1、微分几何主要习题解答 26 第一章 曲线论 2 向量函数 5. 向量函数 )(tr具有固定方向的充要条件是 )(tr )( tr= 0。 分析：一个向量函数 )(tr一般可以写成 )(tr= )(t )(te的形式，其中 )(te为单位向量函数， )(t 为数量函数，那么 )(tr具有固定方向的充要条件是 )(te具有固定方向，即 )(te为常向量，（因为 )(te的长度固定）。 证 对于向量函数 )(tr， 设 )(te为其单位向量，则 )(tr= )(t )(te，若 )(tr具有固定方向，则 )(te为常向量，那么 )( tr= )( t e， 所以 r r= （ ee）= 0。 反之，
2、若 r r= 0， 对 )(tr= )(t )(te求微商得 r= e+ e， 于是 rr=2 （ e e） = 0， 则有 = 0 或 e e= 0。 当 )(t = 0 时， )(tr=0可与任意方向平行；当 0 时，有 e e= 0， 而（ e e2) =22ee-( e e2) 2e，（ 因为 e具有固定长， e e= 0） ， 所以 e= 0，即 e为常向量。所以， )(tr具有固定方向。 6向量函数 )(tr平行于固定平面的充要条件是（ rrr）=0 。 分析：向量函数 )(tr平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量 )(tn， 使)(tr n= 0 ， 所以我们要寻求这个向量
3、 n及 n与 r， r的关系。 证 若 )(tr平行于一固定平面，设 n是平面的一个单位法向量，则 n为常向量，且 )(tr n= 0 。 两次求微商得 r n= 0 ， r n= 0 ，即向量 r， r， r垂直于同一非零向量 n，因而共面，即（ rrr）=0 。 反之, 若（ rrr） =0，则有 r r= 0或 r r 0。 若 r r= 0， 由上题知 )(tr具有固定方向，自然平行于一固定平面，若 r r 0，则存在数量函数)(t 、 )(t ，使 r= r+ r 微分几何主要习题解答 27 令 n= r r，则 n 0，且 )(tr )(tn。对 n= r r求微商并将式代入得n=
4、 r r=（ r r） = n，于 是 n n= 0，由上题知 n有固定方向，而 )(tr n， 即 )(tr平行于固定平面。 3 曲线的概念 3. 证明圆柱螺线 r= a cos ,a sin , b ( + )的切线和 z 轴作固定角。 证明 r= -a sin ,a cos , b ,设切线与 z 轴夹角为 ,则 cos =22|baberkr+=为常数，故 为定角（其中 k为 z 轴的单位向量）。 10. 将圆柱螺线 r=a tcos ， a tsin ， bt 化为自然参数表示。 解 r= -a tsin ,a tcos ,b，s = tbadtrt220| +=，所以22bast+
5、= ， 代入原方程得 r=a cos22bas+, a sin22bas+, 22babs+ 4 空间曲线 1 求圆柱螺线 x=a tcos ， y =a tsin ， z = bt 在任意点的密切平面的方程。 解 r= -a tsin ,a tcos ,b, r=-a tcos ,- a tsin ,0 所以曲线在任意点的密切平面的方程为 0sincoscossinsincostatabtatabtztaytax= 0 ，即(b tsin )x-(b tcos )y+az-abt=0 . 2. 求曲线 r= t tsin ,t tcos ,tte 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法
6、线、副法线。 微分几何主要习题解答 28 解 原点对应 t=0 , r(0)= tsin +t tcos , tcos - t tsin ,te +tte0=t=0,1,1， =)0(r2 tcos + t tcos , tcos - t tsin ,2te +tte0=t=2,0,2 ， 所以切线方程是 110zyx= ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是202110zyx=0 ，即 x+y-z=0 ， 主法线的方程是=+=+00zyzyx即112zyx= ； 从切面方程是 2x-y+z=0 ,副法线方程式111 =zyx。 3证明圆柱螺线 x=a tcos ， y =a t
7、sin ， z = bt 的主法线和 z 轴垂直相交。 证 r= -a tsin ,a tcos ,b, r=-a tcos ,- a tsin ,0 ， 由 r r知 r为主法线的方向向量，而 r0=k所以主法线与 z 轴垂直；主法线方程是 0sinsincoscos btzttayttax =与 z 轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和 z 轴垂直相交。 4.在曲线 x = cos cost ,y = cos sint , z = tsin 的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。 解 r= -cos sint, cos cost, sin , r= -cos
8、cost,- cos sint , 0 =|rrrr sin sint ,- sin cost , cos 新曲线的方程为 r= cos cost + sin sint ， cos sint- sin cost ， tsin + cos 对于新曲线 r=-cos sint+ sin cost ， cos cost+ sin sint ，sin =sin( -t), cos( -t), sin , r= -cos( -t), sin( -t),0 ,其密切平面的方程是 微分几何主要习题解答 29 00)sin()cos(sin)cos()sin(sinsincoscoscos=tataatata
9、atztaytax即 sin sin(t- ) x sin cos(t- ) y + z tsin cos = 0 . 5证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 证 方法一： 设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径 )(tr具有固定长，所以 r r= 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。 若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则 r r= 0， )(tr具有固定长，对应的曲线是球面曲线。 方法二： ()r rt=是球面曲线 存在定点0r（是球面中心的径矢）和常数 R（是球面的半
10、径）使220()rr R=02( ) 0rrr =，即0()0rrr =（） 而过曲线 ()r rt=上任一点的法平面方程为 ()0rr = 。可知法平面过球面中心 （）成立。 所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 7求以下曲面的曲率和挠率 ,sinh,cosh attatar =, )0)(3(,3),3(323attaatttar += 。 解 ,cosh,sinh atatar =， 0,sinh,cosh tatar =， 0,cosh,sinh ttar =，1,cosh,sinh = ttarr，所以tatatarrrk2323cosh21)cosh2(co
11、sh2|=微分几何主要习题解答 30 tataarrrrr22422cosh21cosh2)(),(= 。 1,2,1322tttar +=， 1,0,16,1,6 = arttar， r r= 1,2,118222+ ttta ，22322223)1(31)1(2227)1(218|+=+=tatatarrrk22224232)1(31)1(2182618)(),(+=+=tataarrrrr 。 8已知曲线 2cos,sin,cos33tttr =，求基本向量 , ；曲率和挠率；验证伏雷内公式。 分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以
12、利用定义来求。 解 4,sin3,cos3cossin2sin2,cossin3,sincos322= tttttttttr， ,cossin5|)(| tttrdtds=（设 sintcost0）， 则 54,sin53,cos53|= ttrr ， 0,cos53,sin53cossin51ttttdsdtdtd=， 0,cos,sin|tt=， 53,sin54,cos54 = tt， ttkcossin253| =， 0,cos,sincossin254tttt=，由于与 方向相反，所以 tt cossin254| = 显然以上所得 ,k 满足 =,k ，而 +=0,sin,cosco
13、ssin51tttt也满足伏雷内公式 。 9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。 证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 r )(tr， 则曲线在任意点的切线方程是 )()( trtr = ，由条件切线都过坐标原点，所以微分几何主要习题解答 31 )()( trtr= ，可见 r r， 所以 r具有固定方向，故 r )(tr是直线。 方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 r )(tr， 则曲线在任意点的切线方程是 )()( trtr = ，由条件切线都过坐标原点，所以 )()( trtr= ，于是 r r， 从而 r r 0， 所以由曲率的计算公式
14、知曲率 k，所以曲线为直线。 方法三：设定点为0r， 曲线的方程为 r ()rs， 则曲线在任意点的切线方程是() ()rs s =，由条件切线都过定点0r，所以0() ()r rs s=，两端求导得: () ()ss = +, 即 ( 1) ( ) 0s + +=，而 (), ()ss无关，所以 10+=， 可知 0, ( ) 0s =，因此曲线是直线。 10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。 证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 r )(tr， 则曲线在任意点的密切平面的方程是 0)()()( = trtrtr ，由条件0)()()( = t
15、rtrtr，即（ rrr） =0，所 以 r平行于一固定平面 ， 即 r )(tr是平面曲线。 方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 r )(sr， 则曲线在任意点的密切平面方程是 0)( = sr ，由条件 0)( =sr ，两边微分并用伏雷内公式得 0)( =sr 。若 0)( =sr ,又由 0)( =sr 可知 )(sr )(sr= ,所以 r)(sr平行于固定方向，这时 r )(sr表示直线,结论成立。 否则 0= ，从而知曲线是平面曲线。 方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 r )(tr， 则曲线在任意点的密切平面方程是 0)()()( = trtrtr
16、，由条件0)()()( = trtrtr，即（ rrr） =0，所以 r， r， r共面，若 r r，则 r微分几何主要习题解答 32 )(tr是直线，否则可设 , r rrr r r =+ =+ ，所以 , , rr r共面，所以0= ，从而知曲线是平面曲线。 11. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量 e，那么曲线是直线或平面曲线。 证 方法一：根据已知 0=e ，若 是常向量，则 k= |=0 ，这时曲线是直线。否则在 0=e 两边微分得 e=， 即 k e=, 所以 e=， 又因 0=e ，所以 e， 而 为单位向量，所以可知 为常向量，于是 0| =，即 0= ，此曲线为平面曲线
17、。 方法二：曲线的方程设为 r )(tr， 由条件 r e， 两边微分得 r e，r e， 所以 r， r， r共面，所以（ rrr）。由挠率的计算公式可知 0= ，故曲线为平面曲线。当 r r 0时是直线。 方法三： 曲线的方程设为 r )(tr， 由条件 r e， 两边积分得 （ p 是常数）。因 re p=是平面的方程，说明曲线 r )(tr在平面上，即曲线是平面曲线，当 r有固定方向时为直线。 12证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。 证明 设曲线（C ）： r )(sr的曲率 k 为常数,其曲率中心的轨迹（ C ）的方程为： )(1)( sksr += ，（
18、 为 曲线（ C）的主法向量），对于曲线（ C ）两边微分得 kkks =+= )(1)( ，（ ， ， 分别为曲线（C ）的单位切向量，副法向量和挠率）， kk2 =，k| =，23k =，曲线（ C ）的曲率为 kkkk =33233|为常数。 14设在两条曲线、 的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切微分几何主要习题解答 33 线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。 证 设曲线： r= )(sr与 ： )(srr= 点 s 与 s 一一对应，且对应点的切线平行，则 )(s= )(s , 两端对 s求微商得dssd= , 即dssdsksk )()( = ， (这里
19、 k 0，若 k= |=0，则 无定义) ，所以 ， 即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行 。 15设在两条曲线、 的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平行，证明它们在对应点的切线作固定角。 证 设 ,分别为曲线、 的切向量, ,分别为曲线、 的主法向量,则由已知 )()( ss = ，而dssddsd+= )( dssdskk )(+ 将 式代入 0)( =dssdk 。 所以 常数，故两曲线的切线作固定角。 16.若曲线的主法线是曲线 的副法线, 的 曲率、挠率分别为 , .求证k=0 (2 +2 ) ,其中0 为常数。 证 设 的向量表示为 r= )(sr， 则 可表示为
20、 = )(sr+ )(s )(s， 的切向量 =+ （k + ）与 垂直，即 ，所以 为常数，设为0 ，则 （0 k） +0 .再求微商有 0 k（0 k） k0 02 ， （0 k）k02 ，所以有 k=0 (2 +2 )。 17曲线 r=a(t-sint),a(1-cost),4acos2t在哪点的曲率半径最大。 解 r= a1-cost,sint,-2sin2t , r= asint,cost,-cos2t, |2sin|22|tr =, r r= 1,2cos,2sin2sin22cos4,2cos2sin2,2sin222232tttatattta = , 微分几何主要习题解答 34
21、 | r r|= 22sin222ta , |2sin|81|3tarrrk =, |2sin|8taR = , 所以在 t=(2k+1) ，k 为整数处曲率半径最大。 5 一般螺线 5. 证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线. 证法一: 当曲线的密切平面垂直于某固定直线时 ,曲线的副法向量 是常向量.即 =0。 曲线的挠率的绝对值等于| |为零，所以曲线为平面曲线。 证法二：设 n是固定直线一向量，则 r n=0 ，积分得 r n= p ,说明曲线在以n为法向量的一个平面上,因而为平面直线。 证法三：设 n是固定直线一向量，则 r n=0 ，再微分得 r n=0 ， r n=
22、0 。所以 r、 r、 r三向量共面，于是（ rrr） = 0 ，由挠率的计算公式知 =0，因此曲线为平面曲线。 7如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。 证 设一曲线为： r )(sr， 则另一曲线 的表达式为： += )(sr )(s )(s，)(s为曲线在点 s 的主法向量，也应为 在对应点的副法线的方向向量。 与 正交，即 ，于是 ， 为常数。 ， k （k ）也与 正交，即 -2 =0,而 ,所以有 ， 曲线为平面曲线。同理曲线 为平面曲线。 9证明曲线 r )(sr为一般螺线的充要条件为 0),(=rrr微分几何主要习题解答 35 证 =r ， )2()(3,232+
23、=+= rr 25333)(3)2(),( =+= krrr )(5 ，其中 k 0. 曲线 r )(sr为一般螺线的充要条件为为常数, 即)(=0, 也就是 0),(=rrr。 方法二： 0),(=rrr，即 0),( =。曲线 r )(sr为一般螺线，则存在常向量 e，使 e=常数，所以 ,0,0,0 = eee 所以 , 共面，从而（ , ） =0。反之，若（ , ） =0，则 平行于固定平面，设固定平面的法矢为 e， 则有 0=e ，从而 e= p (常数) ，所以 r )(sr为一般螺线。 方法三：曲线 r )(sr为一般螺线 存在常向量 e使 e ，即 0e=平行于固定平面（以 e
24、为法向量的平面） r平行于一固定平面 (, , ) 0rr r= 。 方法四： “ 设 r )(sr为一般螺线，存在常向量 e使 e =常数，即 re=常数，连续三次求微商得 0, 0re re= = ， 0re=，所以 0),(=rrr。 “ 因为 0),(=rrr，所以 r平行于固定平面，设固定平面的法矢为 n（常向量），则 rn，而 ,rn ，所以曲线为一般螺线。 11 设在两条曲线、 的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行，且它们的挠率和曲率都成比例，因此如果为一般螺线, 则 也为一般螺线。 证 设曲线 ： r= )(sr与
25、： )(srr= 点建立了一一对应，使它们对应点的切微分几何主要习题解答 36 线平行，则适当选择参数可使 )(s= )(s, 两端对 s 求微商得dssd= , 即dssdsksk )()( = ，这里 0dssd，所以有 =， 即主法线平行，从而 )(s= )(s，即 两曲线的副法线也平行 。且 ,dssd = 或dssd=。 )(s= )(s两边对 s 求微商得dssdss )()( = ，于是 ,dssd = 或dssd=， 所以，= 或= 。 第二章 曲面论 。 曲面的第一基本形式 1. 求双曲抛物面 ra（u+v）, b（u-v）,2uv的第一基本形式. 解 ,4,2,2,2222
26、vbarEubarvbaruvu+=2222224,4 ubarGuvbarrFvvu+=+=, I = +2222)4( duvba 2222222)4()4( dvubadudvuvba + 。 求正螺面 r= u vcos ,u vsin , bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。 解 ,cos,sin,0,sin,cos bvuvurvvrvu=， 12=urE， 0=vurrF，222burGv+=， I =2222)( dvbudu + ，坐标曲线互相垂直。 微分几何主要习题解答 37 在第一基本形式为 I =222sinh udvdu + 的曲面上，求方程为 u = v
27、的曲线的弧长。 解 由条件 =2ds222sinh udvdu + ,沿曲线 u = v 有 du=dv ，将其代入2ds 得=2ds222sinh udvdu + =22cosh vdv ，ds = coshvdv , 在曲线 u = v 上，从1v 到2v 的弧长为 |sinhsinh|cosh|1221vvvdvvv=。 4设曲面的第一基本形式为 I = 2222)( dvaudu + ，求它上面两条曲线 u + v = 0 ,uv = 0 的交角。 分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。 解 由曲面的第一基
28、本形式知曲面的第一类基本量 1=E ， 0=vF ，22auG += ，曲线 u + v = 0 与 u v = 0 的交点为 u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为 1=E ，0=vF ，2aG = 。曲线 u + v = 0 的方向为 du = -dv , u v = 0 的方向为u=v , 设两曲线的夹角为 ，则有 cos=22222211aavGuEGdvEduuGdvuEdu+=+。 6. 求 u-曲线和 v-曲线的正交轨线的方程. 解 对于 u-曲线 dv = 0,设其正交轨线的方向为u:v ,则有 Eduu + F(duv + dvu)+ G d vv = 0,将 dv
29、 =0 代入并消去 du 得 u-曲线的正交轨线的微分方程为 Eu + Fv = 0 . 同理可得 v-曲线的正交轨线的微分方程为 Fu + Gv = 0 . 8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为 E2du =G2dv . 证 用分别用、 、d 表示沿 u曲线，v曲线及其二等分角线的微分符号，即沿 u曲线u ， v，沿 v曲线 u， v 沿二等分角轨线方向为 du:dv ,根据题设条件,又交角公式得 微分几何主要习题解答 38 222222)()(dsvGvGdvvFdudsuEuFdvvEdu+=+，即GGdvFduEFdvEdu22)()( +=+。 展开并化简得 E(EG-2
30、F )2du =G(EG-2F )2dv ,而 EG-2F 0，消去 EG-2F 得坐标曲线的二等分角线的微分方程为 E2du =G2dv . 9 设曲面的第一基本形式为 I = 2222)( dvaudu + ，求曲面上三条曲线 u = a v, v =1 相交所成的三角形的面积。 解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲线围城的三角形的面积是 S= +10220 122auaaaudvduaudvduau =2+1022auadvduau =2 duauaua+022)1( =aauuaauuaua0222222322|)ln()(32 + = )21ln(3222+a 。 11.证明螺面
31、 r=ucosv,usinv,u+v和旋转曲面 r=tcos,tsin, 12t (t1, 02 )之间可建立等距映射 =arctgu + v , t= 12+u . 分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射 = arctgu + v , t= 12+u ,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式. u v V=1 u=-av u=av o 微分几何主要习题解答 39 证明 螺面的第一基本形式为 I=22du +2 dudv+(2u +1)2dv , 旋转曲面的第一基本形式为 I= dtdttt2
32、222)11( + ,在旋转曲面上作一参数变换 =arctgu + v , t = 12+u , 则其第一基本形式为: 2222222)11)(1(1)11(2dvduuuduuuuu+ =2222222)1(211)11( dvududvduuduuu+=22du +2 dudv+(2u +1)2dv = I . 所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 =arctgu + v , t = 12+u . 3 曲面的第二基本形式 1. 计算悬链面 r=coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式,第二基本形式. 解 ur=sinhucosv,sinhusinv,1,vr=-coshus
33、inv,coshucosv,0 uur=coshucosv,coshusinv,0,uvr=-sinhusinv,sinhucosv,0, vvr=-coshucosv,-coshusinv,0,2urE= = cosh2u,vurrF= =0,2vrG= =cosh2u. 所以 I = cosh2u2du + cosh2u2dv . n=2FEGrrvu= sinsinh,sincosh,coscoshcosh12vuvuvuu , L= 11sinhcosh2=+u, M=0, N=1sinhcosh2+u=1 . 所以 II = -2du +2dv 。 2. 计算抛物面在原点的22212
34、132452 xxxxx += 第一基本形式,第二基本形式. 微分几何主要习题解答 40 解 曲面的向量表示为 225,22212121xxxxxxr +=, 0,0,125,0,1)0,0(211=+= xxrx, 0,1,022,1,0)0,0(212=+= xxrx, 5,0,011=xxr, 2,0,021=xxr, 2,0,022=xxr, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 , I=2221dxdx + , II=222121245 dxdxdxdx + . 3. 证明对于正螺面 r=u vcos ,u vsin ,bv,-u,v处
35、处有 EN-2FM+GL=0。 解 ,cos,sin,0,sin,cos bvuvurvvrvu=，uur=0,0,0, uvr=-uucosv,cosv,0,vvr=-ucosv,-usinv,0, 12=urE， 0=vurrF，222burGv+=， L= 0, M =22bub+, N = 0 .所以有 EN - 2FM + GL= 0 . 4. 求出抛物面 )(2122byaxz += 在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率. 解 0,0,1,0,1)0,0(= axrx, 0,1,0,1,0)0,0(= byry, ,0,0 arxx=, 0,0,0=xyr,0,0 bryy=
36、,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向 dx:dy 的法曲率2222dydxbdyadxkn+= . 6. 利用法曲率公式IIIkn= ,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。 证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径 R 的倒数 1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向 du:dv RGdvFdudvEduNdvMdudvLduIIIkn1222222=+= 或 -R1，所以 )1(RGNFMEL= ，即第一、第二类基本量成比例。 8. 求曲面2xyz = 的渐近线. 微分几何主要习题解答 41 解 曲面
37、的向量表示为 ,2xyyxr =, ,0,12yrx+0,0,0,2,1,0 =xxyrxyr, 22224241,2,41,2,0,0,2,0,0 yxrGxyrrFyrExryryyxxyyxy+=+=. 422422412,412,0yyxxNyyxyML+=+= . 渐近线的微分方程为222 NdyMdxdyLdx + ,即 ,0242=+ xdyydxdy 一族为 dy=0, 即1cy = ,1c 为常数. 另一族为 2ydx=-xdy, 即 .,ln222为常数或 ccyxcyx = . 9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 证 在每一条曲线(C) 的主法线曲面上, 沿
38、 (C)的切平面是由(C) 的切向量与(C)的主法向量所确定的平面, 与曲线(C) 的密切平面重合, 所以每一条曲线(C) 在它的主法线曲面上是渐近线. 方法二：任取曲线 : ()r rs=，它的主法线曲面为 : (,) () ()S st r s t s = = + ， () () ( ) (1 )ssts t t t = + =+ + = + ，t=， (1 )sttt = + 在曲线 上，t = 0 , st=,曲面的单位法向量2stnEG F= =，即 n =，所以曲线 在它的主法线曲面上是渐近线. 11.确定螺旋面 r=u vcos ,u vsin ,bv上的曲率线. 解 ,cos,
39、sin,0,sin,cos bvuvurvvrvu=，uur=0,0,0 ，vvr=-ucosv,-usinv,0 ，uvr=-sinv,cosv,0, 12=urE， 0=vurrF，222burGv+=， L=0, M=22bub+, N=0,曲率线的微分方程为: 00001222222=+bubbudududvdv,即 dubudv221+= ,积分得两族曲率线方程: 微分几何主要习题解答 42 222122)ln()ln( cubuvcbuuv +=+= 和 . 12.求双曲面 z=axy 上的曲率线. 解 ,1,0,1,122222222222yaxaaMLxaGyxaFyaE+=+
40、=+= N=0 . 由010112222222222222yaxaaxayxaxadxdxdydy+=0 得222222)1()1( dyxadxya +=+ ,积分得两族曲率线为 cyaayxaax +=+ )1ln()1ln(2222. 13.求曲面 2),(2),(2uvvubvuar +=上的曲率线的方程. 解 ,0,4,4,422222222=+=+=+= LubaGuvbaFvbaE M=22FEGab,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是: 积分得,)()(22222222duvbadvuba +=+ : cvbavubau +=+ )ln()ln(222222. 14.给出曲面上一曲率线 L,设 L 上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证 L 是一平面曲线. 证法一：因 L 是曲率线,所以沿 L 有 rdndn= ,又沿 L 有 n=常数,求微商 得 正交与而 rdndnnn /,0=+ ,所以 0=n ,即 - n=0,则有 =0,或n=0 . 若 =0, 则 L 是平面曲线； 若 n=0 ， L 又是曲面的渐近线，则沿 L ，n =0 ，微分几何主要习题解答 43 这时 dn=0， n为常向量，而当 L 是渐近线时， = n，所以 为常向量，L 是一平面曲线. 证法二：若 n，则因 n dr ，所以 n ，所以 dn
