型定定定义义义设实二次型f(x) = xTAx.若对任何x = 0，都有f(x) 0，则称f(x) = xTAx为正定二次型；若对任何x = 0，都有f(x) 0，则称f(x) = xTAx为半正定二次型；若对任何x = 0，都有f(x) 0，则对任意随机事件A，称P(A|B) =P(AB)P(B)为已知事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。乘乘乘法法法公公公式式式P(B) 0P(AB) = P(A|B)P(B);
32、P(A) 0P(AB) = P(A)P(B|A).24推广：P(A1A2) 0 P(A1A2A3) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A2A1);P(A1A2An) 0 P(A1A2An) = P(A1)P(A2|A1)P(An|An1A1).全全全概概概率率率公公公式式式设事件A1,A2,An两两互斥且满足A1 + A+ An = U, P(Ai) 0 (i = 1,2,n)，则对任一事件B，有P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + P(An)P(B|An)=ni=1P(Ai)P(B|Ai).Bayes公公公式式式设事件A1,A2,An两两互斥且满足A
33、1 + A+ An = U, P(Ai) 0 (i = 1,2,n)，则对任一事件B，有P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai)ni=1 P(Ai)P(B|Ai).注注注：称P(A1),P(A2),P(An)为验前概率，P(A1|B),P(A2|B),P(An|B)为验后概率。Bernoulli概概概型型型与与与二二二项项项概概概率率率公公公式式式若试验E只有两个可能的结果：A与 A，并设P(A) = p, P( A) = q =1 p。把E独立地重复n次构成的新的试验称为n重Bernoulli试验。记Pkn(A)为n重Bernoulli试验中事件A发生k次的概率，则Pkn(A) = Ck
34、npkqnk,称之为二项概率公式。要要要点点点：熟练掌握如何运用上述四个公式计算事件的概率。定定定义义义设A, B为任意两个事件。若P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。25注注注：1必然事件U、不可能事件与任一事件均是相互独立的；2相互独立;:互斥。26第第第二二二部部部分分分随随随机机机变变变量量量定定定义义义设是一个随机变量。对于实轴上任意一个集合S，S为一个随机事件。称PS为随机变量的分布；特殊地，若取S = (,x)，则称F(x) = P 0)数学期望：E = a方差：D = 2要要要点点点：掌握如何验证函数(x)为正态分布的分布密度，以及具体推导正态分布的数学期望和方差。30
