1、实变函数论,Real Analysis,数学科学与技术学院曹丽霞,课题引入,第三节中，将有限集合“元素个数”的概念推广到无限集合,通过在集合间建立一一映射,引入了集合的基数的概念.,大家比较熟悉、比较重要的三数集-自然数集合N、有理数集Q和实数集合R都是无限集合.它们给我们直观的印象:自然数集合N “稀稀拉拉”排列在数轴上，有理数集Q“密密麻麻”排列在数轴上，实数集合R“密不透风”地构成实数直线，即数轴. 那么，它们的基数有什么不同么？,下面我们将在第四节和第五节，对这些常见的无限集合的基数和运算作较为详尽的讨论.,注：A可数当且仅当A可以写成无穷序列的形式a1, a2, a3, ,1, 2,
2、 3, 4, 5, 6,例如：,定义1 与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为 a.,一. 可数集的定义,2) 0,1上的有理数全体,1.4 可数集合,a1, a2, a3, a4, a5, a6, ,假设这是一个无限集M,我们可以取出其中一个点a1 显然Ma1还是无限集,在Ma1中可以取出一点a2 显然Ma1，a2还是无限集,我们可以取出一个可数子集a1,a2,a3,.,(即可数集是无限集中具有最小势的的集合),二.可数集的性质,定理1,任何无限集合均含有可数子集,可数集的任何无限必有可数集,从而可数集合的任可子集或为有限集或为可数集,定理2,定理3,有限集与可数集的并仍为可数
3、集,可数集与可数集的并仍为可数集,证明: 设 A=a1, a2, a3, a4, a5, a6, ,B=b1, b2, b3, ,bn,C= c1, c2, c3, c4, c5, c6, ,（1）首先假设A，B，C两两不交，则AB= b1, b2, b3 , , bn ，a1, a2, a3, ,AC= c1, a1, c2, a2, c3, a3, ,它们均为可数集。,(2) 一般情形., 则,令,且,但B*作为B的子集仍为有限或可数集(定理2), 这样就归结到(1)的情形了.证毕.,当Ai互不相交时, 按箭头所示, 我们得到一个无穷序列; 当Ai有公共元时, 在排列的过程中除去公共元素；
4、,因此, 是可数集.,证明:,定理4 可数个可数集的并仍为可数集.,首先0,1中的有理数全体 =0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, 是可数集，,例1: 全体有理数之集Q是可数集,所以Q是可数集（可数个可数集的并）,说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上的整数集有相同多的点(对等意义下).,定理6 有限个可数集的卡氏积是可数集,设A，B是可数集，则AB也是可数集,从而AB也是可数集（可数个可数集的并）,利用数学归纳法即得有限个乘积的情形,证明：平面上的圆由其圆心 (x,y) 和半径 r 唯一决定,从而,例2,平面上坐标为有理数的点全体所成的集为一可数集；
5、平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体A为可数集。,每个多项式只有有限个根，所以得下面的定理。,整系数多项式方程的实根称为代数数； 不是代数数的实数成为超越数。,设 P 是整系数多项式全体所成之集,P(n)是n次整系数多项式全体,例5 代数数全体是可数集,由代数基本定理知 任意整系数多项式 至多有有限个实根， 从而结论成立.,有关超越数的说明,1874年Cantor开始研究无限集的计数问题; 1873年C.埃尔米特证明了e是超越数; 1882年Lindemann证明了是超越数; 1934年A.O.盖尔丰得证明了若不是0和1的代数数，是无理代数数,则是超越数(此问题为Hilbert于1900年提出的23个问题中的第7问题)。,我们证明了代数数全体是可数集合， 通过后面可知道超越数全体是不可 数集，故超越数比代数数多得多,假设这是集合A,从中可以取出可数子集M,很容易将M一分为二M1,M2， 使得两个都是可数集,AM,M=a1, a2, a3, a4, a5, a6, ,M1 =a1, a3, a5, ,M2=a2, a4, a6, ,取A*=(AM)M1=A-M2即可,例6,说明：由此我们可得任一无限集一定存在它的一个真子 集与它有相同多的元素个数,问:为什么 不直接令 A*=AM ?,
