1、一、多元函数的微分学二元函数的定义设有两个独立的变量 x 与 y 在其给定的变域中 D 中，任取一组数值时，第三个变量 z 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量 z 称为变量 x 与 y 的二元函数。记作：z=f(x,y). 其中 x 与 y 称为自变量，函数 z 也叫做因变量，自变量 x 与 y 的变域 D 称为函数的定义域。关于二元函数的定义域的问题我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面.这样的部分在平面称为区域.围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭域，不
2、包括边界在内的区域称为开域。如果一个区域 D(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数 M，则称 D 为有界区域；否则称 D 为无界区域。常见的区域有矩形域和圆形域。如下图所示：例题：求 的定义域.解答：该函数的定义域为：x ,y0.二元函数的几何表示把自变量 x、y 及因变量 z 当作空间点的直角坐标，先在 xOy 平面内作出函数 z=f(x,y)的定义域 D；再过 D 域中得任一点M(x,y)作垂直于 xOy 平面的有向线段 MP,使其值为与(x,y)对应的函数值 z；当 M 点在 D 中变动时，对应的 P 点的轨迹就是函数 z=f(x,y)的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域
3、D 就是此曲面在 xOy 平面上的投影。二元函数的极限及其连续性在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数 z=f(x,y)我们同样可以学习当自变量x 与 y 趋向于有限值 与 时，函数 z 的变化状态。在平面 xOy 上，(x,y)趋向(,)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果当点(x,y)以任意方式趋向点(,)时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数 A，那末就称 A 是二元函数 f(x,y)当(x,y)(,)时的极限。这种极限通常称为二重极限。下面我们用 - 语言给出二重极限的严格定义：二重极限的定义如果定义于(,)的某一去心
4、邻域的一个二元函数 f(x,y)跟一个确定的常数 A 有如下关系：对于任意给定的正数 ，无论怎样小，相应的必有另一个正数 ，凡是满足的一切(x,y)都使不等式成立，那末常数 A 称为函数 f(x,y)当(x,y)(,)时的二重极限。正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则：二重极限的运算法则如果当（x,y)(,)时，f(x,y)A，g(x,y)B.那末(1)：f(x,y)g(x,y)AB；(2)：f(x,y) .g(x,y)A .B；(3)：f(x,y)/g(x,y)A/B；其中 B0像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义：二元函数的连续性如果当点(x,y)趋向
5、点(x 0,y0)时，函数 f(x,y)的二重极限等于 f(x,y)在点(x 0,y0)处的函数值 f(x0,y0)，那末称函数f(x,y)在点(x 0,y0)处连续.如果 f(x,y)在区域 D 的每一点都连续，那末称它在区域 D 连续。如果函数 z=f(x,y)在(x 0,y0)不满足连续的定义，那末我们就称(x 0,y0)是 f(x,y)的一个间断点。关于二元函数间断的问题二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。例题：求下面函数的间断线解答：x=0 与
6、y=0 都是函数 的间断线。偏导数在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的“变化率“。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多.在 xOy 平面内，当变点由(x 0,y0)沿不同方向变化时，函数 f(x,y)的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要研究 f(x,y)在(x 0,y0)点处沿不同方向的变化率。在这里我们只学习(x,y)沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时 f(x,y)的变化率。偏导数的定义设有二元函数 z=f(x,y)，点(x 0,y0)是其定义域 D 内一点.把 y 固定在 y0 而让 x 在 x0 有增量x，相应地函数z=
7、f(x,y)有增量(称为对 x 的偏增量) xz=f(x0+x)-f(x 0,y0).如果 xz 与x 之比当x0 时的极限存在，那末此极限值称为函数 z=f(x,y)在(x 0,y0)处对 x 的偏导数。记作：f x(x0,y0)或关于对 x 的偏导数的问题函数 z=f(x,y)在(x 0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数 z=f(x,y0)在 x0处的导数同样，把 x 固定在 x0,让 y 有增量y,如果极限存在，那末此极限称为函数 z=(x,y)在(x 0,y0)处对 y 的偏导数.记作 fy(x0,y0)或偏导数的求法当函数 z=f(x,y)
8、在(x 0,y0)的两个偏导数 fx(x0,y0)与 fy(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y)在(x 0,y0)处可导。如果函数 f(x,y)在域 D 的每一点均可导，那末称函数 f(x,y)在域 D 可导。此时，对应于域 D 的每一点(x,y)，必有一个对 x(对 y)的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y)对 x(对 y)的偏导函数。简称偏导数。例题：求 z=x2siny 的偏导数解答：把 y 看作常量对 x 求导数，得把 x 看作常量对 y 求导数，得注意：二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。例题：求 的偏导数。解答：我们根据二元函数
9、的偏导数的求法来做。把 y 和 z 看成常量对 x 求导，得 .把 x 和 z 看成常量对 y 求导，得 .把 x 和 y 看成常量对 z 求导，得 .高阶偏导数如果二元函数 z=f(x,y)的偏导数 fx(x,y)与 fy(x,y)仍然可导，那末这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y)的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f“xx，f“xy，f“yx，f“yy.注意：f“xy 与 f“yx 的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导.当 f“xy 与 f“yx 都连续时，求导的结果于求导的先后次序无关。例题：求函数
10、 的二阶偏导数.解答： ， ，全微分我们已经学习了一元函数的微分的概念了，现在我们用类似的思想方法来学习多元函数的的全增量，从而把微分的概念推广到多元函数。这里我们以二元函数为例。全微分的定义函数 z=f(x,y)的两个偏导数 fx(x,y),fy(x,y)分别与自变量的增量x,y 乘积之和fx(x,y)x+f y(x,y)y若该表达式与函数的全增量z 之差，当 0 时，是 ( )的高阶无穷小，那末该表达式称为函数 z=f(x,y)在(x,y)处(关于x,y)的全微分。记作：dz=f x(x,y)x+f y(x,y)y注意：其中z=f x(x,y)x+f y(x,y)y+，( 是当 0 时的无
11、穷小)注意：在找函数相应的全增量时，为了使z 与偏导数发生关系，我们把由(x 0,y0)变到(x 0+x,y 0+y)的过程分为两部：先由点(x 0,y0)变到点(x 0,y0+y)，再变到点(x 0+x,y 0+y).其过程如下图所示：例题：求 的全微分解答：由于 ，所以关于全微分的问题如果偏导数 fx(x,y),fy(x,y)连续，那末 z=f(x,y)一定可微。多元复合函数的求导法在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。我们先以二元函数为例：多元复合函数的求导公式链导公式：设 均在(x,
12、y)处可导,函数 z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数,那末,复合函数 在(x,y)处可导,且有链导公式：例题：求函数 的一阶偏导数解答：令由于而由链导公式可得：其中上述公式可以推广到多元，在此不详述。一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。全导数由二元函数 z=f(u,v)和两个一元函数 复合起来的函数 是 x 的一元函数.这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数 ,称为全导数.此时的链导公式为:例题：设 z=u2v，u=cosx，v=sinx，求解答：由全导数的链导公式得：
13、将 u=cosx，v=sinx 代入上式，得：关于全导数的问题全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。多元函数的极值在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。二元函数极值的定义如果在(x 0,y0)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式：f(x,y)f(x 0,y0)成立，那末就称函数 f(x,y)在点(x 0,y0)处取得极大值 f(x0,y0)；如果恒有等式：f(x,y)f(x 0,y0)成立，那末就称函数 f(x,y)在点(x 0,y0)处取得
14、极小值 f(x0,y0).极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x 0,y0)称为极值点.二元可导函数在(x 0,y0)取得极值的条件是： .注意：此条件只是取得极值的必要条件。凡是使 的点(x,y)称为函数 f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点。二元函数极值判定的方法设 z=f(x,y)在(x 0,y0)的某一邻域内有连续的二阶偏导数.如果 ，那末函数 f(x,y)在(x 0,y0)取得极值的条件如下表所示：=B 2-AC f(x0,y0)A0 时取极大值0A0 时取极小值0 非极值=0 不定其中例题：求 的极值。解答：设 ,则， .解方程组 ，得驻点(
15、1,1),(0,0).对于驻点(1,1)有 ,故B2-AC=(-3)2-6.6=-270，A=60因此， 在点(1,1)取得极小值 f(1,1)=-1.对于驻点(0,0)有 ,故B2-AC=(-3)2-0.0=90因此， 在点(0,0)不取得极值.多元函数的最大、最小值问题我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。如下：a)：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域；b)：求出驻点；c)：结合实际意义判定最大、最小值.例题：在平面 3x+4y-z=26 上求一点，使它与坐标原点的距离最
16、短。解答：a)：先建立函数关系,确定定义域求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方最小的问题.但是 P 点位于所给的平面上,故 z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我们所需的函数关系:,-x+,-y+b)：求驻点解 得唯一驻点 x=3，y=4.由于点 P 在所给平面上,故可知z=-1 c)：结合实际意义判定最大、最小值由问题的实际意义可知，原点与平面距离的最小值是客观存在的，且这个最小值就是极小值.而函数仅有唯一的驻点.所以，平面上与原点距离最短的点为 P(3,4,-1).从上例我们可以看出，上面函数关系也可看成是：求三元函数，在约束条件3x+4y-z=26下的最小值.一个多元
17、函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值。二、多元函数的积分学二重积分的定义设 z=f(x,y)为有界闭区域()上的有界函数：(1)把区域()任意划分成 n 个子域( k)(k=1,2,3,n）,其面积记作 k(k=1,2,3,n）；(2)在每一个子域( k)上任取一点 ，作乘积 ；(3)把所有这些乘积相加,即作出和数(4)记子域的最大直径 d.如果不论子域怎样划分以及 怎样选取,上述和数当 n且 d0 时的极限存在,那末称此极限为函数 f(x,y)在区域()上的二重积分.记作:即： =其中 x 与 y 称为积分变量，函数 f(x,y)称为被积函数,f(x,y)d 称为被积表达式,()称为
18、积分区域.关于二重积分的问题对于二重积分的定义,我们并没有 f(x,y)0 的限.容易看出,当 f(x,y)0 时,二重积分 在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以()为底且母线平行于 z 轴的曲顶柱体的体积。上述就是二重积分的几何意义。如果被积函数 f(x,y)在积分区域()上连续，那末二重积分 必定存在。二重积分的性质(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.(3).如果把积分区域()分成两个子域( 1)与( 2),即()=( 1)+( 2),那末:(4).如果在()上有 f(x,y)g(x,y),那末:(5).
19、设 f(x,y)在闭域()上连续,则在()上至少存在一点(,),使其中 是区域()的面积.二重积分的计算法直角坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。也就是先把 x 看成常量，对 y 进行积分，然后在对 x 进行积分，或者是先把 y 看成常量，对 x 进行积分，然后在对 y 进行积分。为此我们有积分公式，如下：或 在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？累次积分上下限的确定方法我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域()内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于 y 轴(或 x 轴)的直线,且此直线交()的边界不超过两点，那末称()为沿 y 轴(x 轴)方向的正规
20、区域.如果()即是沿 y 轴方向也是沿 x 轴方向的正规区域,那末()就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:关于累次积分上下限的取法如下所述:(1).如果()为沿 y 轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对 y 再对 x 的累次积分.其中对 y 的积分下限是()的下部边界曲线所对应的函数 y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数 y2(x).对 x 的积分下限与上限分别是()的最左与最右点的横坐标 a 与 b.(2).如果()为沿 x 轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对 x 再对 y 的累次积分.其中对 x 的积分下限是()的左部边界曲线所对应的函数 x1(y)，积分上限是右部
21、边界曲线所对应的函数 x2(y).对 y 的积分下限与上限分别是()的最低与最高点的横坐标 c 与 d.(3).如果()为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。(4).如果()既不是沿 y 轴方向的正规区域,也不是沿 x 轴方向的正规区域,那末总可以把它化分成几块沿 y 轴方向的正规区域或沿 x 轴方向的正规区域,然后根据积分的性质即可求解积分.例题：求二重积分 ，其中()是由 所围成的区域。解答：因为是正规区域，所以我们可先对 y 后对 x 积分，也可先对 x 后对 y 积分。这里我们采用前者先对 y 后对 x 积分：极坐标系中的计算法如果二重积分的被积函数和积分区域()的边界方程均由极坐
22、标的形式给出,那末我们如何计算呢?下面我们给出极坐标系中二重积分的计算公式.如果极点 O 在()的外部,区域()用不等式表示为 R1()R 2(),则积分公式如下:如果极点 O 在()的内部,区域()的边界方程为 =R(),02,则积分公式如下:如果极点 O 在()的边界上,边界方程为 =R(), 1 2,则积分公式如下:有了上面这些公式，一些在直角坐标系中不易积出而在极坐标系中易积出的函数，我们就可以把它转化为在极坐标系中的积分即可，反之依然。注：直角坐标与极坐标的转换公式为：例题：求 ，其中()是圆环 a2x 2+y2b 2解答：由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，显然，这个二重积分
23、化为极坐标计算比较方便。把 ，d=dd 代入，即可转化为极坐标系的积分形式。如下：在对其进行累次积分计算：三重积分及其计算法二重积分的被积函数是一个二元函数，它的积分域是平面区域.如果考虑三元函数 f(x,y,z)在一空间区域(V)上的积分，就可得到三重积分的概念。三重积分的概念设函数 u=f(x,y,z)在空间有界闭区域(V)任意划分成 n 个子域(V 1),(V 2),(V 3),(V n),它们的体积分别记作Vk(k=1,2,n).在每一个子域上任取一点 ，并作和数如果不论V k怎样划分，点 怎样选取，当 n+而且最大的子域直径 0 时，这个和数的极限都存在，那末此极限就称为函数 在域(
24、V)上的三重积分 ,记作：即：如果 f(x,y,z)在域(V)上连续，那末此三重积分一定存在。对于三重积分没有直观的几何意义，但它却有着各种不同的物理意义。直角坐标系中三重积分的计算方法这里我们直接给出三重积分的计算公式，具体它是怎样得来的，请大家参照有关书籍。直角坐标系中三重积分的计算公式为：此公式是把一个三重积分转化为一个定积分与一个二重积分的问题，根据我们前面所学的结论即可求出。例题：求 ，其中(V)是由平面 x=0,y=0,z=0 及 x+y+z=1 所围成的区域.解答：把 I 化为先对 z 积分，再对 y 和 x 积分的累次积分，那末应把(V)投影到 xOy 平面上,求出投影域(),
25、它就是平面 x+y+z=1 与 xOy 平面的交线和 x 轴、y 轴所围成的三角区域.我们为了确定出对 z 积分限,在()固定点(x,y),通过此点作一条平行于 z 的直线,它与(V)上下边界的交点的竖坐标：z=0 与 z=1-x-y，这就是对 z 积分的下限与上限，于是由积分公式得：其中()为平面区域：x0，y0，x+y1，如下图红色阴影部分所示：再把()域上的二重积分化成先对 y 后对 x 的累次积分，得： 柱面坐标系中三重积分的计算法我们先来学习一下空间中的点用极坐标的表示方法。平面上点 P 可以用极坐标(,)来确定,因此空间中的点 P 可用数组(,z)来表示.显然，空间的点 P 与数组
26、(,z)之间的对应关系是一一对应关系,数组(,z)称为空间点 P 的柱面坐标.它与直角坐标的关系为：构成柱面坐标系的三族坐标面分别为：=常数：以 z 轴为对称轴的同轴圆柱面族，=常数：通过 z 轴的半平面族，z =常数：与 z 轴垂直的平面族.因此，每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点，由于利用了圆柱面，所以称为柱面坐标。柱面坐标系下三重积分的计算公式为：三 曲线积分与曲面积分3.1 对弧长的曲线积分一、 对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量 设一曲线形构件所占的位置在 xOy 面内的一段曲线弧 L 上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为 (x y) 求曲线形构件的质量 把曲
27、线分成 n 小段 s1 s2 sn(si 也表示弧长) 任取( i i)si 得第 i 小段质量的近似值 (i i)si整个物质曲线的质量近似为 iiiM,1令 maxs1 s2 sn0 则整个物质曲线的质量为 iini),(lm0这种和的极限在研究其它问题时也会遇到 定义 设 L 为 xOy 面内的一条光滑曲线弧 函数 f(x y)在 L 上有界 在 L 上任意插入一点列 M1 M2 Mn1 把 L 分在 n 个小段. 设第 i 个小段的长度为 si 又( i i)为第 i 个小段上任意取定的一点 作乘积 f(i i)si (i1 2 n ) 并作和 如果当各小弧iinif,1段的长度的最大
28、值 0 这和的极限总存在 则称此极限为函数 f(x y)在曲线弧 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分 记作 即 dsyxfL),( iiniLsfdsf ),(lm,10其中 f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段 设函数 f(x y)定义在可求长度的曲线 L 上 并且有界 将 L 任意分成 n 个弧段 s 1 s2 sn 并用s i 表示第 i 段的弧长 在每一弧段 si 上任取一点( i i) 作和 iiif),(令 maxs1 s2 sn 如果当 0 时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在曲线弧 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分 记作 即dsyxfL),( i
29、iniLsfdsyxf ),(lm),(10其中 f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段 曲线积分的存在性 当 f(x y)在光滑曲线弧 L 上连续时 对弧长的曲线积分是存在的 以后我们总假定 f(x y)在 L 上是连续的 dsfL,根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分 的值 其中dsyxL),(x y)为线密度 对弧长的曲线积分的推广 iinisfdszyxf ),(lm),(10如果 L(或 )是分段光滑的 则规定函数在 L(或) 上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如设 L 可分成两段光滑曲线弧 L1 及 L2 则规定 dsyxfdsyxfsyxf
30、 ,),(, 2121 闭曲线积分 如果 L 是闭曲线 那么函数 f(x y)在闭曲线 L 上对弧长的曲线积分记作 sfL),(对弧长的曲线积分的性质 性质 1 设 c1、c 2 为常数 则 dsyxgcdsyxfcdsyxgf LLL ),(),(),(),( 21 性质 2 若积分弧段 L 可分成两段光滑曲线弧 L1 和 L2 则 ffsyxf ),(),(),(21性质 3 设在 L 上 f(x y)g(x y) 则 dssf,特别地 有LLsyxfsyxf|),(|),(|二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件 L 的线密度为 f(x y) 则曲线形构件
31、 L的质量为 Ldsyxf),(另一方面 若曲线 L 的参数方程为x(t) y (t) (t)则质量元素为 dtttfdsyxf )()( ,),( 2曲线的质量为 tttf )()( ,2即 dtfdsyxL )( ,2定理 设 f(x y)在曲线弧 L 上有定义且连续 L 的参数方程为x(t) y(t) (t) 其中 (t)、 (t)在 上具有一阶连续导数 且 2(t)2(t)0 则曲线积分 存dsyxfL),(在 且(0 是比例常数 于是 BABAydxkydkxW 202)cosinsico(tbta (i)22aktdbk三、两类曲线积分之间的联系由定义 得LL dsQPdyx)in
32、cos( LrFi,其中 FP Q Tcos sin为有向曲线弧 L 上点( x y)处单位切向量 drTds dx dy 类似地有 sRQPRdzyx )cosco( rFdP,s,其中 FP Q R Tcos cos cos为有向曲线弧 上点(x y z)处单们切向量 drTds dx dy dz 33 格林公式及其应用一、格林公式单连通与复连通区域 设 D 为平面区域 如果 D 内任一闭曲线所围的部分都属于 D 则称 D 为平面单连通区域 否则称为复连通区域 对平面区域 D 的边界曲线 L 我们规定 L 的正向如下 当观察者沿 L 的这个方向行走时 D 内在他近处的那一部分总在他的左边
33、区域 D 的边界曲线 的方向 定理 1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 围成 函数 P(x y)及 Q(x y)在 D 上具有一阶连续偏导数 则有 LQdyPxdyxQ)(其中 L 是 D 的取正向的边界曲线 简要证明 仅就 D 即是 X 型的又是 Y 型的区域情形进行证明 设 D(x y)|1(x)y2(x) axb 因为 连续 所以由二重积分的计算法有yP dxPxddPbaxba )(,)(,), 12)(1 另一方面 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有abbaLL xxPx )(,)(,2121 dxba,)(,21因此 LDPdxy设 D(x y)|1(y)x2(y) cyd 类似地
34、可证 LQd由于 D 即是 X 型的又是 Y 型的 所以以上两式同时成立 两式合并即得 LdyPxdyx应注意的问题 对复连通区域 D 格林公式右端应包括沿区域 D 的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域 D 来说都是正向 设区域 D 的边界曲线为 L 取 Py Qx 则由格林公式得 或 dxydx2LDydxdA21例 1 椭圆 xa cos yb sin 所围成图形的面积 A 分析 只要 就有 1yPxQAdxyyPxQDD)(解 设 D 是由椭圆 x=acos y=bsin 所围成的区域 令 则 yP2112于是由格林公式 LLDxdyxdydxyA21ab 20)cossin(1ab
35、201ab例 2 设 L 是任意一条分段光滑的闭曲线 证明 dyx02证 令 P2xy Qx2 则 02xP因此 由格林公式有 (为什么二重积分前有“”号？ )2dyydDL例 3 计算 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1)为顶点的三角形闭区域 Dyxe2分析 要使 只需 P0 2yxQ2yxeQ解 令 P0 则 因此 由格林公式有2ye2yx BOAyDyddx22 )1(2102 edxeAy例 4 计算 其中 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 Lyx2L 的方向为逆时针方向 解 令 则当 x2y20 时 有 2yxP2yxQyPxQ2)(记 L 所围
36、成的闭区域为 D 当(0 0) D 时 由格林公式得 02Ldy当(0 0)D 时 在 D 内取一圆周 l x2y2r 2(r0) 由 L 及 l 围成了一个复连通区域 D 1 应用格林公式得 022lLyxdyxd其中 l 的方向取逆时针方向 于是 2lLyxdyxd2202sincodr解 记 L 所围成的闭区域为 D 当(0 0) D 时 由格林公式得 0)(2dxyPQyxdL当(0 0)D 时 在 D 内取一圆周 l x2y2r2(r0) 由 L 及 l 围成了一个复连通区域 D1 应用格林公式得 0)(12dyPxyxdlL即 lL22其中 l 的方向取顺时针方向 于是 2lLyx
37、dyxd2202sincodr分析 这里 当 x2y20 时 有 2PQyPxQ2)(二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关 设 G 是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域 G 内具有一阶连续偏导数 如果对于 G 内任意指定的两个点 A、B 以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L 1、L 2 等式21LLdd恒成立 就说曲线积分 在 G 内与路径无关 否则说与路径有关 yx设曲线积分 在 G 内与路径无关 L 1 和 L 2 是 G 内任意两条从点 A 到点 BLQP的曲线 则有 21LLQdyPxdyx因为21LL 021 LLQdyPxdyx 021 yP
38、dxydx)(21所以有以下结论 曲线积分 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任意LQ闭曲线 C 的曲线积分 等于零 dyPx定理 2 设开区域 G 是一个单连通域 函数 P(x y)及 Q(x y)在 G 内具有一阶连续偏导数 则曲线积分 在 G 内与路径无关（或沿 G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充Ld分必要条件是等式xQyP在 G 内恒成立 充分性易证 若 则 由格林公式 对任意闭曲线 L xyP0yP有 DLdxQd必要性 假设存在一点 M0G 使 不妨设 0 0yPx则由 的连续性 存在 M0 的一个 邻域 U(M0, ) yPxQ使在此邻域内有 于是沿邻域 U(M0, )边界
39、l 的闭曲线积分2 2)(),0 MUl dxyPQdyPx这与闭曲线积分为零相矛盾 因此在 G 内 0yx应注意的问题 定理要求 区域 G 是单连通区域 且函数 P(x y)及 Q(x y)在 G 内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立 破坏函数 P、Q 及 、 连续性的点称为奇点 yx例 5 计算 其中 L 为抛物线 yx2 上从 O(0 0)到 B(1 1)的一段弧 Ldx2解 因为 在整个 xOy 面内都成立 y所以在整个 xOy 面内 积分 与路径无关 Ldyx2ABOAL yxydxy 22 10讨论 设 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点
40、的连续闭曲线 L 的方向为逆时针方向 问 是否一定成立？2yxd提示 这里 和 在点(0 0) 不连续 2yxP2yxQ因为当 x2y20 时 所以如果(0 0)不在 L 所围成的区域内 则结论成P2)(立 而当(0 0) 在 L 所围成的区域内时 结论未必成立 三、二元函数的全微分求积曲线积分在 G 内与路径无关 表明曲线积分的值只与起点从点( x0 y0)与终点(x y)有关 如果 与路径无关 则把它记为LQdyPx),(0yxQdP即 ),(0yxQdP若起点(x 0 y0)为 G 内的一定点 终点(x y)为 G 内的动点 则u(x y) ),(0d为 G 内的的函数 二元函数 u(x
41、 y)的全微分为 du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy 表达式 P(x y)dx+Q(x y)dy 与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式 P(x y)dx+Q(x y)dy 是某个二元函数 u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？定理 3 设开区域 G 是一个单连通域 函数 P(x y)及 Q(x y)在 G 内具有一阶连续偏导数 则 P(x y)dxQ(x y)dy 在 G 内为某一函数 u(x y)的全微分的充分必要条件是等式在 G 内恒成立 简要证明 必要性 假设存在某一函数 u(x y) 使得duP(x y)dxQ(x y)dy 则有 2xyuxQ2)(因为 、 连续 所以yxu22 即 y2xQP充分性 因为在 G 内 所以积分xyLdyxQyP),(),(在 G 内与路径无关 在 G 内从点(x 0 y0)到点( x y)的曲线积分可表示为 考虑函数 u(x y) ),(0,d因为 u(x y) ,)(0)(P xydQ00 ,所以 ),(),()(00 yxPdxxy 类似地有 从而 du P(x y)dxQ(x y)dy 即 P(x y)dxQ(x y)dy 是某一函数,u的全微分 求原函数的公式 ),(0),(,yxdyxu
