1、1第一章极限与连续一、函数1、函数的定义与要素（定义域、对应法则；函数相等的条件）2、函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，有界性*单调性的定义（以递增为例）：上严格单调递增。在改为，则上单调递增；将在，则时，若f ffDxf DxfxfxfxxDxx )( )()()(, 212121 *有界的定义：上有界。在，则，都有，对于AxfMxfDAxM f )(|)(|0 （f(x)mR，则f(x)下有界；反之则上有界。只有既上有界又下有界的函数才是有界函数。）3、函数的运算：四则运算、复合运算、反函数*题型：判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。*反函数存在的可能情况：y与x一一对应；f(x)是
2、某区间上的严格单调函数（反函数的单调性与原来的函数相同）*。时，；当时，；当xxffRxxxffDxRD ffff )()( 1114、初等函数：包括6大基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。二、数列的极限1、数列的定义及表示方法2、数列的性质：单调性、有界性3、数列极限的定义：-N语言（存在性命题要学会寻找充分条件，即增加对N的限制，从而找到N；绝对值不等式与不等式放缩也很重要）4、极限的四则运算5、无穷小量的性质（1）是无穷小量。，则若lim AaAa nnn （一种证明极限的方法）（2）有限个无穷小量相加、相乘
3、还是无穷小量。（3）无穷小量乘以有界量还是无穷小量。6、收敛数列的性质（1）收敛数列必然有界（2）收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。（逆否命题：如果一个数列有发散子列或是有两个极限不同的收敛子列，则该数列发散。）（3）夹逼性（注意夹条件与逼条件）（4）*保号性：.00lim时，当，则必然存在若nnn aNnNAa （小于0类似）7、无穷大量的两个定义：高等数学A知识整理2。时，当，）（为无穷大量；为无穷小量，则）若（KaNnNK aa nnn |02 11 8、数列收敛的判定方法与极限的求解（1）利用极限的定义（先知道极限才能使用，技巧性略强）（2）单调有界数列必收敛（不能同时求出极限
4、，往往用于递推式）（3）利用子列的收敛性（可以直接得出极限，逆否命题常用于判断发散）（4）柯西收敛准则（不能同时求出极限，往往用于求和式）（5）Stolz定理：。，则，而严格单调递增且若AbaAbb aabb nnnnn nnnnnn limlimlim 11（可以同时求出极限，常常用于比值形式的式子）（6）递推式求极限：不动点法。，则，且)(lim)(1 AfAAaafa nnnn （7）平均值法：。，则若An aaaAa nnnn .limlim 21（8）利用定积分的定义求极限。需要配凑Riemann和的形式。9、几个重要数列的极限).(lim,.,max).(lim5 100lim4
5、!lim3 1lim2 1lim01 211121121121 k knnknnnknnknnn nkn nn nn nn aaak aaaaaak aaa akannn aa ；）（为常数；，其中）（；）（；）（；时，）（10、数列极限型函数的表达式：。),(lim)( xngxfn 处理方式：对x分类讨论，在各种情况下将x视为常数，对n求极限。.数。最终结果要写成分段函。时，当；时，当；时，当。求，例如：110 1012 1lim)(10 32)(1 2112 11lim)(1 )(12 1lim)( nnn nnnnnn xxxfx xfx xxxfx xfRxxxxf3三、函数的极限1
6、、函数极限的定义：-语言（某点x0处）、-M语言（x时）。2、数列极限与函数极限的关系：Heine定理）可以是。（，有满足对任一数列 aAxfaxxAxf nnnnnax )(limlim)(lim逆否命题：。不都存在或者与且，满足存在两个数列不存在)(lim)(lim)(lim)(lim limlim,)(lim nnnnnnnn nnnnnnax yfxfyfxf ayxyxxf 3、极限的性质：（1）四则运算、连续函数极限的复合运算；（2）夹逼性；（3）*保号性；（4）（函数）局部有界性：有界。的一个邻域内，则在若)()(lim xfaAxfax （5）有序性：。（反过来未必成立）的一个
7、邻域内成立，则）在（或者若)(lim)(lim)()( xgxfaxgxf axax 4、两个重要极限：。；exxxx xxxxx 100 )1(lim)11(lim1sinlim（x也可以是中间变量）（求极限时注意配凑出这两个极限）5、单侧极限（可以用来判断某点极限是否存在）四、连续函数1、连续的定义：。)()(lim 00 xfxfxx （左连续、右连续）2、连续的三个必要条件：。存在，处有定义，在)()(lim)(lim)( 00 00 xfxfxfxxf xxxx 3、连续性在四则运算、复合运算、反函数中的保持。4、间断点（可去、跳跃间断点为第一类，其余为第二类）（1）无穷间断点：f(
8、x)在此点无定义并且趋向于。（2）*振荡间断点：函数值在此点附近无限快地振荡，处。在如01sin)( xxxf（3）可去间断点：对这一个点的函数值进行补充定义或调整，可以使函数在此点连续，即不存在。，或存在但不等于)()()(lim 000 xfxfxfxx（4）跳跃间断点：存在但不相等。与)(lim)(lim 00 xfxf xxxx 5、一切初等函数在其定义域内均连续。6、闭区间上连续函数的性质（1）有界；（2）存在最大值和最小值；（3）介值定理；（4）零点存在性定理。7、连续型无穷小的比较4（1）x0时，；，则若)(0 xx （2）x+时，。，则若)(10 xx baba （3）).ln
9、1(10lnlim0 xxxxxp ppx 时有，即，有对任意（4）等价无穷小替换：。，时，xxxxenxxxxxxxxxx xn arctanarcsin,1112cos1)1ln(tansin0 2 注：等价无穷小替换只有在乘除运算中才可以随意使用，同号无穷小相减，可能会产生x的高阶无穷小。8、函数图像的渐近线：垂直渐近线x=x0。斜（水平）渐近线y=ax+b。其中。，)(lim)(lim axxfbxxfa xx 注意x+与x-的情况可能不一样。第二章导数与微分一、导数1、导数的定义（不能忽视，也是求导的常用方法）：.)()(lim)()(lim)( 0x x afxafax afxfa
10、f ax （如果f(a)=0或者a=0，注意分子分母可能需要补0）（注意左导数、右导数的概念）2、可导必定连续，连续未必可导。3、导数的四则运算（略）注意.).( 21212121 nnnn ffffffffffff 4、复合函数的导数：f(g(x)=f(g(x)g(x)。（链式法则）5、.)(1)(0)()(),( 001000 xfyfxfxfyyx ，则可导且处，反函数的导数：若在点6、初等函数的导数公式5.11ln21arth),1ln(arch),1ln(arsh ,th,2ch,2sh 22 xxxxxxxxx ee eexeexeex xx xxxxxx 其中，7、对数求导法).
11、()( )()(ln)()()( )()( )()(ln)()( )( )(ln)()(ln)()( )()( xuxu xvxuxvxuxf xuxu xvxuxvxf xf xuxvxfxuxf xvxv 8、几个重要的高阶导数)(.1,0 ,)1).(1()( !)1()1( )!1()1()(ln )2cos()(cos )2sin()(sin )( 1)( 1)( )( )( Nkkn knxnkkkx xnx xnx nxx nxx nknk nnn nnn nn 9、高阶导数的莱布尼茨公式：).()()()( )()(0)( xgxfCxgxf inini inn 二、微分1、微
12、分的实质：).(d)()(d 000 xyxxfxxfyx 处，在可微的2、对于一元函数，可微等价于可导。3、微分的四则运算（略）4、复合函数的微分一阶微分形式不变性（Pfaffform）：.dddddd xuuyxy 5、参数方程的微分：.dd )dd(dddddddddd22 txxytxytxtyxy ，6、近似计算：.)()()( 000 xxfxfxxf *7、误差估计：，相对误差，则绝对误差，近似值精确值| 000 xxxxxxx 6.|)( )(|)(|)(| *0 00*00* xyxyxxx xf xfxxfxfyxx ，则。若，相对误差限上界为绝对误差限三、微分学中值定理及
13、其应用1、一切的大前提：f(x)、g(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导。（证明时要给出这两个条件！）2、Fermat引理：可导极值点处导数等于0。3、Rolle中值定理：.0)(),()()( fbabfaf使得存在4、Lagrange中值定理：.)()()(),( ab afbffba 使得存在推论：（1）f(x)=0，则f(x)=C。（2）f(x)=g(x)，则f(x)=g(x)+C。5、Cauchy中值定理：.)( )()()( )()(),( gfagbg afbfba 使得存在6、使用中值定理的注意点：（1）要有运用中值定理的意识，将其当成做题时考虑的对象之一；（2）学会在高阶
14、导数情况下多次运用中值定理；中值定理求解。），运用（如的式子时要构造）在遇到例如（Cauchy)(2 )(3 2xxgf （4）补0是常用方法；（5）构造函数很重要，要熟悉一些常见的变形：做积分）造，实质是对这些式子要有意识地尝试这些构（在看到相关的式子时）（；）（；）（）（；）（.)()()()()()()()(5 |)(|ln)( )(4 )()()(3 ;)()()(2 )()()(1 1xxxx xx nn e xfxfexfxfxfxfxfxf xfxf xf exfexfxf e xfexfxf x xfxxnfxxf 7、。或归到等情况，但最终都应回，法则：用于 000,1-00
15、Hospital L 00而且，此法则不是万能的。8、余项）（公式：Peano.)()(! )()(Taylor 000 0)( nknk k xxxxkxfxf 7（只需知道前几项）。)(1523tan );0)()1(.32)1ln( );(! )1).(1(.!2 )1(1)1( 553 132 2xxxxx xn xxxxx xxn nxxx nnn nn *Taylor展开对一切中间变量u都成立，即对于在a处连续的函数g(x)，有.)()()()(! )()( 0 )( nini i agxgagxgi agfxgf *Taylor展开的应用：近似计算、求极限、证明一些与高阶导数有关
16、的结论在此总结一下求函数极限的一些方法：型式子时几乎万能）量的项都出现。在处理开到所有能产生该阶小，一定要展（在确定式子阶数之后开的项数以配凑次数。展开：可以自行选择展）（能使用；，注意不是不定型的不简单或可以计算时使用法则：求导之后会变得）（的情况）；必须转化为某变量趋向，再用取整函数夹逼（）先证明相关数列收敛（求对应数列的极限；定理：可以用函数极限）（更高阶的无穷小）；减法中慎用，避免产生）等价无穷小替换（加（等；，补，）代数变形，如（用）；语言（较繁琐，极少使）（00Taylor7 Hospital L65 Heine43 0)()()( .112 -1 )(ln)()(ln 121 x
17、fxgxgaxx nnn nnn n exfxxxfxfea bbaabbaa babaxxx四、函数的单调性与凸性1、用一阶导数的符号判断函数的单调性：注意，可导函数在某区间单调递增（递减）的充要条件是f(x)0（0），等号不能少。另外，极值点是x的值而不是一个点。8的重要性）。（再次提醒补，且存在，则，若连续可导函数一个有趣的结论：对于0)()(lim 0)()(lim)(* afax xf afax xfxfax ax 2、几个概念（1）极值点：使得f(x)在x附近的一个邻域内取得最值的x的值。函数在极值点处不一定可导，但只要可导，则其导数等于0。（2）临界点（驻点）：在该点处可导且导数
18、为0的x的值。临界点不一定是极值点，可能只是函数变化过程中在此点的瞬时变化率为0，其两侧的单调性可以相同。3、函数取极值的充分条件：极值点的左右邻域内导数值异号（一边0，另一边0）。4、用一阶、二阶导数判断极值点：若f(x0)=0且f(x0)0，则x0是f(x)的极值点。（f(x0)0为极小值点，f(x0)0）。）（；）（；）（；）（；）（；）（；）（；）（；）（；）（；）（）；（）（）；（）（；）（；）（；）（；）（；），（）（；）（）；（）（Caxaxaxxxa Caxxaaxxxax Caxxxax Cxxx Cxxx Cxxxx Cxxxx CxCxxxx CxxCxxxx Cxxx
19、Cxxx aCaxaxxa aCaxxxa Cxxxxx Cxxxxx Cxxx Cxxx CexeaaCaaxa Cxxx Cxxx xxxx arcsin22d20 |ln22d19 |lnd118 sinhdcosh17 coshdsinh16 cscdcotcsc15 secdtansec14 |2tan|ln|cotcsc|lndcsc13 |2tan1 2tan1|ln|tansec|lndsec12 |sin|lndcot11 |sec|lndtan10 0arctan1d19 0arcsind18 cotdcscdsin17 tandsecdcos16 sindcos5 cos
20、dsin4 d10lnd3 |lnd12 11d122222 2222222 222222 22 22 221 注意：最后三个公式都可以用分部积分公式推导，其中只有（18）可以直接使用。11三、积分方法）。（根号中为）和（根号中为的式子，分别可以令者使用。遇到）双曲换元：建议熟练（理式。均可以换元，转化为有，）根式换元：（。）通通转化为，再利用平方关系把分的积分，然后凑微化成只含数有理式，可以尝试转平方关系，对于三角函既有导数关系又有与。（注意令；出现令；出现令换；出现）三角换元：万能代（）。，的形式（可分解为次多项式基本定理，即任意以上分解运用了代数）。的形式（分解为分解，将真分式）有理式：
21、运用（22 222 22 2222 221121 1 1221 1 cosh sinh43 tansec)(tanddsec sectansecsectan sin2 104).()().()( )( 04)()( )( )(1 11 atxa txaxfex dcxbax xxxxx xxxtxaxtx axtaxxa qixxxxxxxx xPn xx CxBxxA xP xPnn iilqqlkpk nqj li iiijj jijipj ki ijji nmqp jj （4）凑微分法：通过代数变形巧妙凑出g(x)dx的形式，将其化为dg(x)。常见的变形：分离常数（有理式），加上再减去
22、，乘上再除去，裂项（因式分解的积累），.)()()( xf xfxf （5）分部积分：凑dv(x)微分的推荐顺序：三角指数幂函数对数反三角。的方程。时相当于解关于且无法与左边抵消，此可能会再次出现。注意等号右边容易求的情况下较好用在 )(d)()(d)( )(d)().(d)()()()(d)( xvxuxvxu xuxvxuxvxvxuxvxu备注：不定积分换元求完以后要从其他变量回到关于x的表达式；定积分换元以后要注意积分上下限的变化。（6）其他的常用公式）（；连续，则设；上连续，则在若；为周期的连续函数，则是以若为偶函数时。，当为奇函数时，当上连续，则在若0.!)!12( !)!2(dc
23、osdsin 2!)!2( !)!12(dcosdsin .d)(cosd)(sind)(sin2d)(sin)( d)(d)(,)( d)(d)()( )(d)(2 )(0d)()(d)(,)( 20 1220 12 20 220 2 202000 0 00 nnnxxxx nnxxxx xxfxxfxxfxxxfxf xxbafxxfbaxf xxfxxfTxf xfxxf xfxxfxfxxfllxf nn nn baba TTaa llll 12四、定积分的应用（1）弧微分：.d)()()( .d)()()()( .d)(1, .d)(1)d()d(d 22 222 02220 rrs
24、rr ttytxsttyytxx xxfsba xxfyxsx ba，有，对于极坐标系中的曲线，有，对于参数方程上的弧长可以用此公式计算长点附近一小段曲线的弧为曲率。，其中曲线的曲率半径KyysK | )1(|dd1 232 （2）平面图形的面积.d)(21 )( .d)()(dddd )()(|),(2 )( )( rA rr xxfxgyxyxA xgyxfbxayxD baba xg xfD围而成，则图形的面积）包（，和直线图形由曲线在极坐标系中，若一则该图形的面积，对应点集一图形在直角坐标系中，若（3）立体图形的体积.d)( ),( .d)( )(2 ba baxxfV xbxaxfy
25、 xxAVbxa xAxx何体的体积为轴旋转一周所形成的几绕旋转体：由曲线，则几何体的体积，的函数轴方向的截面积是，若一几何体在垂直在空间直角坐标系中（4）旋转曲面的面积.d)(1)(2 )(2 ba xxfxfA xbxaxfy面的面积为轴旋转一周所形成的曲绕，由曲线（5）平均值：函数在区间a,b上的平均值。可用于等效计算。ab xxfy ba d)(13五、反常积分（广义积分、瑕积分）1、定义.d)(limd)(,)( d)(d)(d)(d)(limd)( 0 bcbc aaAaAa xxfxxfcbaxf xxfxxfxxfxxfxxf ，有上的无界点在对于；2、反常积分敛散性的判别（1
26、）直接利用定义。注意：才收敛。均收敛时，与当 xxfxxfxxf aa d)(d)(d)(（2）比较判别法：若在A,+)上有|f(x)|g(x)，则对于ajl的数对(k,l)的个数称为j1,j2,.,jn的逆序数，记作(j1,j2,.,jn)。（2）n阶行列式的本质计算式：列所得的行列式。行与第即行列式中去掉第为余子式。为代数余子式，其中）余子式算法：（jiAAaaaa aaa aaa aaaaaa aaa aaaijij ijjiijnj ijijnnnn nn jjj njjjjjjnnnn nn n nn )1( 3 )1( 121 22221 11211 ,., 21),.,(21 2
27、2221 11211 21 21212、行列式的性质（1）|A|=|AT|；（2）互换行列式的两行（列），行列式的值变号；（3）若行列式有两行（列）成比例，则行列式的值为0；（4）两个仅有一行（列）不同的行列式的和，等于将该行（列）相加，其余行（列）不变的行列式；（5）将行列式的某一行（列）乘以一个数加到另一行（列），行列式的值不变。（6）三角形行列式的值等于主对角元素的乘积。注：在计算阶数已知的行列式时，先看是否有成比例的行（列），如果没有，则不断用其他性质进行化简，如果实在化不成对角行列式，应适时放弃变换，在某一行0元素较多时即可直接展开，然后对余子式进行转化，层层递进；对于阶数n未知的行
28、列式，往往有一定规律（否则难以计算），一般来说需要所有行（列）参与变换，而不是仅仅变换其中某些部分，如将下面的所有行加到第一行，或是将第一行加到下面所有行等等。（7） .,0 ,|,|Laplace 1 ji jiAa ijnk jkik AA 定理）（8）|AB|=|A|B|；（9）.|, BABO OA |BA ，有对于方阵16三、逆矩阵1、逆矩阵的定义：A-1满足AA-1=A-1A=I。2、逆矩阵存在的充要条件：|A|0。3、逆矩阵的求解（1）直接计算：矩阵；的代数余子式）是伴随是（，其中jijinnji aA )(*| *1 AAAAA（2）；T11T )()( AA（3）；111)(
29、 AAB（4）初等变换法：（换行，倍乘某一行，对其进行初等行变换构造矩阵)( IA将某一行乘以一个数加到另一行），直至左边变为I，此时右边的矩阵就是A-1。四、解线性方程组的两种简单方法1、Cramer法则：对于n元线性方程组Ax=b，如果|A|0，则方程组有唯一解x=A-1b，且x的分量后的行列式。列换成的第是将，其中bAAAA ix iii | |（计算量略大）2、Gauss消元法：构造增广矩阵)( bA，对其进行初等行变换，直至：（1）A的部分变为三角形矩阵，则可一步步迭代得到结果；（2）A的部分变为单位矩阵，则b的部分变为解向量。第五章线性变换、特征值和二次型（略）第六章空间解析几何一
30、、三维向量的更多运算1、外积（叉积，矢量积）：.321 321 bbb aaa kjiba 性质：（1）的夹角。与为，其中bababa sin（2）构成右手系。，baba （3）反交换性（4）满足分配律与线性性2、混合积：.)(),( 321 321 321 zzz yyy xxx zyxzyx性质：（1）轮换性（2）反对换性（3）混合积的几何意义是三个向量张成的平行六面体的体积。（4）三个三维向量共面的充要条件是它们的混合积等于0。二、平面与直线1、平面的方程（1）点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0。其中法向量为(A,B,C)，(x0,y0,z0)为平面上一点。1
31、7（2）三点式方程：.0332211 332211 321 zyzyzy zxzxzx zzzyzx（3）截距式方程：.1 czbyax（4）一般式方程：Ax+By+Cz+D=0.2、直线的方程（1）点向式（对称式）方程：为直线方向向量。，其中),(000 lnmlzznyymxx （2）参数方程：)(.,000 Rtltzz ntyy mtxx （3）两点式方程：.01 001 001 0 zz zzyy yyxx xx （4）一般式方程（转化为两个平面的交线）： .0 ,0DzCyBxA DCzByAx（在此，直线的方向向量可以选为两平面法向量的外积）3、距离与夹角公式.6 .arcsin
32、5 .arccos4 .arccos3 .2 .* *)*,*,(0.1 21 21 21 210 02220 0n n nln lnll ll nn nnl l ln n n PQdml mQlPmlPPLP LPLLP CBA DCzByAxd zyxPDCzByAxPPd PPP的距离与则与两直线都垂直，向量，异面，与直线）异面直线的距离：设（）直线与平面的夹角：（）两直线的夹角：（）两平面的夹角；（的距离为到则，的方向向量为，上有一点的距离：设直线到直线）点（，则，的方程为若的距离到，则的法向量为，上有一点的距离：设到平面）点（ 18三、空间曲面与曲线1、曲面一般方程：F(x,y,z)
33、=0。2、曲面方程的推导（1）用定义求方程（如球面方程的推导）；（2）旋转曲面方程：先选择原曲线上一点，再研究它绕某轴旋转时坐标发生的变化。基本原理绕着某坐标轴旋转，则点的该坐标保持不变；又点离该轴的距离不变，所以另两个坐标的平方和也不变。例如，.0),(0),( 22 zxyfzzyfOyz是轴旋转产生的曲面方程绕上的曲线平面3、柱面（1）定义：给定一条曲线C与一条直线l，则由平行于l的直线沿C运动得到的曲面叫做柱面，C称为准线，l称为母线。（2）方程中只含两个坐标的曲面是柱面。例如方程x2+y2=a2在三维空间内表示圆柱面，柱面。在三维空间内表示椭圆方程12222 bzax（3）当准线C是
34、直线时，柱面退化为平面。4、空间曲线方程：（1）看作两个曲面的交线 .0),( ,0),( zyxG zyxF（2）参数方程 ).( ),(),(tzz tyy txx5、几种重要的二次曲面（1）球面：(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2；（2）椭球面：为椭圆（或圆）；，用坐标平面截得的均1222222 czbyax）截得抛物线。（马鞍面或截得两条直线，用平面面截得的是双曲线，用平，用平面）双曲抛物面：（截得的是抛物线。截得的是椭圆，用平面，用平面）椭圆抛物面：（。）锥面：（截得的是双曲线。平面）截得的是椭圆，用（，用平面）双叶双曲面：（截得的是两条直线。平面）截得的是双曲线，用（截
35、得的是椭圆，用平面，用平面）单叶双曲面：（00 02222 0022222222220 00222222000222222 007 06 05 |14 | 13 yyxx zzzbyaxz yyzzbyaxzczbyaxyy czzzczbyax byby yyzzczbyax 19第七章多元函数微分学一、n维空间中与点有关的基本概念1、n维空间中的点与n维向量一一对应。2、空间点的邻域与去心邻域。3、内点、外点、边界点、内部（S）、边界（S）、开集、闭集、补集（余集）、闭包4、线段、折线、连通、开区域、闭区域、有界与无界点集二、多元函数的基本概念1、多元函数的定义域、值域：前者是n维向量的集
36、合，后者是数集。2、等高线：曲线 kz yxfz ),(是函数z=f(x,y)的一条等高线，它位于空间中，不同的等高线一般不共面。将其投影至xOy平面中的曲线f(x,y)=k为对应的等位线，所有等位线均共面。（等位线只能取出函数值相同的点，不能体现函数值的大小关系，更不能表示函数的图象）三、多元函数的极限1、定义：-r语言。2、多元函数中，自变量可以从任何方向趋向某点，只有在任意方向均取得同一极限时才有极限存在。（类似于一元函数的Heine定理3、）4、多元函数连续的充要条件：).()(lim)( 000 xxxx xx fff存在且等于处有定义，在5、多元函数连续性的性质：多元连续函数在四则
37、运算后仍连续；一元连续函数与多元函数复合后的函数仍连续。).()(lim()(lim 000 xxx xxxx fgfgfg 6、n元初等函数：n维向量x的n个分量的初等函数经过四则运算和与一元初等函数复合之后所得的函数是n元初等函数。7、有界闭区域上连续函数的性质：有界；有最大值与最小值；介值定理。8、向量值函数（1）定义：对于f：RnRm，xy，即y=f(x)，它表示将n维向量与m维向量建立关系。其本质是由m个n元函数组成的函数组。（2）向量值函数的极限：.0|)(|lim)(lim00 axfaxf xxxx（3）向量值函数的连续性：).()(lim 00 xfxfxx （4）向量值函数
38、连续的充要条件：f=(f1,f2,.,fm)连续，等价于f1,f2,.,fm均连续。（5）连续向量值函数的复合仍连续。20四、全微分与偏导数1、全微分的实质：存在线性函数k使得f(x0+x)-f(x0)=k(x)+(|x|)，也即存在向量a=(a1,a2,.,an)使得df=ax=k(x). .d.dd.)(d2 22112211 nnnn xaxaxaxaxaxakf x、全微分的定义式：3、偏导数：.),.,.,(),.,.,(lim)( 000201000201000 i niniixxi x xxxxfxxxxxffxf ii xx（使其中一个变量变化，其余变量可以看作常数，然后对那一
39、个变量求导数）4、连续不一定可微，也不一定可偏导。多元函数中可偏导不一定连续（不能保证别的任意方向都连续），也就不一定可微。可微一定在任意方向连续并且可偏导。*全微分与偏导数的关系：.dd1 ni ii xxff*f(x)在某点处可偏导且偏导数都连续，等价于f(x)在该点处可微。4、近似计算：).)(,()(,(),(),(),( 0000000000 yyyxfxxyxfyxfyxfyx yx 附近，在点5、高阶偏导数：的顺序）与（注意几种写法中jixxijij xxfxx fxfx ji ).(2 x*Schwarz定理：).,(),(),( 000000 yxfyxfyxff yxxyy
40、xxy 处连续在与6、向量值函数的微分与偏导数. 2 )( )()(ddJacobi )()()()(121 22212 121110 0000 nmmm nnf xfxfxf xfxfxf xfxfxf Dnm mJffxJ xfxfJxJxJuJ xxxJxfxxfu的每一个分量均可微。可微等价于）向量值函数（。为此向量值函数的导数。可记矩阵）；微分矩阵（为维向量，是，其中：）函数值变化量与微分（).()()()(8 .dd. )()()()()(),(7 1111 xgyfxgf xgyxgxgyy 、复合映射的求导：变性：从而有全微分的形式不即，则链式法则：、多元复合函数求导的ni i
41、jmj jjmj jijmj ji xyyuyyuuxyyuxu fffu21.sinsin1sin11 ,cos ,sinsin ,sincos .11 , ,sin ,cos.11 1e.g. 2222222222222 22222222222 222222222 22222 ururrurrrzuyuxu rz ry rx zuurrurrrzuyuxu zz ry rxurrururyuxu urruyuxu则转化：若空间直角坐标与球坐标则转化：若空间直角坐标与柱坐标，转化：平面直角坐标与极坐标五、隐函数微分法，的性质：）隐函数组（行列式各偏导数连续，且，在其邻域上有同一零点元函数个）
42、隐函数存在的条件：（在定理、多元函数组隐函数存；的性质：）隐函数（导数连续，且各偏，在其邻域上有零点元函数）隐函数存在的条件：（、多元隐函数存在定理对应的函数。附近可解，从而有程在的导数存在，则微分方对）定理的实质：只要（；的性质：）隐函数（）（有零点，显含续，且连与，在其邻域上有零点二元函数）隐函数存在的条件：（一元隐函数能否由二元方程得到、一元隐函数存在定理),.,2,1)(,.,(0)(2 .0 det),.,( ),.,( Jacobi),.,2,1( ),.,.,(13 ).,.,2,1(),.,(0)(2 .0)( ),.,(112 ),(3 .)()(0)(,(2.0),( ),
43、(),(1100201001 21 22212 1211121 210 2121 00020100 021 000000 00 mixxxfyFf yFyFyF yFyFyF yFyFyFyyyD FFFD Fmi yyyxxxFmnm niFFxfyxxxfFf F FyxxxFn yxxy FFxfyxfxfxFf yyxF FFyxyxFniinii mmmm mmmm i mni yxiny n yxy yxi xxxx x22. 21 22212 12111121 22212 1211121 22212 12111 nmmm nnmmmm mmnmmm nn xFxFxF xFxFxF xFxFxFyFyFyF yFyFy
