1、微分几何主要习题解答26第一章 曲线论2 向量函数5. 向量函数 具有固定方向的充要条件是 = 。)(tr )(tr)(t0分析：一个向量函数 一般可以写成 = 的形式，其中 为单位t e)(te向量函数， 为数量函数，那么 具有固定方向的充要条件是 具有固定方)(t)(tr 向，即 为常向量， （因为 的长度固定） 。ee证 对于向量函数 ，设 为其单位向量，则 = ，若 具有固)(tr)(t )(tr)(te)(tr定方向，则 为常向量，那么 = ，所以 = （ ）= 。)(ter)(te0反之，若 = ，对 = 求微商得 = + ，于是r0)(tre = （ ）= ， 则有 = 0 或
2、= 。当 = 0 时， = 可与任r2e e0)(t)(tr意方向平行；当 0 时，有 = ，而（ = -( ， （因 2e2e为 具有固定长， = 0） ，所以 = ，即 为常向量。所以， 具有固ee e )(tr定方向。6向量函数 平行于固定平面的充要条件是（ ）=0 。)(tr r分析：向量函数 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量 ，使)(tn = 0 ， 所以我们要寻求这个向量 及 与 ， 的关系。)(trnnr证 若 平行于一固定平面 ，设 是平面 的一个单位法向量，则 为常)(tr 向量，且 = 0 。两次求微商得 = 0 ， = 0 ，即向量 ， ， 垂rrnr直于同一非
3、零向量 ，因而共面，即（ ）=0 。n反之, 若（ ）=0，则有 = 或 。若 = ，由上题r 0知 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若 ，则存在数量函数)(tr r微分几何主要习题解答27、 ，使 = + )(ttrr令 = ，则 ，且 。对 = 求微商并将式代入得nn0)(tnr= = （ ）= ，于是 = ，由上题知 有固定方向，而rr 0n ，即 平行于固定平面。)(t)(t3 曲线的概念3. 证明圆柱螺线 = a ,a , ( )的切线和 z 轴作rcosinb固定角。证明 = -a ,a , ,设切线与 z 轴夹角为 ,则 =rsin cos为常数，故 为定角（其中 为 z 轴
4、的单位向量） 。2|baerkk10. 将圆柱螺线 =a ，a ，b 化为自然参数表示。rtcostin解 = -a ,a ,b，s = ，所以 ，rtsin tbadrt 20| 2bast代入原方程得 =a , a , co2in2s2s4 空间曲线1求圆柱螺线 =a ， =a ， = b 在任意点的密切平面的方程。xtcosytsinzt解 = -a ,a ,b, =-a ,- a ,0 rinrcosin所以曲线在任意点的密切平面的方程为= 0 ，即(b )x-(b )y+az-abt=0 .sincosiitattztytxtsitcos2. 求曲线 = t ,t ,t 在原点的密切
5、平面、法平面、从切面、ricose微分几何主要习题解答28切线、主法线、副法线。解 原点对应 t=0 , (0)= +t , - t , +t =0,1,1，rtsintcosine0t2 + t , - t ,2 +t =2,0,2 ， )0(rcosce0t所以切线方程是 ，法面方程是 y + z = 0 ；10x密切平面方程是 =0 ，即 x+y-z=0 ，2z主法线的方程是 即 ；0zyx1zyx从切面方程是 2x-y+z=0 ,副法线方程式 。3证明圆柱螺线 =a ， =a ， = b 的主法线和 z 轴垂直相交。xtcosytsinzt证 = -a ,a ,b, =-a ,- a
6、,0 ，由 知 为rtsintrtcotsinrr主法线的方向向量，而 所以主法线与 z 轴垂直；主法线方程是r0ksincostztytx与 z 轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和 z 轴垂直相交。4.在曲线 x = cos cost ,y = cos sint , z = tsin 的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。解 = -cos sint, cos cost, sin , = -cos cost,- cos sint , 0 r rsin sint ,- sin cost , cos |新曲线的方程为 = cos cost + sin sint ，c
7、os sint- sin cost ，tsin + rcos 对于新曲线 =-cos sint+ sin cost ，cos cost+ sin sint，sin =sin( -rt), cos( -t), sin , = -cos( -t), sin( -t),0 ,其密切平面的方r微分几何主要习题解答29程是 0)sin()cos( sincoinitataatzytx即 sin sin(t- ) x sin cos(t- ) y + z tsin cos = 0 .5证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。证 方法一：设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径
8、 具有固定)(tr长，所以 = 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平r面通过这点的向径，也就通过其始点球心。若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则 = 0， 具有固定长，对应的曲线是球面曲线。r)(tr方法二：是球面曲线 存在定点 （是球面中心的径矢）和常数 R（是球面的()t0r半径）使 ，即 （）20rR()0()r而过曲线 上任一点的法平面方程为 。可知法平面过球面)t 中心 （）成立。所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。7求以下曲面的曲率和挠率 ,sinh,coattar 。)0(3()3(2解 ， ，,cosh,
9、sin attr 0,sinh,co tatr， ，所以0,cosh,in tar 1 a微分几何主要习题解答30tatark 2323 cosh1)cosh(| 。tt2242)(, ， ，1,3ar 1,06,16 artar = ，r ,2182tt 2323 )()(78| ttk。224232 )1()1(6)(, tatar8已知曲线 ，求基本向量 ；曲率和挠率；cos,incs3ttr ,验证伏雷内公式。分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。解 ，4,sin3cosin2si,cosin3,co 22 tttt
10、tr（设 sintcost0） ， 则 ，,sin5|)(| ttds 5,i,5|tr， ，0,cos53,incosi1ttst 0,cosin|t，,4,5 ， ，由于 与 方tkcosin23| 0,cos,incosi254tt 向相反，所以 5| 显然以上所得 满足 ，而,k,k也满足伏雷内公式 。 0,sincosin51tt9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。微分几何主要习题解答31证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ，则曲线r)(t在任意点的切线方程是 ，由条件切线都过坐标原点，所以)(trt，可见 ，所以 具有固定方向，故 是直线。)
11、(trtr r)(t方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ，则曲线在任tr意点的切线方程是 ，由条件切线都过坐标原点，所以 ，)(trt )(tr于是 ，从而 ，所以由曲率的计算公式知曲率 k，所以曲线r0为直线。方法三：设定点为 ，曲线的方程为 ，则曲线在任意点的切线方程是0rr()s，由条件切线都过定点 ，所以 ，两端求导得: ()rs00()rs, 即 ，而 无关，所以 ，(1)s,10可知 ，因此曲线是直线。0,()s10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ，则曲线r)(t在任意点的密切平面
12、的方程是 ，由条件0)()(trttr，即（ ）=0，所以 平行于一固定平面，即 0)()trtr r是平面曲线。t11. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量 ，那么曲线是直线或平面曲e线。证方法二：曲线的方程设为 ，由条件 ，两边微分r)(tr得 ， ，所以 ， ， 共面，所以（ ）。由挠rerer率的计算公式可知 ，故曲线为平面曲线。当 时是直线。0r0微分几何主要习题解答3212证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。证明 设曲线（ C）： 的曲率 k 为常数,其曲率中心的轨迹（ ）的方r)(s C程为： ， （ 为曲线（C）的主法向量） ，对于曲线（ ）两边微
13、)(1)(skr分得 ， （ ， ， 分别为曲线（C）的单位切向量，k 副法向量和挠率） ， ， ， ，曲线（ ）的曲2k| 23kC率为 为常数。kk3233|14设在两条曲线 、 的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。证 设曲线 ： = 与 ： 点 s 与 一一对应，且对应点的切线平r)(s)(r行，则 = , 两端对 s 求微商得 , 即 ，(这里)(s)ddsks)(k 0，若 k= =0，则 无定义)，所以 ，即主法线平行，那么两曲线的副|法线也平行。15设在两条曲线 、 的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线
14、平行，证明它们在对应点的切线作固定角。证 设 , 分别为曲线 、 的切向量, , 分别为曲线 、 的主法向量,则 由已知 ，而 )()s dsds)(将式代入 。所以 常数，故dkk 0k两曲线的切线作固定角。16.若曲线 的主法线是曲线 的副法线, 的 曲率、挠率分别为 .求证,k= ( + ) ,其中 为常数。020证 设 的向量表示为 = ，则 可表示为 = + ， 的切向r)(s)(sr)(s量 = + + （k + ）与 垂直，即 ，所以 为常数，设微分几何主要习题解答33为 ，则 （ k） + .再求微商有 k （ k）00000k ， （ k）k ，所以有 k= ( + )。2
15、02217曲线 =a(t-sint),a(1-cost),4acos 在哪点的曲率半径最大。r2t解 = a1-cost,sint,-2sin , = asint,cost,-cos , , tr2t |2sin|tr = ,r 1co,siincos4,2sin,2i32 ttattta | |= , , ,rsi2t |2sin|81|3tark |2si|8tR所以在 t=(2k+1) ，k 为整数处曲率半径最大。5 一般螺线5. 证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线.证法一: 当曲线的密切平面垂直于某固定直线时,曲线的副法向量 是常向量.即 = 。曲线的挠率的绝对值等于
16、| |为零，所以曲线为平面曲线。07如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。证 设一曲线为 ： ，则另一曲线 的表达式为：r)(s)(sr， 为曲线 在点 s 的主法向量，也应为 在对应点的副法线的方向向量。)(s 与 正交，即 ，于是 ， 为常数。 ， k （k ）也与 正交，即 - =0,而2微分几何主要习题解答34,所以有 ，曲线 为平面曲线。同理曲线 为平面曲线。 9证明曲线 为一般螺线的充要条件为r)(s 0),(.r证 方法三：曲线 为一般螺线 存在常向量 使 ，即r)(se平行于固定平面（以 为法向量的平面） 平行于一固定平面0eer。(,)r11设在两条曲线 、 的
17、点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行，且它们的挠率和曲率都成比例，因此如果 为一般螺线, 则 也为一般螺线。证 设曲线 ： = 与 ： 点建立了一一对应，使它们对应点的切r)(s)(sr线平行，则适当选择参数可使 = , 两端对 s 求微商得 , 即ds，这里 ，所以有 = ， 即主法线平行，从而 = ，dsks)(0s )(即两曲线的副法线也平行。且 或 。 = 两边对 s 求微商得,dds)(s，于是 或 ，所以， 或 。ss)()(s第二章 曲面论 曲面的第一基本形式1. 求双曲抛物面 a（u+v）, b（u-v）,2uv的第一
18、基本形式. r解 ,4,22, 22vbarEuvbr uu ,4rGFvv I = 2 。22)(da 222 )()4( dvudvba求正螺面 = u ,u , bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线rvcosin互相垂直。解 ， ， ，,cos,i,0in,cs bvuvvu 12urE0vurF微分几何主要习题解答35， I = ，坐标曲线互相垂直。22burGv 22)(dvbud在第一基本形式为 I = 的曲面上，求方程为 u = v 的曲22sinh线的弧长。解 由条件 ,沿曲线 u = v 有 du=dv ，将其代入 得2ds2siudv 2ds= ，ds = coshvdv
19、, 在曲线 u = v 上，从 到2dsinhuv2co 1的弧长为 。2v |sinhi|s| 1221 vv 4设曲面的第一基本形式为 I = ，求它上面两条曲线 u + 22)(dvaudv = 0 ,uv = 0 的交角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量 ，1E， ，曲线 u + v = 0 与 u v = 0 的交点为 u = 0, v = 0,交0vF2auG点处的第一类基本量为 ， ， 。曲线 u + v = 0 的方向为 du = -1EvF2aGd
20、v , u v = 0 的方向为 u=v , 设两曲线的夹角为 ，则有cos = 。2222 1avuGdv6. 求 u-曲线和 v-曲线的正交轨线的方程.解 对于 u-曲线 dv = 0,设其正交轨线的方向为 u:v ,则有Eduu + F(duv + dvu)+ G d vv = 0,将 dv =0 代入并消去 du 得 u-曲线的正交轨线的微分方程为 Eu + Fv = 0 .同理可得 v-曲线的正交轨线的微分方程为 Fu + Gv = 0 .8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为 E =G .2duv证 用分别用 、 、d 表示沿 u曲线，v曲线及其二等分角线的微分符号，即沿
21、 u曲线 u ，v，沿 v曲线 u， v 沿二等分角轨线方向为 du:dv ,根据题设条件,又交角公式得微分几何主要习题解答36，即 。22 )()( dsvGFudsuEv GdvFuEdvu22)()(展开并化简得 E(EG- ) =G(EG- ) ,而 EG- 0，消去 EG- 得坐标曲线22v22的二等分角线的微分方程为 E =G .2du9设曲面的第一基本形式为 I = ，求曲面上三条曲线 u = v, 22)(dvaudav =1 相交所成的三角形的面积。解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲线围城的三角形的面积是S= 102012 auaaudvdv=2 =2102auadvd
22、02)(= aua022223 |)ln()( = 。)1ln(32a11.证明螺面 =ucosv,usinv,u+v和旋转曲面 =tcos ,tsin , r r12t(t1, 0 2 )之间可建立等距映射 =arctgu + v , t= .2u分析 根据等距对应的充分条件 ,要证以上两曲面可建立等距映射 = arctgu + v , t= ,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点12u有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.uvV=1u=-avu=avo微分几何主要习题解答37证明 螺面的第一基本形式为 I=2 +2 dudv+( +1) ,
23、旋转曲面的第一2du2u2dv基本形式为 I= ,在旋转曲面上作一参数变换 =arctgu + v , tdt22)1( t = , 则其第一基本形式为:12u 222 )1)()( 2dvuud= =2 +2 dudv+( +1) = I .22222 )1(1)(u u2u2dv所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 =arctgu + v , t = .123 曲面的第二基本形式1. 计算悬链面 =coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式,第二基本形式.r解 =sinhucosv,sinhusinv,1, =-coshusinv,coshucosv,0ur vr=coshu
24、cosv,coshusinv,0, =-sinhusinv,sinhucosv,0,u uv=-coshucosv,-coshusinv,0, = cosh u, =0, =cosh u.vr 2rE2vurF2vG2所以 I = cosh u + cosh u .2d2dv= = ,n2FEGrvu sinh,sico,scohs12 vuL= , M=0, N= =1 . 1sinhco21sinh2u所以 II = - + 。du2v2. 计算抛物面在原点的 第一基本形式,第二基本形式.212345xx微分几何主要习题解答38解 曲面的向量表示为 ,25,2121xxr, , ,025,
25、01)0,(xrx 01,)0,(22 x 51xr, , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 , 21x2xrI= , II= .2d2145dx3. 证明对于正螺面 =u ,u ,bv,-u,v处处有 EN-2FM+GL=0。rvcosin解 ， =0,0,0,cs,0sin,cobvuvru ur=-uucosv,cosv,0, =-ucosv,-usinv,0, ， ，v vr 12E0vurF， L= 0, M = , N = 0 .所以有 EN - 2FM + GL= 0 .22burGv 2bu4. 求出抛物面 在(0,0)点沿方
26、向(dx:dy)的法曲率.)(12yaxz解 , , ,0,0),(rx 01,1)0,(bry arx0,xyr,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向 dx:dy 的法曲率 .,by 2dbkn6. 利用法曲率公式 ,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基Ikn本量成比例。证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径 R 的倒数 1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向 du:dv或- ，所以 ，即第一、第RGdvFuEdNMLIkn 122 )1(RGNFMEL二类基本量成比例。8. 求曲面 的渐近线.2xyz微分几何
27、主要习题解答39解 曲面的向量表示为 , ,2xyr,0,12yrx 0,1,xryr.2224 4,20,20 GxFExryr yyxxxy .42421,1, yNyML 渐近线的微分方程为 ,即 一族为 dy=0, dMxLd ,02xdy即 , 为常数. 另一族为 2ydx=-xdy, 即 .1cy ,ln与 与 与与 cc9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线.方法二：任取曲线 ，它的主法线曲面为
28、 ，:()rs:(,)()Sstrts， ，()()(1)ststt t1)t在曲线 上，t = 0 , ,曲面的单位法向量 ，即 ，st2stnEGFn所以曲线 在它的主法线曲面上是渐近线.11.确定螺旋面 =u ,u ,bv上的曲率线.rvcosin解 ， =0,0,0， =-ucosv,-,cos,0sin,cobvuvrvu urvrusinv,0， =-sinv,cosv,0, ， ， ， 12rE0vF22buGL=0, M= , N=0,曲率线的微分方程为:2bu,即001222 buduvdv ,积分得两族曲率线dubdv21微分几何主要习题解答40方程:.2212 )ln()
29、ln( cubvcbuv 与12.求双曲面 z=axy 上的曲率线.解 N=0 .,1,01, 22222 yaxMLxaGyxaFyE 由 =0 得 ,积分01012222yaxxxadddy 22)1()1(dyxadya得两族曲率线为 .cya)1ln()ln( 213.求曲面 上的曲率线的方程.2,(,2uvbvur解 ,04,4,4 22 LubaGaFaEM= ,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是:2FGb:与 与 与,)()( 222 duvbadvua.cvb)lnln 222214.给出曲面上一曲率线 L,设 L 上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求
30、证 L 是一平面曲线.证法一：因 L 是曲率线,所以沿 L 有 ,又沿 L 有 =常数,求微商rdnn得 ,所以 ,即- =0,则有 =0,与 与与与 rdnn/,0 0或 =0 .微分几何主要习题解答41若 =0, 则 L 是平面曲线；若 =0 ，L 又是曲面的渐近线，则沿 L n， =0 ，这时 d = ， 为常向量，而当 L 是渐近线时， = ，所以 为常向nn0 n量，L 是一平面曲线.证法二：若 ，则因 ，所以 ，所以 d ，由伏雷drn内公式知 d （ ）而 L 是曲率线，所以沿 L 有 d ，所以有 =0,从n而曲线为平面曲线；若 不垂直于 ， 则有 =常数,求微商得 因为 L
31、是曲率线，n0,n所以沿 L 有 ，所以 ，所以 ，即- =0 ，若 =0，则dnr0问题得证；否则 =0 ，则因 ，有 ， （- ） nnd，矛盾。15如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。证 曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。16求正螺面的主曲率。解 设正螺面的向量表示为 =u ,u ,bv.rvcosin解 ， =0,0,0，,i,0sin,cobuvru ur=-ucosv,-usinv,0， =-sinv,cosv,0, ， ，v uvr12uE0vurF， L= 0, M = , N = 0,代入主曲率
32、公式22burGv 2b（EG- ） -（LG-2FM+EN） + LN- = 0 得 = 。 2FNN22N2)(au微分几何主要习题解答42所以主曲率为 。2221,auau17确定抛物面 z=a( )在（0，0）点的主曲率.2yx解 曲面方程即 ， ，,yra2,()rxya1,02xra， ， 。在（0，0）点,E=1 0,12yra0,2xra0x0y,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以 -4a +4 =0 ，两主曲率分别为 = 2 a , = 2 a .2N2 118. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证 曲面上的给定点处两主曲率分
33、别为 、 ，任给一方向 及与其正交的12方向 + ，则这两方向的法曲率分别为 ，2 2sinco)(n，即 21221 sisi)(cos)( n为常数。21n19.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数.证 由 得 ,即渐进方向为221sincon 212tg, =- .又- + =2 为常数,所以为 为常数,即211arctg21artg21 1为常数.2123. 证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网.证法一： 如果曲面的平均曲率为零, 由上题曲面上的点都是双曲点或平点.若为平点,则任意方向为渐近方向,任一曲线为渐近曲线,必存在正交的渐近曲线网.微分几何主要习题解答43
34、若为双曲点, 则曲面上存在渐近曲线网.由 19 题, 渐近方向 满足 =1,212tg即 = /4, =- /4, 两渐近线的夹角为 ,即渐近曲线网构成正交网.12 2证法二： 渐近线方程为020HLGFMNE22LduMvNd所以 ，所以 ，所以()u2,duuMvLvL)()dEduFvdEFG= ，所以渐近网为正交网。2(0NvGL证法三： ，所以高斯曲率 ，所以M12()H120K0 ，所以曲面上的点是平点或双曲点。所以曲面上存在两族渐近线。取2曲面上的两族渐近线为坐标网，则 L = N = 0 ，若 M = 0 ，曲面上的点是平点，若，则 ，所以 M F = 0 ，所以 F = 0
35、，所以渐2HGFE近网为正交网。26两个曲面 、 交于一条曲线（C） ，而且（C）是 的一条曲率线，则1S2 1S（C）也是 的一条曲率线的充要条件为 、 沿着（C）相交成固定角。2 1S2证 两个曲面 、 交于曲线（C） ， 、 分别为 、 的法向量，则沿1S2n1S2交线（C） ， 与 成固定角的充要条件为 =常数，这等价于 d( )=0,1n2 12 1n2即d + d =0 ,而（C）是 的一条曲率线，因此 d 与（C）的切向量 d12121S1共线，则与 正交，即 d =0，于是 d =0，又 d ，所以 rnn21n22n1nd = d =0 的充要条件为 d / d ，即（C）是
36、 的曲率线。2n12rS微分几何主要习题解答444.直纹面和可展曲面1. 证明曲面 = 是可展曲面.r32,2,314vuuv证法一： 已知曲面方程可改写为 = +v ，令 =r,432 32,1u()ar， = ，则 = + v ，且 0，这是直纹面的,243u()br3,12u()au()b()r方程 ，它满足= =0 ,所以所给曲面为可展曲面。(,)abr2364103u证法二：证明曲面的高斯曲率为零。 （略）2。证明曲面 =cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v是可展曲面。r证法一： 曲面的方程可改写为 = + u ，其中 =cosv-vsinv, r(
37、)av()br()avrsinv+vcosv, 2v， =-sinv, cosv,1 ，易见 0，所以曲面为直纹面，()bvr 又因为 = =0，所以所给曲面为可展曲面。(,)ar2sincos2sin2c1ivv证法二：证明曲面的高斯曲率为零。 （略）3证明正螺面 =vcosu,vsinu,au+b(a 0)不是可展曲面。r证法一：原曲面的方程可改写为 = + v ，其中 =0,0,au+b,r()au()br()aur微分几何主要习题解答45=cosu,sinu,0.易见 0, 所以曲面为直纹面, 又因为 =()bur ()bur(,)abr=a 0.故正螺面不是可展曲面。0cosin0a
38、证法二：证明曲面的高斯曲率为零。 （略）4证明挠曲线的主法线曲面与副法线曲面不是可展曲面。证 挠曲线（C）: 的主法线曲面为 ,因为()asr 1():()srasvr微分几何主要习题解答46= ，故 不是可展曲面。(,)ar&(,)0rr1():()srasvr挠曲线（C）: 的副法线曲面为 ，因为(asr 2:()Ssr(,)ar&，故 不是可展曲面。(,)0r2):()Savsrr7证明柱面、锥面、任意曲线的切线曲面是可展曲面。证 柱面 的方程可写为 = + v ， （ 0 为常向量）因为1()Sr()au0br= 。故 是可展曲面。(,)abr0,r1()S锥面 的方程可写为 = +
39、v （ 为常向量） ，因为 =2(Sr0a()bur0a(,)abr=0，故 是可展曲面。(0,)br)曲线（C）: 的切线曲面为 。因为 =(asr 3():()Srasvr(,)abr，故 是可展曲面。(,)0r3):)(Svsr5 曲面的基本定理8求证第一基本形式为 的曲面有常高斯曲率 。22()duvsc证 因为 ，所以221,0()EGFuvc=- =4c()1()uvK22222()() vcucvuvc故所给曲面有常高斯曲率 。6 曲面上的测底线 2证明球面 =acosucosv,acosusinv,asinu上曲线的测地曲率r微分几何主要习题解答47其中 表示曲线与经线的交角。
40、sin,nduv证 易求出 E= , F=0,G= ,因此2a2cosu= =1ln1lnigdEGksvG21ln(cos)indaus，而 ，故 。incouasicosidausigdvk3求位于半径为 R 的球面上半径为 a 的圆的测地曲率.解法一：因为 ，而 ，所以sin,(,)n21,sinRa。2nRa解法二：半径为 的圆的曲率为 ，圆上每一点处的法曲率 ，由1a1nR知， ，所以 。22ng22gnR2gRa解法三：任何球面上的圆都可以通过建立适当的曲纹坐标网使其成为纬圆，过不妨求半径为 的纬圆的测地曲率。由 1 题知所求即为 v-线的测地曲率：a=1ln2gvGkuE因为所考
41、虑纬圆的半径为 ，所以a 22cos,in1cosRaRuau所以 。2vgR4求位于正螺面 =ucosv,usin,av上的圆柱螺线r（ =常数）的测地曲率。00():cos,in,Cruva0u微分几何主要习题解答48解 易计算出 E=1，F=0，G= ，而（C）是一条 v-曲线：u= ,于是由2au0u，可知（C）的测地曲率为 。221lnl()2gvGuE 02gva7求证旋转曲面的子午线是测地线，而平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴时才是测地线 。 证 设旋转曲面为(S)， ，则易计算出 E= ()cos,()in,()0)rttt ,于是子午线（t曲线）的测地曲率为2 2,0FG，
42、故子午线是测地线。21ln1ln()0gt Ek又平行圆（ -曲线）的测地曲率为。22 21ln1ln2gGkttE 所以 的充要条件是 ，即0g()0t()cos,()in,()0,()trttt故平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴时才是测地线 。8求证 如果测地线同时为渐近线，则它是直线；如果测地线同时为曲率线，则它是一平面曲线。证 因为所给曲线是测地线，所以 ； 又因为所给曲线是渐近线，所以0gk，而 ，所以 k=0，故所给曲线是直线。0nk22ngk 方法一：因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有 ， n，而 ，所以 从而 ，又,n()(0)nk，所以 ，故所给曲线是平面曲线。
43、0微分几何主要习题解答49方法二：因所给曲线是测地线，所以沿此曲线有 ，所以 ，又因ndn曲线是曲率线，所以 ，所以 ，所以 ，故所给曲dnr()0线是平面曲线。方法三：因所给曲线是测地线，所以该曲线的主法线重合于曲面的法线；因为是曲率线，所以沿此曲线曲面的法线曲面是可展曲面。从而该曲线的主法线曲面是可展曲面，而挠曲线的主法线曲面不是可展曲面，因此该曲线一定是平面曲线。方法四：设 是测地线，所以 的主法向量 （曲面的单位法向量） ，所n以 的副法向量 ；即曲线 在每点处的副法向量与曲面在该点的法向量成n定角，因 是曲率线，所以由 P114习题 14 知，曲线 是平面曲线。10求正螺面 =ucosv,usin,av上的测地线。
