1、重温微积分,2. 曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,牛顿(1642 1727),伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数 (微分) 术 ,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .,莱布尼茨 (1646 1716),德国数学家, 哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人 ,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早
2、于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿 .,他还设计了作乘法的计算机 ,系统地阐述二进制计,数法 ,并把它与中国的八卦联系起来 .,定义1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意:,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数 ,记为,或 y 偏导数存在 ,例1 . 求,解法1,解法2,在点(1 , 2) 处的偏导数.,先求后代,先代后求,例2. 设,证:,例3. 求,的偏导数 .,解:,求证,例2. 设,证:,例3. 求,的偏导数 .,解:,
3、求证,二、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,数:,例5. 求函数,解 :,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,第九章,一、方向导数,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、方向导数,定义: 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l (方向角为,) 存在下列极限:,记作,方向导数与偏导数有何关系？,1、偏导数存在能否推出沿任何方向的方向导数存在？,不能！,极限不存在！从而非坐
4、标轴方向的方向导数不存在！,偏导数存在只能说明沿坐 标轴方向的方向导数存在！,2、沿任何方向的方向导数存在能否推出偏导数存在？,不能！,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,且有,例1. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向导数 .,二、梯度,方向导数公式,令向量,1. 定义,即,同样可定义二元函数,称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:,向量,其中,称为向量微分算子或 Nabla算子.,备用题 1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x , y , z 具有轮换对称性,(1992 考研),高 斯 公 式,其中,为曲面,的外法线方向余弦,设向量场,定义向量场,的散度为：,则高斯公式可以写为,环流量与旋度,斯托克斯公式,设曲面 的法向量为,曲线 的单位切向量为,则斯托克斯公式可写为,引进一个向量,于是得斯托克斯公式的向量形式 :,旋度.,rotation,重要公式：,从而,偏导数开三度: 梯度、旋度、散度,梯度,散度,旋度,一统微积分，此式一出， 谁与争锋， 唯我独尊！,设,则,其中,为边界,的外法线方向。,Gauss-Green公式：,设,则,其中,为边界,的外法线方向。,格林公式,设,1、设,求它的梯度,作业,2、求,3、证明：,
