微积分知识

1、一、多元函数的微分学二元函数的定义设有两个独立的变量 x与 y在其给定的变域中 D中，任取一组数值时，第三个变量 z就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量 z称为变量 x与 y的二元函数。记作：z=f(x,y). 其中 x与 y称为自变量，函数 z也叫做因变量，自变量 x与 y的变域 D称为函数的定义域。关于二元函数的定义域的问题我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面.这样的部分在平面称为区域.围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边。

2、微积分基础知识09888,微积分入门,微积分入门基本公式,微积分基础知识,微积分基础知识讲解,微积分基本定理,高等数学 微积分 公式,高等数学微积分题库,高等数学微积分教学视频,高等数学(1)微积分答案。

3、1,9.4 重积分的应用,把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.,若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性,(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U 相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，,并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域,相应地部分量可近似地表示为,的形式,2,一、曲面的面积,3,设曲面的方程为：,如图，,4,曲面S的面积元素,曲面面积公式为：,5,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,6,7,解,如图建立坐标系,通讯卫星覆盖的曲面 是上半 球面被半顶角为 的圆锥面所 截得的部分，其。

4、 微积分与数学模型（上册）任课教师：陈骑兵小组成员张程 1440610405王子尧 1440610402李昊奇 1440610403梅良玉 1440610426方旭建 1440610406李柏睿 1440610428第 1 章 函数，极限与连续 1.1 函数的基本概念准备知识（掌握集合与区间的相关知识）函数定义：设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集。如果对于任意 x D， 按照某一法则 f，变量 y 都有确定的值和它对应，则称 f 为定义在 D 上的函数 ， 数集 D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量。与 x 对应的 y 的值记做 f(x)，称为函数 f 在 x 处的函数值。D 上所有的数值对。

5、导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微） ；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线） ；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型。2导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。3曲线的切线用割线的极限位置来定义了曲线的切线切线方程由曲线上的切点坐标确定，设为。

6、一、第一换元积分法(凑微分法).CxFCudgdxxg )()()()( 二、常用凑微分公式三、第二换元法,CxFCtdttfdxf )()()()( 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有a) 可令 ,2xa;sintaxb) 可令 ,;tc) 可令 ,2ax.sectax当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换 .tx1四、积分表续4.3 分部积分法xuxuxuaexubaxdxfdxxf xdfxdf xdfxdfaaeexdfdxf abxdafdxbafxxx arcsintcoansiln)(arcsin)(arcsin1)(arcsin.1 ttt0 co)(cs)(o.9 anean8 si7 i)(scos)(.6ln154 )(ln)(ln.3 012 )()()(.1法分积元。

7、定义：如果在点 x=x0具有任意阶导数，则幂级数称为在点 x0处的泰勒级数。 1 在泰勒公式中，取 x0=0，得到的级数 2 称为麦克劳林级数。函数的麦克劳林级数是 x 的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与的麦克劳林级数一致。 3 注意：如果的麦克劳林级数在点的某一邻域内收敛，它不一定收敛于 f（x）。因此，如果 f（x）在某处有各阶导数，则 f（ x）的麦克劳林级数虽然能算出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于 f（x）还需要进一步验证。一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一些奇点。但是如果变量 x 是负指数。

8、微积分基本知识第一章、 极限与连续一、 数列的极限1 数列定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数叫数列，记作 ，并吧每个数叫做数列的项，第 n 个数叫做数1,nx nx列的第 n 项或通项界的概念：一个数列 ，若 ， 对 ，都有 ，则称 是有界的：nx0M.st*NnxMnx若不论 有多大，总 ， ，则称 是无界的*mmx若 ，则 称为 的下界， 称为 的上界naxbanxbn有界的充要条件： 既有上界，又有下界2 数列极限的概念定义：设 为一个数列， 为一个常数，若对 ，总 , 当 时，有nxa0N.stn则称 是数列 的极限，记作 或anxlimnxa()数列有极限时，称该数列。

9、微积分 下 知识点 微积分下册知识点 第一章 空间解析几何与向量代数 一 向量及其线性运算 1 向量 向量相等 单位向量 零向量 向量平行 共线 共面 2 线性运算 加减法 数乘 3 空间直角坐标系 坐标轴 坐标面 卦限 向量的坐标分解式 4 利用坐标做向量的运算 设 则 5 向量的模 方向角 投影 1 向量的模 2 两点间的距离公式 3 方向角 非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 4 方向余弦 5。

10、1知识点归纳1. 求极限2.1 函数极限的性质 P35唯一性、局部有界性、保号性P34 的充分必要条件是：Axfx)(lim0fxffxf xx)0()0(lim002.2 利用无穷小的性质 P37：定理 1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 0)sin2(30lixx定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 0)1sin(0lmxx定理 3 无穷大的倒数是无穷小。反之，无穷小的倒数是无穷大。例如： , lix1235limx132502.3 利用极限运算法则 P412.4 利用复合函数的极限运算法则 P452.4 利用极限存在准则与两个重要极限 P47夹逼准则与单调有界准则， ， ，lim0xsn1li0xsn1lim0)(x)(sn12， ， ，lim0x。

11、高中微积分基本知识第一章、 极限与连续一、 数列的极限1 数列定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数叫数列，记作 ，并把每个数叫做数列的项，第 n 个数叫做数1,nx nx列的第 n 项或通项界的概念：一个数列 ，若 ， 对 ，都有 ，则称 是有界的：nx0M.st*NnxMnx若不论 有多大，总 ， ，则称 是无界的*mmx若 ，则 称为 的下界， 称为 的上界naxbanxbn有界的充要条件： 既有上界，又有下界2 数列极限的概念定义：设 为一个数列， 为一个常数，若对 ，总 , 当 时，有nxa0N.stn则称 是数列 的极限，记作 或anxlimnxa()数列有极限时，称该。

12、2018/11/19,力 学,数学预备知识A 微积分初步,本部分内容可参阅 赵凯华、罗蔚茵，新概念物理教程 力学“ 附录A 微积分初步”，高教社，2004年7月第2版 漆安慎、杜婵英，普通物理教程 力学“附录 数学知识”，高教社，2005年6月第2版,Page 2,函数 变量和常量,或,有两个变量 和 ，如果每当变量 取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定 的对应值，则称 是 的函数，记作,为自变量， 为因变量， 为函数记号。,例如,绝对常量：在一切问题中数值都是确定不变的量，如,任意常量：数值需要在具体问题中具体给定的量，如,Page 3,函数的图形,在物。

13、1第一章 函数一、本章提要基本概念函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数第二章 极限与连续一、本章提要1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点） ，第二类间断点.2.基本公式 (1) ，1sinlm0口 口口(2) ( 代表同一变量).e)(li0口口 口 口3.基本方法 利用函数的连续性求极限； 利用四则运算法则求极限； 利用两个重要极限求极限； 利用无穷小替换定理求极。

14、一、多元函数的微分学二元函数的定义设有两个独立的变量 x 与 y 在其给定的变域中 D 中，任取一组数值时，第三个变量 z 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量 z 称为变量 x 与 y 的二元函数。记作：z=f(x,y). 其中 x 与 y 称为自变量，函数 z 也叫做因变量，自变量 x 与 y 的变域 D 称为函数的定义域。关于二元函数的定义域的问题我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面.这样的部分在平面称为区域.围成区域的曲线称为区域的边界，边界。

15、一、多元函数的微分学二元函数的定义设有两个独立的变量 x 与 y 在其给定的变域中 D 中，任取一组数值时，第三个变量 z 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量 z 称为变量 x 与 y 的二元函数。记作：z=f(x,y). 其中 x 与 y 称为自变量，函数 z 也叫做因变量，自变量 x 与 y 的变域 D 称为函数的定义域。关于二元函数的定义域的问题我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面.这样的部分在平面称为区域.围成区域的曲线称为区域的边界，边界。

16、微积分基本知识,一、不定积分：,1、原函数： 如果f（x）是某一个函数F（x）的导数，则称F（x）是f（x）的原函数。2、什么叫积分？ 求解一个函数的原函数的运算叫做积分（或不定积分）。即：,3、常见函数的积分：（或原函数）,二、微分与定积分：,a,1、例题：求直线下的面积,x,如果我们取N趋近于无穷大的极限会得到什么结果呢？,N,这一个结果也可以用另外一个结论来表达：从前面的不定积分我们知道f（x）=kx的原函数为F（x）=kx2/2+C，显然有,2、定积分：,我们将,叫做f（x）在a到b区间的定积分。,定积分的几何意义：曲线下的面积,3、简单积。

17、4.1 不定积分的概念与性质,一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的几何意义三、不定积分的性质四、基本积分公式五、不定积分的求法,前面我们讨论了一元函数的微分学，它的基本问题是求已知函数的导数或微分。而在实际问题中，还会遇到与此相反问题，即已知一个函数的导数或微分，求此函数。 例如：已知作非匀速直线运动的物体在任意时刻 的速度 ，要求物体的运动方程： 。这类问题在数学中归结为求导运算的逆运算，我们称之为求函数的不定积分。,一、原函数与不定积分的概念,1.原函数： 设 是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函。

18、重温微积分,2. 曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,牛顿(1642 1727),伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数 (微分) 术 ,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .,莱布尼茨 (1646 1716),德国数学家, 哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人 ,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用。

19、1第一章极限与连续一、函数1、函数的定义与要素（定义域、对应法则；函数相等的条件）2、函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，有界性*单调性的定义（以递增为例）：上严格单调递增。在改为，则上单调递增；将在，则时，若f ffDxf DxfxfxfxxDxx )( )()()(, 212121 *有界的定义：上有界。在，则，都有，对于AxfMxfDAxM f )(|)(|0 （f(x)mR，则f(x)下有界；反之则上有界。只有既上有界又下有界的函数才是有界函数。）3、函数的运算：四则运算、复合运算、反函数*题型：判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。*反函数存在的可能情况：y与x。