1、实变函数第21讲,第四章 Lebesgue积分,教学内容：有界可测函数的积分,4.1 可测函数的积分,定义1：,一、有界可测函数积分的定义集可测条件,设 是测度有限的可测集， 是定义在 上的有界可测函数， 使得 （1）分割：在 内任意的插入 个分点将区间 分成n个互不相交的左开右闭的 子区间：,（2）求和： ，作和 式其中： （3）取极限，令 ，如果存在一个常数A，无论分割D如何做，无论 如何取，都恒有 即，如果存在一个常数A，对于 ，无论分割D如何做，无论 如何取，都恒有则称 在 上是Lebesgue可积的，并称A为 在 上的Lebesgue积分，记为 ，即,定义2,设 是 上的可测函数,并
2、且 在区间 内任意插入n-1个分点，得分割并且做和数：则称 与 分别为 对应于分割D的 “大和”与“小和”。,命题1：,命题2：,设 是 上的可测函数,并且 则对于 任意一个分割D，以及关于D的任意一个和数恒有 其中：,设 是可测集 上的可测函数并且 ，则 在 上是Lebesgue可积当且仅当 与 均存在并相等。,证明：,设 ，由命题1， 对任意分割D有由夹逼定理，得从而， 在 上是Lebesgue可积。,设 在 上是Lebesgue可积,即对于 的任意分割D： 并且对于 ，有特别地，当 时，当 时，有即， 与 均存在并且相等。 得证,问题：测度有限的可测函数上的有限可测函数一定Lebesgu
3、e可积吗？,下面，我们肯定的回答这一个问题：,定理1：,设 是测度有限的可测集，如果 是 上的有界可测函数，则 在 上Lebesgue可积。,因为 在 上有界可测，故 使得 。对于任意分割因为故 与 都是有界的非空数集。 从而 与 都是有限实数。 下面证： ，再证：,证明：,(i)先证： 。为此，只需证：任意一个分割有 。事实上，对于任意的二分割：我们将D与 合并成一新分割 ，则 可以看成D中增加一些分点而得的新分割。 对于 ，假设 与 之间加入了某些新分点： 不妨设在分割 依次为,于是，故 同理 ，从而 则 ， 进而,(ii)再证： 事实上，对于 的任何分割有则所以,(iii)最后证： ，其
4、中：事实上，对于 的任何分割D，有并且故所以 。即 在 上Lebesgue可积。,例1：,设试证明： 在 上Lebesgue可积,并且,证明：,因为 是定义在测度有限的可测集 上的有界可测函数，由定理1， 在 上Lebesgue可积。 下证： ，即证：任意分割D，有,取 使得 对于 的任何分割设 ， 则 并且 ，因为 故 当 时，因为 故 所以,从而所以 ，即,作业题,习题四,1.设 是 上的可积函数，如果对于 上的任意可测子集A，有 ,试证：,2.设 与 都是 上的非负可测函数，并且对任意常数a，都有 ，试证： ， 从而,4.设 是 中的n个可测集，若 内每一点至少属于n个集中的q个集， 证明： 中至少有一个测度不小于,3.设 计算,
