微分几何作业

1、微 分 几 何,用微积分方法研究几何图形的性质,包括平面几何和立体几何,用代数的方法研究图形的几何性质,代数几何 分形几何 计算几何 ,返回主目录,蓝色字母代表向量、向量函数或者矩阵，如 a 、 r (u,v)、A 等 粉红色字母代表特殊常数，如圆周率 p 和自然对数的底数 e 等 黄色字母代表特殊函数（如正弦函数 sinq 等）、特殊空间（如欧氏空间 R3 、平面R2 和实数集 R）、特殊向量（如单位坐标向量，如 i 、 j 、 k ）或者变换群 字母右上角的撇号代表对一般参数求导数，右上角或者顶上的圆点代表对弧长参数求导数,符号说明,返回主目录,第一。

2、1微分几何试题（A）一填空题：（每小题 2 分，共 20 分） 向量 具有固定方向，则 =_。(),3rttaa 非零向量 满足 的充要条件是_。,0r 设曲线在 P 点的切向量为 ，主法向量为 ，则过 P 由 确定的平面,是曲线在 P 点的_。 曲线 在点 的单位切向量是 ，则曲线在 点的法平面()rt0()rt 0()rt方程是_。 曲线 在 t = 1 点处有 ，则曲线在 t = 1 对应的点处其挠率()r2=_。(1) 主法线与固定方向垂直的曲线是_。 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是_。 在旋转曲面 中，_()cos,()in,()rttt是。

3、 0 s+ 安徽财经大学统计与应用数学学院 李 丽K 1微分几何作为几何学的一个分支越来越受到数学家、物理学家的重视,它的应用也已经渗透到各个学科中,但微分几何作为一门独立的学科了解它的人却不是很多。本文以通俗易懂的语言将微分几何的发展、研究内容、应用介绍给非此专业的读者,使他们对微分几何有个初步的认识。1oM微分几何 解析几何 相对论s+ I , I ? B y il,Y 。 s+ 9 ,9 c “
。

4、抽象代数教学大纲(Abstract Algebra)课程代码 218.009.1 编写时间 2006 年课程名称 抽象代数英文名称 Abstract Algebra学分数 3 周学时 4任课教师* 杨劲根、姚慕生、朱胜林、吴泉水 开课院系* 数学学院预修课程 高等代数，数学分析课程性质：本课程是综合性大学数学系各专业本科生基础课程。基本要求和教学目的：主要学习基本的代数结构和代数方法。课程基本内容简介：1）正规子群和商群，理想和商环，向量空间的商空间的概念的正确理解；在等价类集合上定义代数结构的方法。3）在群论中以循环群、置换群和线性群作为基本例子，讲述高阶交。

5、 2曲线的概念 曲线是微分几何的主要研究对象 面且其研究方法也适用于曲面论 所以学好曲线论是非常重要的本节主要内容为2 1曲线的概念2 2光滑曲线曲线的正常点2 3曲线的切线和法线2 4曲线的弧长自然参数 2 1曲线的概念 几种观点1 把曲线看成是两个曲面的交线2 把曲线看成是动点运动的轨迹3 用映射观点来定义交线为此先介绍映射的有关知识 给出两个集合和 如果集合中的每一个点 元素 有中的点和它对。

6、微分几何 Differential Geometry,预备知识,曲线曲面的表示,显式函数表示Explicit,曲线曲面的表示,隐式表示Implicit,代数几何：多项式（组）的零点集 Algebraic geometry ：variety,曲线曲面的表示,参数表示Parametric curve & surface,Space curve cylinder,Shape modeling,Surface reconstruction(static) From CT or optical images, raw point data, Data repairing, registration, resampling, smoothing,Point cloud mesh NURBS texture No connection connected parametric,meshing,paramerization,Dynamic 。

7、微分几何补充题1.求曲线 的切线与直线233,rtt所成的夹角.0yzx解 ，直线 的方向向23,6rt 0yzx量为 ，1,0a设 与 的夹角为 ，则有r，2362cos ()artt所以， 0452.求曲面 ： 上的脐点.S2zxy解 ， ， 2,rxy 21,0xry，0,12yrxy，432,14EFGxy，2,0xy xrxyr，0,2xy yr，2241,14n yxyxy， 240, 14x xyyLnrMnrx，2414Nxy由 得:LMNEFG，242443141401yxxyyyx解得 ，从而 ，所以原点0,x0z是曲面唯一的脐点.(0,)3.求正螺面 （ ）上点cos,in,ruvvb 沿方向 的法曲率.(0,)P1dv解：bvuvrvr vu ,cos,sin,0sin,co， 1EF2G222 ,cos,sinuvbvbun0,sin,co,0c。

8、1微分几何模拟卷 A一、判断题（正确打，错误打） （每小题 2 分，共 10 分）1、等距变换一定是保角变换 ( )2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. ( )3、二阶微分方程 总表示曲面上两族曲线. 2 2A(,)B(,)(,)0uvduvduvd4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 ( )5、坐标曲线网是正交网的充要条件是 ，这里 是第一基本量( ). 0F二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1. 半径为 的圆的曲率为_.R2. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是_,3. 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是_.4. 在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足_,5. 。

9、整体微分几何初步习题答案1 x0.1 E3中中中的的的曲曲曲线线线1.求下列曲线的弧长,并写出弧长为参数的方程:(1)双曲螺线x = (acosht,asinht,bt);(2)悬链面x = (t,acosh ta,0);(3)曳物线x = (acost,aln(sect + tant) asint,0).解解解：(1) s(t) = t0 a2 cosh2t +b2dt;(2) s(t) = asinh ta;(3) s(t) = alnsect.2.证明一般参数下曲线x(t)的曲率和挠率的计算公式是:k(t) = |x x|x|3 ; (t) =(x,x,x)|x x|2 .证证证明明明：直接计算得x = T dsdt , x = kN(dsdt )2+T d2sdt2 .所以xx = kB(dsdt )3,k(t)即得.而x B = k (dsdt )3,所以(x,x,x。

10、An Introduction to Differential Geometry Dr. Zhiyong Alex, Chang. Northwestern Polytechnical University “微分几何”要点讲义 An Introduction to Differential Geometry 1. 曲线参 数方程在一点处的 标准展开 将曲线 在 弧长 参数 0 s = 处进行 泰勒展 开 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 3 00 0 0 1! 2! 3! ss s ss =+ rr r r ro (1.1) 上式中 ( ) 3 s o 表示 3 s 的高 阶无 穷小. 根据 Frenet 公式 ，有 ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 k kkk = = = + + r rN r NB (1.2) 则曲线 可表 达为 ( ) ( ) ( ) 2 3 23 3 3 0 6 26 6 k kk k s s s s s s。

11、微分几何控制在风力发电系统中的应用风力发电系统具有强非线性,且风能参数不确切可知,具有强烈的随机性、时变性、不确定性,含有未建模或无法准确建模的动态部分,对这样的系统实现有效控制是极为困难的。随着电力电子技术及微型计算机的发展,在风力发电系统中先进控制方法的应用研究已几乎遍及系统的各个领域,不少有价值的研究论文见诸于国内外学术会议、学术刊物,取得了一批有价值的成果。本文介绍微分几何控制的基本方法及应用,并提出若干需要解决的问题。微分几何控制的核心问题是反馈精确线性化,它通过局部微分同胚映射对仿射型非线性。

12、一、填空题1. 曲线 x=cost，y=sint, z=t 在 t=0 处的切线方程是_ X-1/0=Y-0/1=Z-0/1_。2. 曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是_等距_不变量。3. 若点(u 0, v0)为曲面的正常点，则 在(u 0, v0)满足_ 不等于零_。vr4. 两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的_第一基本形式成比例_。5. 若向量函数 满足 ，则 具有固定的_方向_ .()rt()0tr()rt6. 曲线 的正常点是指满足_r(t0) 不等于 0_ 的点.7. 椭圆点对应的杜邦指标线是椭圆,双曲点对应的是一对共轭双曲线,抛物点对应的是 _一对平行直线_ .8. 平均曲率 H=0 的曲面称为 。

13、微分几何试题课程代码：10022一、判断题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“”，错的打“”。1曲面的克氏记号 是曲面的内蕴量。( )kij2曲率挠率分别为不等于零的常数的曲线 是圆柱螺线。( )3曲面 S 为平面的充要条件是 =0。( )4曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为 M=0。( )5.可展曲面的平均曲率必为零。( )二、单项选择题(本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.已知。

14、微分几何与伴随着微分几何的发展而创立的张量分析是掌握广义相对论的基础工具 也由于广义相对论的成功 使一向冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一 从微积分发明起 微分几何的萌芽就诞生了 但是Euler Clairaut和Monge的工作才真正使微分几何成为独立学科 Euler在关于测地学的工作中逐步得出重要得研究 并对法曲率的计算得出著名的Euler公式 Clairaut研究了曲线的曲率和挠率 Mon。

15、微分几何,主讲：钟定兴,课 程 介 绍,微分几何历史简介 微分几何是数学的一个重要分支，它渗透到各数学分支和理论物理等学科，成为推动这些理论发展的一项重要工具。经典的微分几何研究三维欧氏空间的曲线和曲面在一点邻近的性质，在微积分发明的同时，就开始了平面曲线微分几何的研究，而第一个作出重要贡献的是Euler(17071783).他在1736年引进了平面曲线的内在坐标，即曲线弧长这一概念，从而开始了内在几何的研究。将曲率描述为某一特殊角的变化率也是Euler的工作。他在曲面论方面也有重要贡献，特别值得一提的是他在测地线方面的一些工。

16、第 1 页 共 3 页华东师范大学期末试卷（A 卷）参考答案2010 2011 学年第一学期 课程名称：_微分几何 考试日期 2011.1.17专 业：_数学_ （师范） _ 年级/班级：_2008_ 课程性质：专业必修一、求曲线 的曲率与挠率。(10 分)22()sin,icos,)rtttt解： ，ico(sin(i2,cos,in2)ttt ， ，2(s,i2,cs)rttt 4(,irt, , (4 分)10)|， (6 分)3|2rk. (10 分)2(,)0|r二、证明：若曲线的所有切线通过定点，则此曲线是直线。(10 分)证明：切线方程为： ，不妨设定点为原点，则存在函数 使)(sTr )(s得 （4)()(0ssr分）求导得： )()()(sNkT所以 ， （8 分）0,。

17、第 1 页 共 9 页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！微分几何作业一. 填空题1. 曲面的第一基本形式为（ ） 。I22GdvFuEd2. 空间曲线的基本公式是（ ） 。3. 曲面 在任一点（u，v）的单位法向量公式为（ ）),(r vur4. 空间曲线 的切向量为（ ） 。s)(sr5. 曲线的主法向量 总是指向曲线（ 凹入方向 ） 。6. 曲面 上正常点满足的条件为（ ）),(vurvur07. 曲线的挠率表达式为（ ） 。2)(,r8. 曲面上曲率线满足的微分方程为（ ） 。02GFENMLduvd9. 在曲面 S: 上， 线的微分方程是( )。)(vu,rd。