1、工程数学考试最后一道题：论述网络优化中的主要问题及相应算法。答：1、最短路问题定义：设 G 是一个权图，路 P 的权 w(P)称为 P 的长度，两点 u，v 之间最短路的长度称为 u，v 之间的距离，记为 (u，v )，即不 连 通连 通路是 vd,-),(|)min,0),(定义：设 G 是一个权图，u0V(G)，SV(G)，u0 到 S 内各点的所有路中长度最小者，称为 u0 到 S 的最短路，其长度称为 u0 到 S 的距离，记为(u0， S)讨论最短路问题：1) 假设 G 是简单图。2) 因为当 w(uv)时，我们认为 u，v 重合，所以我们不妨假定所有边的权均为正数。根据假设，具体算
2、法有：Dijkstra 算法：假设 S 是 V 的真子集，u 0S，令 SVS，若 Pu 0 是从 u0 到 S的v最短路，则显然 ， ，且 P 的(u 0， )节必然是最短 (u0， )路，所以v)(,(min),),(0,0 vwudPwudSvu利用该公式，便可按如下过程求最短路首先，确定距 u0 最近的一个顶点令 S0u 0 ，由于距 u0 最近的顶点必为 u0 的邻点，故只需求出 u1 使w(u0u1)minw(u 0v)|v ，即 u0u1 是与 u0 关联的最短边，显然，u 0u1 便是最短(u 0，u 1)-路又令S1u 0，u 1 ，且用 P1 表示路 u0u1，一般地，若S
3、k u0，u 1，u k以及相应的最短路 P1，P 2，P k 已经确定，则可用(1)式来计算 ，并选取顶点 uk+1 使 d(u0，u k+1) 这时，),(SdS),(0Sdd(u0，u k+1)d(u 0，u j)w(u juk+1)对某个 k 成立将边 uj uk+1 连接到路 Pj 上，即得最短(u 0，u k+1)-路 Pk+1，再令 Sk+1u 0，u 1， ，u k，u k+1 ，这样一直下去，直到 ，即可求出 u0 到 G 中任意一点的最短路S2、最小生成树问题Kruskal 算法：Kruskal 算法的直观思想便是设有赋权图 G，首先找到 G 的权最小的边，并取出来。然后，
4、在剩下的边中再找出权最小且与已选出的边不构成回路的，再把它取出来，一直下去，直到选不出边在上述过程中，我们得到的图是无回路的。进一步地，我们可证明我们最终得到的是一棵最小生成树。设 G 是简单连通权图，w 是其权函数。(1) 选取 G 的一边 e1，使 w(e1)minw (e)|eE，令 E1e 1 ，(2) 若已选出 Eie 1，e i ，那么，从 EE i 中选取一边 ei1 ，使() E ie i1 的导出子图中不含回路；() w(e i1 )min w(e)| eEE i , Ei e的导出子图无回路(3) 若 ei1 存在，令 Ei1 E ie i1 ，i1i，转(2)；若 ei1
5、 不存在，则输出 Eie 1，e i ，算法停止。可以证明，如上算法所得到的边集的导出子图 T*(就称其为算法得到的子图) ，即为 G 的最小生成树。定理 Kruskal 算法得到的图 T*是 G 的最小生成树证明 由算法可知，T *必包含了 G 的所有顶点且是连通、无回路的，从而可知 T*是生成树因而，若设 G 有 n 个顶点，则 T*中也必有 n 个顶点，从而T*中必有 n 1 条边，于是， T*是边集 En1 e 1，e 2，e n1 的导出子图，这里，e 1，e 2，e n1 依次是算法产生的边下面用反证法证明 T*是最小生成树若不然，取所有最小生成树中与 T*具有最多公共边者为 T1
6、，则边集 E(T*) E(T1)，设 ek 是 T*中第一条不在 T1 中的边，即 e1，e 2，e k1 E(T 1)， E(T1)由树的性质，T 1e k 必有回路 C由于keT*中无回路， C 中的边必有不在 T*中者，设回路中的边 ek E(T*)，显然T2( T1e k) ek 也是一棵生成树，且w(T2)w(T 1)w (ek)w(e k)因为 e1，e 2，e k1 ，e k E(T1)，故这 k 条边不构成回路，由 Kruskal 算法中ek 的取法知 w(ek)w(e k)所以，w(T 2)w(T 1)，因此 T2 也是一棵最小生成树，且与 T*的公共边多于 T1，与 T1
7、的定义矛盾这样就证明了 T*必为最小生成树3、最大流问题设 N V，U为一个加权的有向图，权值为非负整数，若存在 X，Y V，满足 XY =，X 中所有顶点的入度均为 0，Y 中所有顶点的出度均为 0，则称有向图 N 为网络，并将 X 中的点称为源点，将 Y 中的点称为聚点（汇点） ，N 中其他顶点称为中间点，N 上的权函数 c 也称为容量函数一条弧ai，j的权值称为 a 的容量，记为 c(a)或 c()或 c(i,j)我们主要讨论|X|=|Y|=1 的情况，即假设网络中恰有一个源点 x 和一个聚点 y，并总是将中间点集合记为 I设 N V,U为恰含有一个源点和一个聚点的网络，f 为 N 的弧
8、集 U 上的实数值函数，V 1，V 2V，用V 1，V 2表示起点在 V1中，终点在 V2中的弧的集合，记，21,21)(),(Vaff当 V1=i时可以将 f(V1,V2)简记为 f(i,V2)定义 1 设 f 为网络 NV,U的弧集 U 上的实数值函数，如果函数 f满足(1) 容量约束：0f(i,j)c(i,j)， i，jU，(2) 守恒条件：f(i,V)f(V, i)， i I，则称函数 f 为网络 N 的一个容许流，简称为流；当 N 的源点为 x，聚点为 y 时，称 f(x,V)为流的值，简记为 f x, y由定义 2 可以证明 .,0,),(),( yifxifiVfifx定义 2
9、设函数 f 为网络 NV,U的一个流，a U，如果 f(a)=0，则称弧 a 是 f -零的；如果 f (a)0，则称弧 a 是 f 正的；如果 f (a) c (a)，则称弧 a是 f 不饱和的；如果 f (a)= c (a)，则称弧 a 是 f 饱和的4、最大匹配定义 1 设图 GV，E ，M E，如果 M 中任意两条边在 G 中均不相邻，则称 M 是 G 的一个匹配M 中一条边的两个端点称为在 M 下是配对的定义 2 若匹配 M 的一条边与顶点 v 关联，则称 M 饱和 v，或称 v 是 M-饱和的，否则称 v 是 M-不饱和的定义 3 如果 M 是 G 的一个匹配，对 G 的任意匹配
10、M ，有| M | | M |，则称 M 是 G 的最大匹配定义 4 设 M 是 G 的一个匹配，边在 E(G)- M 和 M 中交错出现的路称为M-交错路，起点和终点都是 M-不饱和点的 M-交错路称为 M-增广路定理 1 图 G 的一个匹配 M 是最大匹配的充要条件是 G 不包含 M-增广路证明 设 M 是 G 的一个最大匹配，若 G 包含一条 M-增广路v0v1v2v2m+1，设M = (M v 1v2，v 3v4，v 2m-1v2m) v0v1，v 2v3，v 2mv2m+1 ，显然，M E，且 M 是 G 的一个匹配因 |M | M|1，与 M 是最大匹配矛盾因而，G 不包含 M-增广路反之，设 G 不包含 M-增广路，若 M 不是最大匹配，令 M 是 G 的一个最大匹配，设 H 是由 M M 导出的 G 的子图，则 H 的每个顶点在 H 中的度只能是 1 或 2，因此 H 中的每一个分支或是一个边在 M 和 M 中交错的偶圈，或是边在 M 和 M 中交错的路由 | M |M| ，H 包含的 M 的边多于 M 的边，因此必有 H 中的一条路 P 开始于 M 的边且终止于 M 的边，故在 H 中被 M 所饱和的 P 的起点和终点在图 G 中就是 M-不饱和的，于是 P 是 G 的一条 M-增广路，矛盾因而，M 是最大匹配
