微分几何答案

1、一、填空题1. 曲线 x=cost，y=sint, z=t 在 t=0 处的切线方程是_ X-1/0=Y-0/1=Z-0/1_。2. 曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是_等距_不变量。3. 若点(u 0, v0)为曲面的正常点，则 在(u 0, v0)满足_ 不等于零_。vr4. 两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的_第一基本形式成比例_。5. 若向量函数 满足 ，则 具有固定的_方向_ .()rt()0tr()rt6. 曲线 的正常点是指满足_r(t0) 不等于 0_ 的点.7. 椭圆点对应的杜邦指标线是椭圆,双曲点对应的是一对共轭双曲线,抛物点对应的是 _一对平行直线_ .8. 平均曲率 H=0 的曲面称为 。

2、微分几何主要习题解答 26 第一章 曲线论 2 向量函数 5. 向量函数 )(tr具有固定方向的充要条件是 )(tr )( tr= 0。 分析：一个向量函数 )(tr一般可以写成 )(tr= )(t )(te的形式，其中 )(te为单位向量函数， )(t 为数量函数，那么 )(tr具有固定方向的充要条件是 )(te具有固定方向，即 )(te为常向量，（因为 )(te的长度固定）。 证 对于向量函数 )(tr， 设 )(te为其单位向量，则 )(tr= )(t )(te，若 )(tr具有固定方向，则 )(te为常向量，那么 )( tr= )( t e， 所以 r r= （ ee）= 0。 反之，若 r r= 0， 对 )(tr= )(t )(te求微商得 r= e+ e， 。

3、 微积分几何 复习题 本科 第一部分 练习题库及答案 一 填空题 每题后面附有关键词 难易度 答题时长 第一章 1 已知 则这两个向量的夹角的余弦 2 已知 求这两个向量的向量积 1 1 1 3 过点且与向量垂直的平面方程为X Z 0 4 求两平面与的交线的对称式方程为 5 计算 6 设 求 0 7 已知 其中 则 8 已知 则 9 已知 求 其中 10 已知 为常向量 求 11 已知 为常向量 。

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5、An Introduction to Differential Geometry Dr. Zhiyong Alex, Chang. Northwestern Polytechnical University “微分几何”要点讲义 An Introduction to Differential Geometry 1. 曲线参 数方程在一点处的 标准展开 将曲线 在 弧长 参数 0 s = 处进行 泰勒展 开 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 3 00 0 0 1! 2! 3! ss s ss =+ rr r r ro (1.1) 上式中 ( ) 3 s o 表示 3 s 的高 阶无 穷小. 根据 Frenet 公式 ，有 ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 k kkk = = = + + r rN r NB (1.2) 则曲线 可表 达为 ( ) ( ) ( ) 2 3 23 3 3 0 6 26 6 k kk k s s s s s s。

6、微分几何试题课程代码：10022一、判断题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“”，错的打“”。1曲面的克氏记号 是曲面的内蕴量。( )kij2曲率挠率分别为不等于零的常数的曲线 是圆柱螺线。( )3曲面 S 为平面的充要条件是 =0。( )4曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为 M=0。( )5.可展曲面的平均曲率必为零。( )二、单项选择题(本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.已知。

7、微分几何测试题集锦( 含答案)微分几何测试题（一）一填空题：（每小题 2 分，共 20 分） 向量 r(t)?t,3t,a?具有固定方向，则 a=_t_。? 非零向量 r(t)满足?r,r,r?0 的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线 设曲线在 P 点的切向量为?，主法向量为? ，则过 P 由?,?确定的平面是曲线在 P 点的_密切平面_。 曲线 r?r(t)在点 r(t0)的单位切向量是?，则曲线在 r(t0)点的法平面方程是_。 曲线 r?r(t)在 t = 1 点处有?2?，则曲线在 t = 1 对应的点处其挠率?(1)。 主法线与固定方向垂直的曲线是_ 一般螺线_ _ 如果曲线的切向与一固定方向成固。

8、微分几何与伴随着微分几何的发展而创立的张量分析是掌握广义相对论的基础工具 也由于广义相对论的成功 使一向冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一 从微积分发明起 微分几何的萌芽就诞生了 但是Euler Clairaut和Monge的工作才真正使微分几何成为独立学科 Euler在关于测地学的工作中逐步得出重要得研究 并对法曲率的计算得出著名的Euler公式 Clairaut研究了曲线的曲率和挠率 Mon。

9、微分几何主要习题解答13 第二章 曲面论1曲面的概念1.求正螺面 = u ,u , bv 的坐标曲线.rvcosin解 u-曲线为 =u ,u ,bv =0,0，bv u , ,0，为00sv00cosvin曲线的直母线；v-曲线为 = , ,bv 为圆柱螺线rcui证明双曲抛物面 a（u+v）, b（u-v）,2uv的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为 = a（u+ ）, b（u- ）,2u = a , b ,0+ ua,b,2 表示过r0v0v00v0v点 a , b ,0以a,b,2 为方向向量的直线;0vv-曲线为 =a（ +v）, b（ -v）,2 v=a , b ,0+va,-b,2 表r0u0u00u0u示过点(a , b ,0)以a,-b,2 为方向向量的直线。0u3求球面 = 上任意点的切平面和法线方。

10、 1 习题答案 1 p.41 习题 2.3 1. 求下列曲线的曲率： (2) ( )3 2 3( ) 3 , 3 , 3r t t t t t t= +； (4) ( )33( ) c o s , sin , c o s 2r t t t t= . 解 . (2) ( )22( ) 3 1 , 2 ,1r t t t t = +， ( )2| ( ) | 3 2 1r t t =+, ( )( ) 6 , 1,r t t t = , ( )22( ) ( ) 1 8 1 , 2 , 1r t r t t t t = +, ( )2| ( ) ( ) | 1 8 2 1r t r t t = +, 2213(1 )t = + . (4) ( )1( ) s in 2 3 c o s , 3 s in , 42r t t t t = ， 5| ( ) | | sin 2 |2r t t = , ( ) ( )1( ) c o s 2 3 c o s , 3 s in , 4 s in 2 3 s in , 3 c o s ,。

11、微分几何,主讲：钟定兴,课 程 介 绍,微分几何历史简介 微分几何是数学的一个重要分支，它渗透到各数学分支和理论物理等学科，成为推动这些理论发展的一项重要工具。经典的微分几何研究三维欧氏空间的曲线和曲面在一点邻近的性质，在微积分发明的同时，就开始了平面曲线微分几何的研究，而第一个作出重要贡献的是Euler(17071783).他在1736年引进了平面曲线的内在坐标，即曲线弧长这一概念，从而开始了内在几何的研究。将曲率描述为某一特殊角的变化率也是Euler的工作。他在曲面论方面也有重要贡献，特别值得一提的是他在测地线方面的一些工。

12、第 1 页 共 3 页华东师范大学期末试卷（A 卷）参考答案2010 2011 学年第一学期 课程名称：_微分几何 考试日期 2011.1.17专 业：_数学_ （师范） _ 年级/班级：_2008_ 课程性质：专业必修一、求曲线 的曲率与挠率。(10 分)22()sin,icos,)rtttt解： ，ico(sin(i2,cos,in2)ttt ， ，2(s,i2,cs)rttt 4(,irt, , (4 分)10)|， (6 分)3|2rk. (10 分)2(,)0|r二、证明：若曲线的所有切线通过定点，则此曲线是直线。(10 分)证明：切线方程为： ，不妨设定点为原点，则存在函数 使)(sTr )(s得 （4)()(0ssr分）求导得： )()()(sNkT所以 ， （8 分）0,。

13、rXYXC(0,r)M(tCXMCC0,0)CMMCMNM=(),()xtyt()xtMCOCMCMCsinrtrt()ytCNCCcosrrtM(sin,cosrtrtrrt)2()(3,6,6)rttt2*21()(1,2,2)12rtttt*()rt123(,)ccCc2*12321cos(),)()(22)12rtCrtCcctctata2221231ccc1322,02ccac()rt22(,0,22)4clPllcPc()rrtP0ttcl1/ll1011()|,lcrrtttttt0121,)il/lli(idistldistl,)il010()|,iicrrtttttt2il2,3,4,i12/nllllnll0(rtt20112 )()/nnnnrttlttP0()rt0201012()()()nnnnrttrttrttt0/()lrt/lcP()rt0t()x00t0t()yfx()xzg0()0xt0()0xt0t0()t()xxt0()t0()t()xxt()xth0()t()()()yytyhxfx()()()zzt。

14、-民族学院（院、部、中心） 出题教师： 杨天标 教研室主任：（签字） 系（院、部、中心）主任：（签字）课程考核参考答案及评分标准考试课程：微分几何 学年学期：2006-2007-1试卷类型：B 考试时间：2006-12- 适用专业：民族学院数学与应用数学专业 2004 级 1 班 层次：本科一、选择题（每小题 2 分共 10 分）1 (A)；2 (C) ；3 (B)；4 (D) ；5 (C) 。二、填空题（每小题 2 分共 10 分）1、已知 r=(2x2,2x2,3x),00, 0v0，求 u-线的坐标曲线的测地曲率；（提示：利用公式 kgu=(lnE)v/2G）解：k gu=(lnE)v/2G=(lnv)v/2v = 1/2v3/2；4、求曲线。

15、微分几何主要习题解答26第一章 曲线论2 向量函数5. 向量函数 具有固定方向的充要条件是 = 。)(tr )(tr)(t0分析：一个向量函数 一般可以写成 = 的形式，其中 为单位t e)(te向量函数， 为数量函数，那么 具有固定方向的充要条件是 具有固定方)(t)(tr 向，即 为常向量， （因为 的长度固定） 。ee证 对于向量函数 ，设 为其单位向量，则 = ，若 具有固)(tr)(t )(tr)(te)(tr定方向，则 为常向量，那么 = ，所以 = （ ）= 。)(ter)(te0反之，若 = ，对 = 求微商得 = + ，于是r0)(tre = （ ）= ， 则有 = 0 或 = 。当 = 0 时， = 可与任r2e e0)(。