1、一、第一换元积分法(凑微分法).CxFCudgdxxg )()()()( 二、常用凑微分公式三、第二换元法,CxFCtdttfdxf )()()()( 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有a) 可令 ,2xa;sintaxb) 可令 ,;tc) 可令 ,2ax.sectax当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换 .tx1四、积分表续4.3 分部积分法xuxuxuaexubaxdxfdxxf xdfxdf xdfxdfaaeexdfdxf abxdafdxbafxxx arcsintcoansiln)(arcsin)(arc
2、sin1)(arcsin.1 ttt0 co)(cs)(o.9 anean8 si7 i)(scos)(.6ln154 )(ln)(ln.3 012 )()()(.1法分积元换一第换 元 公 式积 分 类 型2221 分部积分公式：(3.1)vduu(3.2)xx分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分) 的逆运算 . 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法( 其中 m, n 都是正整数). .arctnarcosarcsin)(lnicoss 等mxxmxmxeexxn5.1 定积分的概念5.2 定积分的性质两点补充规定：(a) 当 时 , (b) 当 时, .ba;0)(a
3、dxf baabadxfxf)()(性质 1 .)(bba gfdxgf性质 2 (k 为常数).,bafkf性质 3 .bccba dxfxfdxf )()(性质 4 .1性质 5 若在区间 上有 则 ,b),(xgf,)()(babadxgxf ).(b推论 1 若在区间 上 则 ,a,0)(f ,0df.推论 2 ).|)(bdxdxfbaba 性质 6 (估值定理)设 M 及 m 分别是函数 在区间 上的最大值及最小值,则)(xfba).)(Mdfabb性质 7 (定积分中值定理) 如果函数 在闭区间 上连续,则在 上至少存在一(xfba,ba个点 , 使).(),()( babfdx
4、fba 5.3 微积分的基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数： xadtf)(定理 2 若函数 在区间 上连续,则函数)(xfbaxadtf)(就是 在 上的一个原函数.)(xf,ba三、牛顿莱布尼兹公式定理 3 若函数 是连续函数 在区间 上的一个原函数 ,则)(xF)(xf,ba. (3.6)Fbdfba公式(3.4)称为牛顿莱布尼茨公式.5.4 定积分的换元法积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理 1 设函数 在闭区间 上连续,函数 满足条件：)(xfba)(tx（1） 且 ；,abt)(（2） 在 (或 )上具有连续导数,则有)(t,. (4.1)dttfdxfba)(公式(
5、4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用 把变量 x 换成新变量 t 时, 积分限也要换成相应于新变量 的积分限,且)(tx t上限对应于上限,下限对应于下限；（2） 求出 的一个原函数 后,不必象计算不定积分那样再把 变换)(tf )(t)(t成原变量 x 的函数 ,而只要把新变量 t 的上、下限分别代入 然后相减就行了.)(t二、定积分的分部积分法或 baudvbavdubadxvbadxuv5.5 广义积分一、无穷限的广义积分 )(|)()( FxFdfaa |bfb)()(|)()( FxFdf二
6、、无界函数的广义积分 babadff)(lim)(0.lixfdxf5.6 定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式. 可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量 （总量）表示为定积分的方法微U元法，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如 为积分变量，并确x定它的变化区间 ，任取 的一个区间微元 ，求出相应于这个区间微元,ba, ,dx上部分量 的近似值，即求出所求总量 的微元U；dxf)(2) 由微元写出积分 根据 写出表示总量 的定积分UUbabadxf)(微元法在几何学
7、、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量 关于区间 应具有可加性，即如果把区间 分成许多部分区间, U,baba则 相应地分成许多部分量, 而 等于所有部分量 之和. 这一要求是由定积分概念本U身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量 的近似表达式 ，即使得dxf)(. 在通常情况下，要检验 是否为 的高阶无穷小并非Udxf)( dxf)(易事，因此，在实际应用要注意 的合理性.dxf)(二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形
8、的面积曲边扇形的面积微元 drdA2)(1所求曲边扇形的面积 .三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)(2dxfdV所求旋转体的体积 .ba四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dxAV所求立体的体积 .ba5.7 积分在经济分析的应用6.1 空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标 )对应起来. 同样
9、，为了把空间的任一点与有序数组对应,(yx起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点 O, 作三条相互垂直的数轴， 依次记为 轴（横轴） 、 轴（纵轴） 、xy轴（竖轴） ，统称为 坐标轴 . 它们构成一个空间直角坐标系 （图 6-1-1）. z Oyz空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离 .)()()(| 21212121 zyxM三曲面及其方程定义 1 在空间直角坐标系中，如果曲面 上任一点坐标都满足方程 ，而S0),(zyxF不在曲面 S 上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程 称为曲面 S 的方程, 0),(zyx而曲面 S 就称为方程 的图
10、形0),(zyxF空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;(2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状.平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程(1.3)0DCzByAx来表示，反之亦然. 其中 、 、 、 是不全为零常数 . 方程(1.3) 称为平面的一般方程.柱面定义 2 平行于某定直线并沿定曲线 C 移动的直线 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲L线 C 称为柱面的准线, 动直线 称为柱面的母线.L二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截
11、痕） ，通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法. 椭球面 (1.4)122czbyax)0,(cba椭圆抛物面 （ ）qpz同 号与双曲抛物面 ( 与 同号) zyx2单叶双曲面 122cba)0,(cba双叶双曲面 22zyx ),(二次锥面 022cba)0,(cba6.2 多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念定义 1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于 内的任一点 ，按照某种法D),(yx则 ，都有唯一确定的实数 与之对应，则称 是 上的二元函数，它在
12、处的函数f zf ,值记为 ，即 ，其中 x，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集 D 称为该函数),(yxf ),(xf的定义域，数集 称为该函数的值域.,|Dfz类似地，可定义三元及三元以上函数. 当 时, n 元函数统称为多元函数.2二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义 2 设函数 在点 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(yxfz),(0yxP无限趋于点 时，函数 无限趋于一个常数 ，则称 A 为函数),(yxP),(0yxP,当 时的极限. 记为,fz),.Ayxfyx),(lim0或 （ ）f),( ),(),(0也记作或 APf)(li0 APf)()(0二元函数的极限
13、与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限. 四、二元函数的连续性定义 3 设二元函数 在点 的某一邻域内有定义，如果),(yxfz),(0,lim0yx则称 在点 处连续. 如果函数 在点 处不连续，则称),(fz),( ),(yxfz),(0函数 在 处间断.x0与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由和 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函y数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域
14、. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满D足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理 1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 D 上的二元连续函数, 在 D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理 2（有界性定理）在有界闭区域 D 上的二元连续函数在 D 上一定有界.定理 3（介值定理）在有界闭区域 D 上的二元连续函数, 若在 D 上取得两个不同的函数值, 则它在 D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次.6.3 偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义
15、1 设函数 在点 的某一邻域内有定义 , 当 y 固定在 而 x 在),(yxfz),(0 0处有增量 时, 相应地函数有增量0xx),(),(000yxfxf如果 存在, 则称此极限为函数 在点 处yfx),(lim00 ),(yxfz),(0对 x 的偏导数, 记为 ).,(, 0000 fzxfzxyxyy或例如，有.),(0yxf xyffx ),(),(lim000类似地，函数 在点 处对 y 的偏导数为z),0,ffy)(li 00记为).,(, 0000 yxfzyfzyxxyx 或上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数
16、的求导公式及复合函数求导法则来计算之.二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数 可看作函数的微分 与自变量的微分 的商. 但偏dxydydx导数的记号 是一个整体.xu（2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续. 例如，二元函数 )0,(,0),(2yxyxf在点 的偏导数为)0,( ,lim),(),(lim),( 00 xxfffxx .li,li, 00 yyfff xyy但从上
17、节例 5 已经知道这函数在点 处不连续.),(三、偏导数的几何意义设曲面的方程为 ， 是该曲面上一点，过点 作平),(yxfz),(,(00yxfM0M面 ，截此曲面得一条曲线，其方程为0y0),(yxfz则偏导数 表示上述曲线在点 处的切线 对 轴正向的斜率（图 6-3-1）. ),(0yxf 0MxT0同理，偏导数 就是曲面被平面 所截得的曲线在点 处的切线 对 yy x0MT0轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量 其中 p 为该产品的价格, y 为消费者收入.),(yQ记需求量 Q 对于价格 p、消费者收入 y 的偏改变量分别为 ),(),(和 .py易见， 表示 Q 对价
18、格 p 由 p 变到 的平均变化率. 而pQp0lim表示当价格为 p、消费者收入为 y 时, Q 对于 p 的变化率 . 称Ep/li0为需求 Q 对价格 p 的偏弹性.同理， 表示 Q 对收入 y 由 y 变到 的平均变化率 . 而yQy0lim表示当价格 p、消费者收入为 y 时, Q 对于 y 的变化率. 称yEy/li0为需求 Q 对收入 y 的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数，10,),(1acyxpa且其中 是由 个人力单位和 个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生x产工具和其它用品的成本） 。偏导数yp和分
19、别称为人力的边际生产力和资本的边际生产力。六、高阶偏导数设函数 在区域 内具有偏导数),(yxfzD,fx),(yxfz则在 内 和 都是 、 的函数. 如果这两个函数的偏导数存在，则称它D),(yfx),(f们是函数 的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导,z数： ),(),(22 yxfzxyxfzx ),(),(2ffyyyx其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数. 类似地，可以定义三阶、四阶、 阶偏导数. 我们把二阶及二阶以上的偏导数n以 及统称为高阶偏导数.定理 1 如果函数 的两个二阶混合偏导数 及 在区域 D 内连续, ),(yxfzxyz22则在该区域内有
20、 .y26.4 全微分一、微分的定义定义 1 如果函数 在点 的全增量),(yxfz),(),(yxfyxf可以表示为(4.2),(oBxAz其中 A,B 不依赖于 而仅与 x, y 有关, 则称函数 在点, ,)(22yx),(yxfz可微分, 称为函数 在点 的全微分, 记为 即)(yxx)(fz d. (4.3)yBxAd若函数在区域 D 内各点处可微分，则称这函数 在 D 内可微分.二、函数可微的条件定理 1 (必要条件) 如果函数 在点 处可微分 , 则该函数在点 的),(yxfz),( ),(yx偏导数 必存在, 且 在点 处的全微分yzx,f,. (4.4)yzxdz我们知道，一
21、元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件. 但对于多元函数则不然. 定理 1 的结论表明，二元函数的各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.由此可见，对于多元函数而言，偏导数存在并不一定可微.因为函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿坐标轴的变化率，而全微分描述了函数沿各个方向的变化情况. 但如果对偏导数再加些条件，就可以保证函数的可微性. 一般地，我们有：定理 2 (充分条件) 如果函数 的偏导数 在点 连续, 则函数在该),(yxfzyzx,)(点处可微分.三、微分的计算习惯上，常将自变量的增量 、 分别记为 、 ，并分别称为自变量的微分 . xydxy这样，函数 的全微分就表为
22、),(yxfz(4.5).dyzxdz上述关于二元函数全微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元及三元以上的多元函数中去. 例如，三元函数 的全微分可表为),(zxfu(4.6).dydxu四、全微分在近似计算中的应用设二元函数 在点 的两个偏导数 连续, 且),(fz),(P),(yxf)(yxf都较小时, 则根据全微分定义，有|yxdz即 .),(),(yxfyxfzy由 ，即可得到二元函数的全微分近似计算公式,(xfz(4.7)yxfyxffyxf y),(),(),(),(6.5 复合函数微分法与隐函数微分法一、多元复合函数微分法1复合函数的中间变量为一元函数的情形设函数 ,
23、 , 构成复合函数)(vufz(t)tv)(,tvufz（5.1）.dtvtuzdt公式(5.1)中的导数 称为全导数.tz2、复合函数的中间变量为多元函数的情形设 构成复合函数),(vufz),(yx),(v),(,yxvufz(5.3),xvzuz(5.4),yy3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形定理 3 如果函数 在点 具有对 及对 的偏导数, 函数 在点),(xu),(x)(yv可导，函数 在对应点 具有连续偏导数 , 则复合函数y,vfzv在对应点 的两个偏导数存在, 且有)(,yxufz)(yx(5.7)uz(5.8).dyvy注：这里 与 是不同的， 是把复合函数
24、 中的 看作不变xzfxz,)(yxufz而对 的偏导数， 是把函数 中的 及 看作不变而对 的偏导数. 与f ),(yufyyz也有类似的区别.yf在多元函数的复合求导中，为了简便起见，常采用以下记号:,)(1uvf ,)(2vuf vuff),(21这里下标 1 表示对第一个变量 求偏导数，下标 2 表示对第二个变量 求偏导数，同理有等等.21,f二、全微分形式的不变性根据复合函数求导的链式法则，可得到重要的全微分形式不变性. 以二元函数为例，设, )(vufz),(),(yxvyx是可微函数，则由全微分定义和链式法则，有 dyxzd dyvzyudxvz yu.dvz由此可见，尽管现在的
25、 u、v 是中间变量，但全微分 与 、 是自变量时的表达式在形dzxy式上完全一致. 这个性质称为全微分形式不变性. 适当应用这个性质，会收到很好的效果.三、 隐函数微分法在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程(5.11)0),(yxF来求它所确定的隐函数的导数的方法. 这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并通过多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法.定理 4 设函数 在点 的某一邻域内具有连续的偏导数, 且),(yx)(0yxP则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确,0),(yxF0(F),(0yxP定一个连续且具有连
26、续导数的函数 它满足 并有),(xfyf(5.12).yFdx定理 5 设函数 在点 的某一邻域内有连续的偏导数, 且),(zy),(0zP,0),(00 zyxxz则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏0),(zyxF),(zy导数的函数 , 它满足条件 ,并有f )(00yxf(5.14).,zyzxF6.6 多元函数的极值及求法一、二元函数极值的概念定义 1 设函数 在点 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(yxfz)(0的任意一点 , 如果),(0yx ),(),(0yxff则称函数在 有极大值；如果),(0yx ),(),(0yxff则称函数在 有极小值;
27、 极大值、极小值统称为极值 . 使函数取得极值的点称为极值),(0yx点.定理 1 (必要条件 ) 设函数 在点 具有偏导数 , 且在点 处有极),(yxfz),(0 ),(0yx值, 则它在该点的偏导数必然为零，即(6.1).),(,0),(0ffyx与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理 2 (充分条件) 设函数 在点 的某邻域内有直到二阶的连续偏导),(yxfz),(0数，又 令,0,yxf .0),(fy .),(,),(00CyxfByxfAx (1) 当 时，函数 在 处有极值，2BAC,且当 时有极小值 ； 时有极大值 ；0),(0
28、yxf),(0yxf(2) 当 时，函数 在 处没有极值;2,(f),0(3) 当 时，函数 在 处可能有极值，也可能没有极值.BAC)yx根据定理 1 与定理 2，如果函数 具有二阶连续偏导数，则求 的极,(f ),(yxfz值的一般步骤为：第一步 解方程组 求出 的所有驻点；,0),(),(yxfyxf ),(yxf第二步 求出函数 的二阶偏导数，依次确定各驻点处 A、 B、 C 的值，并根据),(yxf的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数 在极值点处的极值.2BAC ),(yxf二、二元函数的最大值与最小值求函数 的最大值和最小值的一般步骤为:),(yxf（1）求函数 在 内所有驻
29、点处的函数值;D（2）求 在 的边界上的最大值和最小值;),(yxf（3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值.在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数 的最大值（最),(yxf小值）一定在 的内部取得，而函数 在 内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处D),(yxfD的函数值就是函数 在 上的最大值（最小值）.),(yxf三、条件极值 拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值. 但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题. 对自变量有附加条件
30、的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数 和 在区域 内有一阶连续偏导数，则求 在 内),(yxf),(D),(yxfzD满足条件 的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数0, ),(),(),(yxfyxL（其中 为某一常数）的无条件极值问题 .于是，求函数 在条件 的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：),fz0,(1) 构造拉格朗日函数 ),(),(),(yxfyxL其中 为某一常数;(2) 由方程组 0),(,),(,yxLyxfyx解出 , 其中 x, y 就是所求条件极值的可能的极值点.yx注：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件, 因此按照这种方法求出来的点是否为极值点, 还需
31、要加以讨论. 不过在实际问题中, 往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形:四、数学建模举例6.7 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念定义 1 设 是有界闭区域 D 上的有界函数. 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域),(yxf其中 表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个 上任取,2n i i一点 , 作乘积)(i ),21(,),(nifi 并作和 ,),(1ni iif如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时, 这和式的极限存在 , 则称此极限为函数在闭区域 D 上的二重积分 , 记为 即),(yxf
32、 ,)(Ddyxf(7.2)Ddyxf),(ni iif10,lm其中 称为被积函数, 称为被积表达式, 称为面积微元, 和 称为积)(yxff, dxy分变量, 称为积分区域, 并称 为积分和 .ni iif1),(对二重积分定义的说明:(1) 如果二重积分 存在，则称函数 在区域 上是可积的. 可以Ddyxf),( ),(yxfD证明，如果函数 区域 上连续，则 在区域 上是可积的. 今后，我们总假),(f ),(f定被积函数 在积分区域 上是连续的;yx(2) 根据定义，如果函数 在区域 上可积，则二重积分的值与对积分区域的分),(yxfD割方法无关，因此，在直角坐标系中，常用平行于 轴
33、和 轴的两组直线来分割积分区域xy，则除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域D的边长为 和 ，于是 . 故在直角坐标系中，面积微元 可记为iixjyjiiyd. 即 .dxydxy进而把二重积分记为 ，这里我们把 称为直角坐标系下的面积微元.Ddxyf),(dxy二、二重积分的性质类似于一元函数的定积分，二重积分也有与定积分类似性质，且其证明也与定积分性质的证明类似.6.8 在直角坐标系下二重积分的计算一、区域分类型区域 ： . 其中函数 在区间X)()(,|),( 21xyxbayx )(,21x上连续 . 这种区域的特点是：穿过区域且平行于 y 轴的直线
34、与区域的边界相交不多于,ba两个交点.型区域 ： . 其中函数 在区间Y )()(,|),( 21xydcyx )(,21x上连续 . 这种区域的特点是：穿过区域且平行于 轴的直线与区域的边界相交不多于,dc两个交点.二、二重积分的计算假定积分区域 为如下 型区域:DX.)()(,|),( 21xyxbayx则有 (8.2)(21,xaDdfdf类似地，如果积分区域 为 型区域：Y.)()(,|),( 21yycyx则有(8.3).),(),()21ydcDdxff特别地，当区域 为矩形区域 时，有,|),(cbax badcdcbaD xyfyfyxf ),(,),(三、交换二次积分次序的步
35、骤一般地，交换给定二次积分的积分次序的步骤为：（1） 对于给定的二重积分 先根据其积分限,)()21xbadyfd,2x画出积分区域 D（图 6-8-14）（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域 D 的积分限),()(,21yxydc（3） 写出结果 .),(),() 2121 ydcxba dxff四、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算利用被积函数的奇偶性及积分区域 D 的对称性，常会大大化简二重积分的计算. 在例5 中我们就应用了对称性来解决所给的问题. 如同在处理关于原点对称的区间上的奇（偶）函数的定积分一样，在利用这一方法时，要同时兼顾到被积函数 的奇偶性和积分),(yxf区域 D 的对称性两方面. 为应用方便，我们总结如下：1. 如果积分区域 D 关于 y 轴对称，则(1) 当 时，有),(),(xff),.0(Ddxyf(2) 当 时，有),(),(yxff ),1),(2DDxdyfxyf其中 .0,),(|,1yxD2如果积分区域 D 关于 x 轴对称，则(1) 当 时，有),(),(ff),y.0(Ddxyf(2) 当 时，有),(),(yxff),2),(DDxdyfxyf其中 .0,),(|,2 yxD6.9 在极坐标系下二重积分的计算
