巧用旋转解题

1、巧用向量共线充要条件解题上犹中学数学教研组 刘道生随着向量在科学研究中的工具性应用，与它在社会生产生活中所起的巨大作用，所以近年来数学高考题中，命入了共线向量内容考题。据有关专家分析，在今后的高考试题中，共线向量必将增长态势。务必引起师生们重视与注意。大家知道，共线向量定理：对空间任意两个向量 的充要条ba/),0(,件是存在实数 （具有唯一性） ，使 ,或如果设 , ,则ba1yx)(2yx的充要条件是 - =0。本条件多用于求轨迹方程与证明较难的平面ba/21yx1几何或立体几何题。可以说已形成较为完备的思维定式，十分有利于快速地。

2、巧用命题的等价性解题对于命题学习，当判断命题的充要关系，证明命题真假，不易判定时，可以考虑它的等价命题。进而化难为易，利用互为逆否命题的关系对两个命题同真或同假的性质进行判断。一、用于判断命题的真假例 1、判断命题“若 m0，则 有实数根”的逆否命题的真假。02mx分析：常规思路是先根据已知命题写出期逆否命题，进而判断逆否命题的真假，求解过程较繁琐，由于逆否命题与原命题互为等价命题，故可以直接判断原命题的真假。解：因为 m0，所以方程 的判别式 ，2x014所以方程 有实根，即原命题为真命题，又因为原命题与它的逆否。

3、巧用分式基本性质解题钟国雄分式的基本性质是分式变形的主要依据，也是分式运算的重要内容，利用分式的基本性质可巧解一类分式问题例 1 已知：2x 3y ，求 的值xyx2 y2 y2x2 y2解：2x3 y， ， xy 32 yx 23而 ，xyx2 y2 613 ，y2x2 y2 45原式 613 45 2265例 2 已知 3，求 的值1x 1y 3x 5xy 3yx 2xy y解：由 3，知 xy0，1x 1y原式 33 5 3 2 145例 3 已知 abc1，求证： 1aab a 1 bbc b 1 cca c 1证明：abc 1，左边 aab a 1 ababc ab a abcabca abc ab 1右边aab a 1 ab1 ab a 1a 1 ab ab a 1ab a 1原等式成立由此可见，解题技巧源于对基础知识。

4、巧用椭圆的第二定义解题普通数学课程标准在圆锥曲线这一章较过去增加一种要求：即学生要根据方程的形式和图形特征等进行类比猜想，培养直觉思维与合情推理能力。增加这一要求是很科学的，因为很多圆锥曲线问题用代数法运算非常繁杂，而一旦抓住图形特征后，运用数形结合，则可以简化运算，大幅度提高解题效率，下面以椭圆为例说明。例：已知椭圆的中心在原点，其左焦点为 F（ ，0） ，左准线 l 的方程为2x= ，PQ 是过 F 且与 x 轴不垂直的弦，PQ 的中点 M 到左准线 l 的的距离为 d，231：求椭圆的方程 2：求证： 为定值dPQ3：在 l 上是否。

5、AOPlBAO12PQ巧用“三余弦定理”解题“三余弦定理”的内容：如图，直线 AO 是平面的斜线，AQ 是 AO 在平面内的射影，直线 AP 在平面 内.设 ，有以21, QAPOAP下结论： .我们可以形象地2coscos把这个结论称为“三余弦定理” ，应用“三余弦定理”可以使我们的很多立体几何问题的解决变得简单. 图应用“三余弦定理”解题的步骤如下：1. 明确三线：平面内的直线（以下简称“内线” ） ，平面的斜线和斜线在平面内的射影.2. 明确三角：斜线与“内线”所成为 ，斜线与射影所成的角为 ，射影与“内线”1所成的角为 .23. 定理运算.例 1.如图,已知 A。

6、巧用数学口歌 培养解题能力素质教育要求我们培养大批合格加特长的学生。然而，多年的应试教育形成了学校教师只重视尖子生的培养。一味追求升学率，忽视了对差生的教育，使一部分成绩很差的学生在校当了“伴读生”，而成绩较差的学生稍一松懈，也很容易沦为“伴读生”。其原因是，这些学生基本或全部听不懂课，即使懂了一点，也是零星的，巩固不下来，不能形成能力，难以考出合格成绩。在近年来的教学实践中，我认为要教好数学，首先得有一个正确的指导思想，教学活动应该考虑教和学两个方面，教学效果最终要落实到每个学生身上，应该使学。

7、用平移、旋转、对称巧解几何问题 谈静 在证明和求值的诸多几何问题中，往往不能直接找到解题的突破口，那么我们就要另壁蹊径，就是要借助图形转换的方法来解题了。 以下介绍三种方法： 一、平移：将图形沿着一个方向移动一段距离 例1 如图1，在六边形ABCDEF中，AB/ED，AF/CD，BC/FE，AB=ED，AF=CD，BC=EF，又知对角线FDBD，FD=24cm，BD=18cm，则六边形ABC。

8、巧旋转妙解题1.理解旋转变换的作用是什么？旋转可以移动图形的位置而不改变图形的形状、大小.2.在什么情况下需要利用旋转变换？ 图形具备什么条件时可以实现旋转？当图形过于分散或集中，无法有效利用时，需要移动图形，而移动图形的手段就是三种变换.当图形中只要存在共顶点的等线段时就可以实施旋转变换. 3. 怎么旋转？确定旋转中心、旋转方向、旋转角度. 4.旋转之后怎么办？利用旋转的性质.对基本图形的认识：以等边三角形为背景的旋转问题举例 1： 如图，BCM 中，BMC120，以 BC 为边向三角形外作等边ABC，把ABM绕着点 A 按逆时针方向。

9、巧用角平分线解题1.显“距离”, 用性质很多时候,题意中只 给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点已知：如图，ABC 的角平分线 AD 与 BE 交于点I，求证：点 I 在ACB 的平分线上证明：过点 I 作 IH AB、IGAC、IFBC，垂足分别是点H、G、F点 I 在BAC 的角平分。

10、1巧用线性规划思想解题当约束条件或目标函数不是线性规划问题，但其几何意义明显时，仍可利用线性规划的思想来解决问题，从而使解题思路拓宽，提高解题能力一、 函数问题转化为线性规划问题例 1 如图 1， 满足的可行域是图中阴影部分（包括边界） 若函数xy，在2ta点 取得最小值，求 的取值范围(05)，解：由图 1 易得 满足的约束条件为xy， 5026.xy， ， 将目标函数 改为斜截式 ， 表示直2ta2atyx线在 轴上的截距，欲求 的最小值，可转化为求 的最大yt值当 时，显然直线在点 处， 取得最大值；0a (05)， 2t当 时，依题意， ，易得 12a 0a综。

11、1 / 4巧用平均速度解题例 1、一颗初速度为 v0 的子弹，水平射入静止在光滑水平面上的木块中，当子弹进入木块深度为 l 后与木块相对静止，即以共同速度 v 向前运动。求子弹从进入木块到与木块相对静止的过程中，木块滑行的距离。本题的常规解法是运用动量守恒定律和动能定理求解。如果我们运用平均速度求解，较简捷明快。解：设子弹进入木块与木块相对静止所用的时间为 t，设此过程木块滑行的距离为 S，则：对木块： tv2对子弹： tl0解得： 0vlS例 2、一个做匀变速直线运动的物体，通过某一段距离 S 所需时间为 t1,通过下一段同样长的距离。

12、巧用设 k 法解题初中代数中经常遇到连等方程或有已知连等式连续比例式的题，解决这类题型的最佳方法是设 k 法。例 1. 解方程组 .432.51zyxzyx分析：方程组中第二方程是连等方程，可以设它为 k.解：设 ，则 代入第一个方程，可得。

13、巧用角平分线解题1.显“距离”, 用性质很多时候,题意中只 给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点已知：如图，ABC 的角平分线 AD 与 BE 交于点I，求证：点 I 在ACB 的平分线上证明：过点 I 作 IH AB、IGAC、IFBC，垂足分别是点H、G、F点 I 在BAC 的角平分。

14、 巧用换元法解题1精选妙题：计算 222yxzzyxxzyz 2常规策略：一般可用全部通分解3巧妙解法：设 ， ， xyazbxc原式 （此处注意正负号的变化）cabcaabc1caab4画龙点睛：通过观察发现， ， ， ，2xyzzx2zyxyz2xzxy从而启发我们可用换元法5相关链接：计算 3223211xyxy求证： 22bccababcabca已知 ，且 ， 、 、 不全相等求 的3xyz0xyz222xyzaxay值化简 222141abab已知 ， 、 、 且 ，2221970xyzx0yz1xyz求证： 919712参考答案1设 23xyt原式 3222 121111tttttttt把 代入上式，得原式ttxyt23641231xyxy2设 。

15、www.czsx.com.cn- 1 -巧用配方法解题配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法，其实质是一种恒等变形，它通过加上并且减去相同的项，把算式的某些项配成完全 n 次方的形式，通常是指配成完全平方式配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面一、用配方法解方程例 1 解方程：2x 23x+1=0分析：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：1 将二次项的系数化为 1；2移项，使含未知数的项在左边，常数项在右边；3配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；4将方程化为(x+m) 2=n 的形式；5用直接开平方法进行求解（n0 无解） 。

16、巧用倒数解题卢海如有些分式题，如果直接求解，往往难以入手，若根据题目条件或欲求结论，将其倒过来求解，则可能立即奏效，化难为易。以下举几例加以说明，以便大家在解题中参考。一、在分式排序中倒过来例 1. 已知 a、b、c 、d 都是正实数，且 ，则 与 0 的大小关abcdAbadc系是（ ）A. A0 B. A0 C. A0 D. A0解：由 ，得 ，即abcdcd1abcd又因为 a、b、c 、d 为正实数，所以Abac， 0故选 A。例 2. （2001“希望杯”初二培训题）由小到大排列下列各数： 是_。6107291530691， ， ， ， ，解：把以上各数倒立得： ， ， ， ， ，通分后分别。

17、巧用旋转解题2008-11-23 命题人：温州市实验中学 周利明 传统几何中，有许多旋转的例子，尤其是在正方形和等腰三角形中。因此旋转的方法是几何学习中必备的技巧，本文将介绍旋转方法的几种典型用法，与广大读者共同学习、交流。1.利用旋转求角度的大小例1：在等腰直角ABC 中， ACB=90，AC=BC，P 是ABC 内一点，满足 PA=、PB=2、PC=1求BPC 的度数。分析：本题借助常规方法入手是比较困难的，虽然三条线段的长度是已知的，但是这三条线段不是三角形的三条边长，因此要得到角度的大小是不太容易的，因此我们可以借助旋转来分析问题，因为 AC=。