实变函数1.3

1、第12讲 可测函数的性质与逼近定理,目的：熟练掌握可测函数的性质，理解Egoroff定理的科学意义，掌握其证明。 重点与难点：Egoroff定理的科学意义与证明。,第12讲 可测函数的性质与逼近定理,基本内容： 一可测函数的性质（续） （1） 可测函数乘积的性质问题1：如何将集合Ex|f(x)g(x)用形如Ex|f(x)、Ex|g(x)、Ex|f(x)、Ex|g(x)的集合表示？,第12讲 可测函数的性质与逼近定理,性质3 若 都是E上的可测函数则在E上乎处处有意义 时，在E上可测。 (iii) 证明 (iii)。令,第12讲 可测函数的性质与逼近定理,则,第12讲 可测函数的性质与逼近定理,显。

2、第14讲 依测度收敛,目的：理解依测度收敛概念，掌握Lebesgue定理与 Riesz定理。 重点与难点：Lebesgue定理与 Riesz定理及其证明。,第14讲 依测度收敛,基本内容： 一依测度收敛定义鲁津定理实际是说，任意可测函数都可以用连续函数在某种意义下逼近。我们可以将定理2改述成：若 是E上的可测函数，则对任意 ，存在 上的连续函数，使得,第14讲 依测度收敛,注意到所以对任意n，有 进一步，对任意 ，有取 ，则存在 上的连续函数 ，使,第14讲 依测度收敛,得这种收敛性与前面的几乎处处收敛概念不同的。我们称它为依测度收敛，具体说来即下面的。。

3、第13讲 Lusin定理,目 的：通过本讲的学习，使学生了解Lusin定理的科学意义。懂得如何从熟悉的理论或现象中寻找新的东西，发现一般规律。学会从分析中寻求所要的证明。 重点与难点：从熟悉的理论出发发现Lusin定理；寻求Lusin定理的证明。,第13讲 Lusin定理,基本内容：一一般集合上的连续函数 （1） 回忆闭区间上连续函数的性质。最大最小值原理、介值定理、Weirstrass定理回忆前一章，对任意可测集E及任意可以找到闭集 ，使,第13讲 Lusin定理,（见第二章2定理3的证明）。因此，如果函数序列 在E上几乎处处收敛到,且 几乎处处有限，则我们。

4、实变函数论,第十讲 Lebesgue外测度,第一章的主要内容(60分),集合的概念：掌握幂集和极限集。 映射：一一映射和原像集。 基数：基数的定义，可列基数和连续基数的一些性质：有理数怎么数？有没有最大的基数？ 欧氏空间：球和矩体，点集的极限点 拓扑：闭集、开集及其性质：a. 闭集外的点到闭集的距离。 b. 开集的所有点都是内点。c. 距离是个连续函数,第一章的主要内容(D-B+),掌握并会计算极限集。 基数：理解基数的概念，熟悉基数的各种性质。 欧氏空间：熟悉导集、孤立点这些的定义和一些简单的定理的推导。 能证明一些集合是闭集、开集。

5、第10讲 开集的可测性,目的：熟悉一些常见的可测集，了解Borel集类与Lebesgue集类的差别。重点与难点：,第10讲 开集的可测性,基本内容： 一Borel集问题1：按Lebesgue可测集的定义，我们所熟悉的哪些集合是可测的？,第10讲 开集的可测性,问题2：由Lebesgue测度的性质以及上面所熟悉的可测集，还能构造出哪些可测集？所有这些可测集构成什么样的集类？,第10讲 开集的可测性,（1） 开集与闭集的可测性 命题1 Rn中任意开长方体都是可测的，且 。 证明：我们在前一节已经证明对任意开长方体I，有 ，所以只需证明I是可测的就行了，又由关于可测集。

6、第28讲 Lp-空间简介(续),本讲目的：掌握Lp-空间中的按范数收敛概念，熟悉几种收敛概念的关系，了解Lp-空间的科学意义及其在微分、积分方程中的应用。重点与难点：几种收敛概念的关系。,第28讲 Lp-空间简介(续),既然已经有了距离概念，我们便可以在 中定义序列的极限。 定义2设 ， ， ，如果 ，即 ，则称 是 方平均收敛到 的可测函数列，或说 按 中范数收敛到 ，记作,第28讲 Lp-空间简介(续),至此，我们又有了一种函数序列的收敛概念，这种收敛概念与前面的几乎处处收敛以及依测度收敛概念是什么关系？这是我们应该弄清楚的问题。例1 令 ，。

7、第一节 集合与运算,集合,1. 集合的基本概念及运算,（其中S为全集）,简记为Ac,2.集簇的交和并,注：当 时，如何？,集簇的并,集簇：,特别当 时，称集簇为集列，记为,集簇的交,注：当 时，如何？,例,注：在本书中我们未把0包含在N内, +不在中,例,例,笛卡尔乘积,思考：如何定义任意多个集合的笛卡尔乘积？,3.集合的运算性质,注：通过取余集，使A与Ac，与互相转换,4.上、下极限集,上极限集,例：设A2n=0,1 A2n+1=1,2; 则上极限集为0,2,下极限集,例：设A2n=0,1 A2n+1=1,2; 则上极限集为0,2, 下极限集为1,上极限集,如果集列 的上极限集与下极限集相。

8、习题讲解,第二章 点集,7.证明： 开集减闭集的差集是开集， 闭集减开集的差集是闭集,证明：利用A-B=ABc， 开集的余集是闭集，闭集的余集是开集， 以及有限个开集的交仍是开集，有限个闭集的交仍是闭集即得。,要证E=x|f(x)a是开集，只要证中的点都为内点,由f(x)在x0处连续及极限的保号性知， 存在0,当|x-x0|a,证明：任取x0 E =x|f(x)a,则f(x0 )a,类似可证x|f(x)a为开集, 从而x|f(x)a =x|f(x)ac是闭集,即U(x0 , ) E =x|f(x)a, 即x0为E的内点，从而E为开集；,注：用到了 极限保持不等号 前面的证明用了 极限的保号性,另证：要证E=x|f(x)a是闭。

9、实变函数第21讲,第四章 Lebesgue积分,教学内容：有界可测函数的积分,4.1 可测函数的积分,定义1：,一、有界可测函数积分的定义集可测条件,设 是测度有限的可测集， 是定义在 上的有界可测函数， 使得 （1）分割：在 内任意的插入 个分点将区间 分成n个互不相交的左开右闭的 子区间：,（2）求和： ，作和 式其中： （3）取极限，令 ，如果存在一个常数A，无论分割D如何做，无论 如何取，都恒有 即，如果存在一个常数A，对于 ，无论分割D如何做，无论 如何取，都恒有则称 在 上是Lebesgue可积的，并称A为 在 上的Lebesgue积分，记为 ，即,定。

10、实变函数论,Real Analysis,数学科学与技术学院曹丽霞,课题引入,第三节中，将有限集合“元素个数”的概念推广到无限集合,通过在集合间建立一一映射,引入了集合的基数的概念.,大家比较熟悉、比较重要的三数集-自然数集合N、有理数集Q和实数集合R都是无限集合.它们给我们直观的印象:自然数集合N “稀稀拉拉”排列在数轴上，有理数集Q“密密麻麻”排列在数轴上，实数集合R“密不透风”地构成实数直线，即数轴. 那么，它们的基数有什么不同么？,下面我们将在第四节和第五节，对这些常见的无限集合的基数和运算作较为详尽的讨论.,注：A可数当且。

11、第一节 外测度,第三章 测度理论,1.引言,其中,新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）,问题：如何把长度,面积,体积概念推广?,圆的面积,达布上和与下和,Riemann积分,Jordan测度,Jordan外测度（外包）,Jordan可测,Jordan内测度（内填）,例：设E为0,1中的有理数全体，则E不Jordan可测,由于任一覆盖0,1中的有理数全体的有限开覆盖也一定 能覆盖除有限个点外的 0,1，从而,由于无理数在0,1中稠密，故任一开区间都不可能含在E内， 从而,所以 ，即E不Jordan可测,2 Lebesgue外测度(外包),与Jordan外测度比较：,下确界：,即：用一开区间列 “近似”。

12、第二节Lesbesgue积分的极限定理 第五章积分论 1 Levi逐项积分定理 只要证明大于等于 但一般而言fn x 不会跑到f x 上方 所以我们有必要先把f x 下移一点 注意 当fn x 一致收敛f x 时 fn x 才会整体跑到f x 上方 若fn x 为E上非负可测函数列 说明 小于等于显然成立 因为fn x 总在f x 的下方 Levi逐项积分定理的证明 引理1 设 En 是递增集列 。

13、第四节 不可数集,第一章 集合,1 不可数集的存在性(区间0,1是不可数集),证明：假设0,1是可数集,则 0,1 可以写成一个无穷序列的形式：,数的进位制简介,十进制小数 相应于 对0,1十等分 二进制小数 相应于 对0,1二等分 三进制小数 相应于 对0,1三等分,说明：对应0,1十等分的端点有两种表示，如 0.2000000 0.1999999 （十进制小数）,不可数集的存在性的另一种证明,证明：假设（0,1）是可数集,则 （0,1） 可以写成一个无穷序列的形式： 把每个数写成正规小数（不能以0为循环节）,令x=0.a1a2a3a4 其中,则得到矛盾，所以(0,1)是不可数集。,定义：。

14、第六章 函数空间Lp简介(续),本讲目的：掌握Lp-空间中的按范数收敛概念，熟悉几种收敛概念的关系，了解Lp-空间的科学意义及其在微分、积分方程中的应用。重点与难点：几种收敛概念的关系。,第二节 Lp-空间简介(续),第二节 Lp-空间简介(续),既然已经有了距离概念，我们便可以在 中定义序列的极限。 定义2设 ， ， ，如果 ，即 ，则称 是 方平均收敛到 的可测函数列，或说 按 中范数收敛到 ，记作,第二节 Lp-空间简介 (续),至此，我们又有了一种函数序列的收敛概念，这种收敛概念与前面的几乎处处收敛以及依测度收敛概念是什么关系？这是我们。

15、习题讲解,第二章 点集,1 开集减闭集的差集是开集， 闭集减开集的差集是闭集,证明：利用A-B=ABc， 开集的余集是闭集，闭集的余集是开集， 以及有限个开集的交仍是开集，有限个闭集的交仍是闭集即得。,2 每个闭集必是可数个开集的交， 每个开集必是可数个闭集的并,任取,证明：设E为闭集，取 则Gn为开集，,再由E为闭集，可得xE 从而每个闭集必是可数个开集的交，,从而,通过取余集,即得每个开集必是可数个闭集的并.,任取,3 设f(x)是直线上的实值连续函数，则对任意常数a，E=x|f(x)a是开集，而E1=x|f(x)a是闭集,要证E=x|f(x)a是开集，只要证中。

16、第一节 n维欧氏空间,第二章 点集,度量空间,定义：设X为一非空集合，d : XXR为一映射，且满足, d(x,y) 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性）, d(x,y)=d(y,x) （对称性）,则称(X,d)为度量空间., d(x,y) d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）,例：, Ca,b空间(Ca,b表示闭区间a,b上实值连续函数全体), 其中,。

17、第一节 集合的概念 第二节 集合的运算,第一章 集合,1. 集合的基本概念及运算,注：书中用 表示包含或真包含关系,（其中S为全集）,简记为Ac,2.集簇的交和并,集簇的并,集簇：,特别当 时，称集簇为集列，记为,集簇的交,例,注：在本书中我们未把0包含在N内, +不在中,例,例,笛卡尔乘积,3.集合的运算性质,De Morgan公式,注：通过取余集，使A与Ac，与互相转换,4.上、下极限集,上极限集,例：设A2n=0,1 A2n+1=1,2; 则上极限集为0,2,下极限集,例：设A2n=0,1 A2n+1=1,2; 则上极限集为0,2, 下极限集为1,上极限集,极限集,如果集列 的上极限集与下极限集。

18、Lebesgue积分思想简介,序言,微积分基本定理,若f(x)在a,b上连续，则,若F (x) 在a,b上连续，则,微积分发展的三个阶段,创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何） (无穷小)严格化（19世纪）: Cauchy, Riemann, Weierstrass (极限理论(-N, -语言)，实数理论)外微分形式（20世纪初）：Grassmann, Poincare, Cartan （微积分基本定理如何在高维空间得到体现）,微积分继续发展的三个方向,外微分形式 (整体微分几何) （微积分基本定理如何在高维空间得到体现）复数域上的微积分（复变函数）微积分的深化和拓展（实变函数）,（1）1881年Volter。

19、第三节可数集合 第一章集合及其基数 注 A可数当且仅当A可以写成无穷序列的形式 a1 a2 a3 1 2 3 4 5 6 a1 a2 a3 a4 a5 a6 例 1 Z 0 1 1 2 2 3 3 与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集 其基数记为 可数集的定义 2 0 1 中的有理数全体 0 1 1 2 1 3 2 3 1 4 3 4 1 5 2 5 假设这是一个无限集M 我们可以取出其中一个。