1、第四节 不可数集,第一章 集合,1 不可数集的存在性(区间0,1是不可数集),证明：假设0,1是可数集,则 0,1 可以写成一个无穷序列的形式：,数的进位制简介,十进制小数 相应于 对0,1十等分 二进制小数 相应于 对0,1二等分 三进制小数 相应于 对0,1三等分,说明：对应0,1十等分的端点有两种表示，如 0.2000000 0.1999999 （十进制小数）,不可数集的存在性的另一种证明,证明：假设（0,1）是可数集,则 （0,1） 可以写成一个无穷序列的形式： 把每个数写成正规小数（不能以0为循环节）,令x=0.a1a2a3a4 其中,则得到矛盾，所以(0,1)是不可数集。,定义：与
2、0,1区间对等的集合称为连续势集， 其势记为 ， 显然：,例：1）R (0,1) 0,1 0,1) R+ (ab),2 连续势集的定义,2）无理数集为连续势集 （无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）,3 连续势集的性质（卡氏积）,（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集,1874年Cantor考虑 R 与Rn的对应关系，并企图证 明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年， 他证明了一一对应关系是存在的，从而说明 Rn具 有连续基数 ，他当初写信给Dedekind说： “我看到了它，但我简直不能相信它”.,推论,连续势集的性质（并集）,连续势集的（有限个，可数个，连续势个）
3、并仍为连续势集,4 无最大势定理,从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合.,此证为对角线方法，与(0,1) 是不可数集的证明比较。,尽管 Cantor 在1883年就证明了这个定理，但直到1899年 Cantor 才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，即所谓的 Cantor 的最大基数悖论.,因此Cantor在1899年给 Dedekind 的一封信中曾指出,人们 要想不陷于矛盾的话,就不能谈论由一切集合所组成的集合.,集合悖论,证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N 与0,1N对等；下证：,说明：相当于把 对应到一个三进制小数,5 可数势与连续势,思考
4、：为什么不用二进制。,Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。,注记： 从前面我们已经看到：,Cantor认为在 之间不存在别的基数， 即不存在这样的集合A,使得但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。,连续统假设,在Zermelo-Frankel公理集合论体系下,参见：数学与哲学张景中，数理逻辑概貌莫绍揆,ZF公理集合论体系下的连续统假设,1940年Godel证明了连续统假设的相容性 （即不能证明它不真）；,1962年Stanford大学的P.J.Cohen证明了它的独立性 （即不能用其他公理证明它真）；,6 基数的运算,对一些记
5、号的说明,思考：如何推广 不可数个集合的 卡氏积？,第五节 半序集,第一章 集合,1 半序集,数学三大母结构（Bourbaki学派观点）： 拓扑结构（邻近关系），代数结构（运算关系）， 序结构（顺序关系）（测度（长度、面积、体积）,例：对实数集R有远近关系，四则运算，大小顺序，区间有长度,半序集定义,自反性: 反对称性: 传递性:,则称A按 成一半序集（偏序集）。,设A是一集合， 为A中的某些元素的关系 且满足:,例, 是一半序集. 是一半序集.,2 Zorn引理与选择公理,Zorn引理：设 是一偏序集，A中的 每个全序子集有上界，则A必有极大元。,选择公理：设 为一簇两两不交的非空集簇，则存
6、在一集B使得 是单元素集。,对选择公理的说明,利用选择公理，Banach在1924年证明了分球定理，即一个闭球U可分解成两个互不相交的集合A，B且U与A可 由相同多的有限多个互相合同的子集并成，U与B可由相同多的有限多个互相合同的子集并成；粗略来说即可把一个球U分解成两个与U具有同样体积的球A和B。 （见：王世强数理逻辑与范畴论应用）,选择公理的说明,通俗讲，假如有无限双鞋子，则我们有一规则，从每双鞋子中取出左脚穿的鞋子，其总体构成一集合；但若是无限双袜子，由于袜子不分左右，所以就有多种选择，要承认这种成员不确定的集合存在，就要引用选择公理。数学中许多重要定理的证明都需要用到选择公理，如Lebesgue不可测集的存在，拓扑空间紧性 的Tychonoff定理等。 注：关于选择公理的一些等价命题，可参见一般拓扑学（J.L.Kelly p34）,
