1、微分几何 Differential Geometry,预备知识,曲线曲面的表示,显式函数表示Explicit,曲线曲面的表示,隐式表示Implicit,代数几何：多项式（组）的零点集 Algebraic geometry ：variety,曲线曲面的表示,参数表示Parametric curve & surface,Space curve cylinder,Shape modeling,Surface reconstruction(static) From CT or optical images, raw point data, Data repairing, registration, r
2、esampling, smoothing,Point cloud mesh NURBS texture No connection connected parametric,meshing,paramerization,Dynamic modeling Feature driven morphing Parametric modeling Physical constrained animation ,Shape modeling,三维欧式空间中的标架 Coordinate system,标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁,向量 vector,向量是一个有向线段，具有大小和方向，用
3、表示 向量运算 内积 对称性，双线性，正定性 外积 反对称性，双线性,向量内积,定义运算法则常见性质,向量外积,定义运算法则常见性质,b,a,S=|a b|,b,c,a b,a,S=|a b|,h,向量混合积,h,a,c,a b,b,.,其混合积 abc = 0,三矢 a, b, c共面,几何意义,仿射标架 对于任意点,标架,笛卡尔直角坐标系,设 是 的标架，并且 是相互垂直、构成右手系的3个单位向量，这样的标架是右手单位正交标架，简称正交标架（Orthogonal Frame ）。 由正交标架给出的坐标系叫笛卡尔直角坐标系（rectangular Cartesian coordinate s
4、ystem）,笛卡尔直角坐标系,点 向量 设向量 内积外积,笛卡尔直角坐标系,距离distance三维欧式空间通常写成 ,向量 的长度为,坐标变换,取定一个正交标架 (绝对坐标系). 则任意一个正交标架 被 P 点的坐标和三个基向量 的分量唯一确定,坐标变换,变换矩阵正交、|A|=1、旋转变换 对 下的一点 ，在 下的坐标为,正交变换,刚体运动 下变换的像点与原来点的关系,刚体变换,定理1.1 中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于 中的任意两个正交标架，必有 的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架. 空间 到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换 称为等距
5、变换.,Types of Transformations,Continuous (preserves neighbourhoods) One to one, invertible Classify by invariants or symmetriesIsometry (distance preserved) Reflections (interchanges left-handed and right-handed) Rigid body motion: Rotations + TranslationsSimilarity (preserves angles) Uniform scaleAf
6、fine (preserves parallel lines) Non-uniform scales, shears or skewsCollineation (lines remain lines) PerspectiveNon-linear (lines become curves) Twists, bends, warps, morphs, .,仿射标架,空间一点P和三个不共面的向量 组成的标架 ，不要求满足单位正交性质。 把 称为放射标架 的度量系数构成12维的向量空间,作业,设直线L过点 方向为 （单位向量），求直线外一点 绕直线按右手方向旋转 角的坐标。 提示：以向量v为标架的一个
7、向量，再通过点P，X构造另外两个向量，以P为原点，构造新的正交标架；计算X点在新的标架下的坐标，做旋转变换，再计算在原坐标系下的坐标。,向量函数,vector valued function,向量函数,所谓的向量函数是指从它的定义域 到 的映射 设有定义在 区间 上的向量函数连续、连续可微是指 都关于t连续、连续可微,向量函数微分和积分,求导积分,向量函数的求导和积分归结为它的分量函数的求导和积分，向量函数的可微性和可积性归结为它的分量函数的可微性和可积性.,Leibniz法则,课外作业,证明定理2.1. 设向量函数 有任意阶导(函)数. 用 表示 的k阶导数，并设 处处非零. 试求 的充要条件,
